SKKN một số kinh nghiệm trong việc dạy dãy số viết theo quy luật

Để đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục đào tạo theo tinhthần Nghị quyết 29 của BCH Trung ương Đảng khóa XI, vấn đề đổi mới phươngpháp dạy học đối với tất cả các môn học

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên có tính thực tiễn cao Từ lâu, conngười đã vận dụng kiến thức Toán học để tính toán, giải quyết các vấn đề trong tựnhiên và trong thực tiễn của cuộc sống Có thể khẳng định rằng: Tất cả các mônkhoa học khác đều liên quan mật thiết với Toán học Vì vậy, việc giảng dạy Toánhọc phải hướng tới một mục đích lớn hơn, đó là thông qua việc dạy học Toán đểphát triển trí tuệ, phát huy trí thông minh, sự sáng tạo đồng thời góp phần giáo dụcphẩm chất, đạo đức, lối sống và rèn luyện kĩ năng sống cho học sinh

Tri thức khoa học của nhân loại vô cùng phong phú và luôn mới mẻ Mục tiêugiáo dục thay đổi, yêu cầu chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học một cáchphù hợp Để giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mớiphương pháp dạy học, đã có nhiều giáo sư tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâmnghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phương pháp dạy học

Để đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục đào tạo theo tinhthần Nghị quyết 29 của BCH Trung ương Đảng khóa XI, vấn đề đổi mới phươngpháp dạy học đối với tất cả các môn học phải theo hướng tích cực hoá hoạt độnghọc tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn, chỉ đạo của giáo viên Học sinh

tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề để lĩnh hội tri thức, từ đóhọc sinh tích cực, chủ động sáng tạo, có ý thức vận dụng linh hoạt các kiến thức đãhọc vào vào thực tiễn

Đối với môn toán trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học.Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc Quá trình giải toán là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháptìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán để củng cố,khắc sâu kiến thức, rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn Toán Từ đó,rút ra được nhiều phương pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằmphát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dụctoàn diện

Nhưng trong quá trình học Toán nói chung, đặc biệt là phần Số học nói riêng,việc nắm bắt và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh làkhó khăn Vì vậy, những giáo viên dạy Toán phải có nhiệm vụ trang bị kiến thứccũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học sinh

Là một giáo viên dạy môn Toán học, sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy họcsinh và học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong việc giảng dạy phần

Số học còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thểnhư: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật”, đây là dạng toán tương đối khóđối với học sinh THCS, trong khi đó dạng toán này chưa đề cập nhiều trong sáchgiáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng cao, không đưa raphương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức, suy nghĩ của

mình để giải quyết, vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bàitập (chưa tìm ra quy luật của dãy số) Xuất phát từ thực tế đó, tôi mạnh dạn chọn

đề tài “ Một số kinh nghiệm trong việc dạy dãy số viết theo quy luật” để giúp các

em tháo gỡ khó khăn trên

1.2 Những điểm mới của đề tài

Nội dung “Dãy số viết theo quy luật” đã có nhiều người nghiên cứu, nhất lànhững giáo viên giảng dạy tại các trường THCS Tuy vậy qua tìm hiểu và nắm bắt

ở trong trường và các trường bạn, các thầy cô giáo chủ yếu tập trung vào việcnghiên cứu các dạng bài tập nhỏ về dãy số viết theo quy luật Điểm mới trong đềtài bản thân tôi thực hiện tập trung hệ thống hóa các dạng bài tập liên quan đến cácdạng dãy số viết theo quy luật, vận dụng dạng toán đó để chuyển thành dạng toánmới cùng với các phương pháp cụ thể và các bài tập mở rộng, nâng cao cùng dạngcho học sinh khá giỏi

1.3 Phạm vi áp dụng của đề tài

Đề tài trên tôi đã thực hiện đối với dạy các tiết Toán trong chương trình chínhkhóa và day bồi dưỡng học sinh giỏi cho các em tại đội tuyển học sinh giỏi củatrường nơi tôi trực đang công tác và có thể áp dụng để bồi dưỡng HSG toàn huyện

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng của vấn đề

Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THCS, tôi nhận thấy nội dunglượng kiến thức của bộ môn Toán nhiều, nhiều dạng bài tập Mỗi tiết dạy đại trà ởlớp, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp nhận kiến thức về các dạng Toán cơ bảncho nhiều đối tượng Như vậy không có đủ lượng thời gian để giáo viên mở rộng

và nâng cao kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh Biệnpháp tốt nhất để rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh để học sinh có thểthường xuyên được luyện giải nhiều dạng bài tập khác nhau, cũng như tiếp xúc vớicác dạng bài tập có tính chất mở rộng và nâng cao, để từ đó học sinh có thể vậndụng một cách linh hoạt các cách giải từng dạng bài tập là hướng dẫn học ởnhà.Việc học sinh tự học ở nhà có một ý nghĩa lớn lao về mặt giáo dục và giáodưỡng Nếu việc học ở nhà của học sinh được tổ chức tốt sẽ giúp các em rèn luyệnthói quen làm việc tự lực, giúp các em nắm vững tri thức, có kỹ năng, kỹ xảo.Ngược lại nếu việc học tập ở nhà của học sinh không được quan tâm tốt sẽ làm chocác em quen thói cẩu thả, thái độ lơ là đối với việc thực hiện nhiệm vụ của mìnhdẫn đến nhiều thói quen xấu làm cản trở đến việc học tập Vì vậy chất lượng chưađược đáp ứng

Trước khi thực hiện đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra và khảo sát đối với 15 họcsinh khá, giỏi ở các lớp 6 tại đơn vị bằng một số bài tập nâng cao Kết quả thuđược như sau:

* Về phía giáo viên: Việc đánh giá chất lượng học sinh có lúc còn nương nhẹ,

giáo viên bồi dưỡng chưa đưa ra được phương pháp giải cụ thể cho mỗi dạng bàitập, chưa có kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng HSG

* Về phía học sinh: Do học sinh chưa ham học, chỉ làm những gì giáo viêngiao, ý thức tìm tòi, ham hiểu biết chưa hình thành thói quen ở các em.Kiến thứchọc sinh còn chưa đồng đều

* Nguyên nhân khác: Do một số phụ huynh học sinh chưa nhận thức sâu sắc

về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc học Toán, nhất là kiến thức nâng cao nênchưa thực sự quan tâm đến việc học tập của học sinh

2.2 Các giải pháp để tiến hành giải quyết vấn đề

2.2.1 Cung cấp kiến thức cơ bản:

2.2.1.1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số

- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

2.2.1.2 Các phép tính của phân số

a Cộng, trừ phân số cùng mẫu:

M

B A

b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:

- Quy đồng mẫu các phân số

- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung

c b

c b n d

c b

c b n

d

c b

c n

b

a n

a b

(x.y)m = xm ym

n n n

y

x y

- Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c

- Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a c > b c (c > 0)

- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:

Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d

2.2.1.6 Dãy số cách đều

a Định nghĩa: Dãy số cách đều là một dãy số trong đó mỗi số hạng đứng sau bằng

số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số d không đổi

- Dãy số cách đều có thể là hữu hạn có thể là vô hạn

- Các số hạng của dãy số cách đều thường được kí hiệu là U1; U2; U3 Un

- Dãy số cách đều còn được gọi là một cấp số cộng, số d không đổi nói tới trongđịnh nghĩa gọi là công sai của cấp số cộng

b Tìm số hạng thứ n của dãy số cách đều

Công thức: Sn=

2

) (U1 U n

Trong đó: n gọi là số số hạng của dãy cộng

d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp

Từ (I) ta có: a n a1 1

n d



  (II)Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết: Số hạng đầu1

a , số hạng cuối a n và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp

b Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: a a a a a1 , , , , , , 2 3 4 5 a n Ta viết:

Số số hạng = (số cuối – số đầu):(khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp) +1

d Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùngmột số đơn vị, ta dùng công thức:

2.2.2.2 Dạng 2: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên

* Bài toán tổng quát:

n n k





Nhân cả biểu thức với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng

Sau đó tách n(n + k)k = n(n + k)(n + 2k) – (n - k) n(n + k) Xuất hiện các hạng tử đối nhau trong tổng, ta gộp các hạng tử đó với nhau.

*Bài toán tổng quát: 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 22(12 + 22 + 32 + … + n2)

Xuất hiện các hạng tử đối nhau trong tổng, ta gộp các hạng tử đó với nhau.

- A = 98.99.1004 .101= 24 497 550

* Bài toán tổng quát:

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n - 1)n(n + 1) = n1 n n41n2

Ví dụ 4: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99

8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + …+ 95.97.99(101 - 93)

= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 1.3.5.7 + 5.7.9.11 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101

-15 95.97.99.101

8

Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán:

Phương pháp giải 2: Tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy

số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

Với khoảng cách là a ta tách: (n - a)n(n + a) = n 3 - a 2 n

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có:

(Trong đó: n k, N 

Mở rộng với tích nhiều thừa số:

) 2 )(

(

1 )

(

1 )

1 3 2

1 2 1

1

1

45

1 44

1 44

1 43

1

3

1 2

1+4 2

1+ +100 2

=> a+c < b+d

Từ đó ta có điều phải chứng minh: 2

2

1+ 23

1+ 24

1+ + 2100

2

1

+ 23

1+ 24

1+ + 2100

1

<

2 1

1+3 2

1+4 3

1+ +

100 99 1

2

2

1

+ 23

1+ 24

1+ + 2100

1+ +100 2

1

<1 1001 =10099 <1Hay 2 2

1

+3 2

1+4 2

1+ +100 2

1

< 1 (Điều phải chứng minh).

Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A = 2 2

2

4 3 2

2 3 2 1

Bài 1 Tính tổng: 18921 19801

12

1 6

1 2

Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược

Bài 2 Cho

100 98

99

6 4

5 5 3

4 4 2

3 3 1

101 98

5 4

6 3 4 3

5 2 3 2

4 1

Hơn nữa ta có: ; ;451 441.45

3 2

1 3

1

; 2 1

1 2

1

2 2

3

1 2

1

2 2

2     Mặt khác 0 < 2 2 45 2

1

3

1 2

3

1 2

1





 không phải là số nguyên

Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1; a2; ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác

nhau thì    2 

44

2 2

2

1

1

1 1

a a

1

3

1 2

1







Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau:

Bài 7 Tìm các số tự nhiên khác nhau a1; a2; a3; ; a43; a44 sao cho

1

1

1

1

2 44

a

Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài 4 như sau:

Bài 8 Cho 44 số tự nhiên a1; a2; ; a44 thỏa mãn

1

1

1

1

2 44

a

Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau

Bài 9 Tìm các số tự nhiên a1; a2; a3; ; a44; a45 thỏa mãn a1 < a2 <a3 < < a44 < a45

.

1

1

45 44 44 43 3

4

1 3

1 2

1

3 3

3



n A

Bài 12: Tính

30 29 28 27

1

5 4 3 2

1 4 3 2 1

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

4

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

2 2

1 100

1

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

1 1

1 2

1 3

1 4

1 100 99

1 2

1 2

1 2

Bài 2: Tính: 3 5 99

2

1

2

1 2

1 2

27

26 9

8 3

3

1 3

27

28 9

10 3

1 4

1 1 3

1 1 2

1

2 2

2 2

6

5 4

3 2

30

10

4 8

3 6

2 4

16

1 1 9

1 1 4

1 1

19 11

7

3 1 7

2 1 7

1 1

7

2 1 5

2 1 3

2 1

1

7

1 2

1 5

1 2

1 3

1 2 1

T

4 2

3

1 1

3

1 1 3

1 1 3

1 1

Hầu hết các biểu thức có nội dung phức tạp đều có dạng M

N , ta biến đổi M hoặc

N, hoặc cả hai về dạng của biểu thức còn lại hoặc về dạng của một biểu thức đơngiản hơn

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:

Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50

b Biến đổi số chia:

4

3 3

2 2 1

100

1

3

1 2

1 1 100

Hướng dẫn: Tách 100 ở tử thức thành 1 + 1 + 1 + …… + 1 rồi gộp mỗi số

hạng 1 đó với một số hạng trong ngoặc

Bài 2: Tính

500

1

55

1 50

1 45

92

11

3 10

2 9

1 92 : 100

1

4

1 3

1 2

99 2

98

97

3 98

2 99 1

Hướng dẫn:

Biểu thức bị chia: Tách 99 ở tử thức thành 1 + 1 + 1 + …… + 1 rồi gộp mỗi số

hạng 1 đó với một số hạng còn lại

Biểu thức chia: Tách 92 ở tử thức thành 1 + 1 + 1 + …… + 1 rồi gộp mỗi số hạng

1 đó với một số hạng còn lại Mẫu thức đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc

Bài 3: Tính

2941

5 41

5 29

5 5

2941

4 41

4 29

4 4 : 1943

3 43

3 19

3 3

1943

2 43

2 19

2 2

10 5 8 4 6 3 4 2 2 1

Hướng dẫn: Đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.

2.2.2.8 Dạng 8: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức chứa dãy số.

Phương pháp giải:

Bài toán tính tổng hữu hạn: S = S1 + S2 + S3 + … + Sn

Ta biết được kết quả (bằng cách dự đoán, hoặc bài toán chứng minh được)

Với n = 1, 2, 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử bài toán đúng với n = k( k 1 ) ta có: 2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạptoán học:

Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến

Dãy số viết theo quy luật trên 15 học sinh khối 6 Kết quả đạt được như sau:

- Khả năng suy luận và chứng minh các dãy số viết theo quy luật đã được nâng lên.

Hầu hết các em chứng minh và giải được những bài toán từ vận dụng thấp trở lên,nhiều em còn đưa ra được những bài toán tổng quát, những bài toán ở mức độ vậndụng cao

2.4 Bài học kinh nghiệm:

Từ kết quả nghiên cứu trên tôi đã rút ra những bài học kinh nghiệm sau:

- Việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh làm tốt các dạng bàitập đã giúp cho giáo viên nắm vững mục tiêu, chương trình từ đó nâng cao chấtlượng giảng dạy môn Toán

- Giúp giáo viên không ngừng tìm tòi, sáng tạo những phương pháp phânloại và giải bài tập phù hợp đối với đối tượng học sinh, từ đó nhằm nâng cao trình

độ chuyên môn và nghiệp vụ của người giáo viên

3 PHẦN KẾT LUẬN

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài

Từ bước đầu nghiên cứu đề tài“Dãy số viết theo quy luật” tôi thấy vấn đề này

rất cần thiết không những đối với học sinh mà cả đối với giáo viên, nhất là giáoviên đang BDHSG

Đề tài“Dãy số viết theo quy luật”tôi đãthực hiện trong quá trình giảng dạy và

bồi dưỡng HSG nhiều năm trở lại đây tại đơn vị hiện công tác và đã đem lại những

kết quả khá tốt: Hầu hết học sinh, (chủ yếu là học sinh khá, giỏi) khi được trang bị

đề tài“Dãy số viết theo quy luật " đều trở nên tự tin khi gặp những bài toán dãy số,

có em đã đưa ra được nhiều phương pháp giải hay, khai thác, mở rộng được nhiềubài toán Bước đầu phát hiện học sinh có năng lực, từ đó giáo viên có phương phápdạy, bồi dưỡng nhằm phát huy trí tuệ, tính say mê sáng tạo của các em.Trước khiđược áp dụng đề tài này nhiều em không làm được cũng như không biết hướng giảibài toán dãy số viết theo quy luật Nhưng khi áp dụng đề tài nhiều em làm tốtnhững bài toán dãy số viết theo quy luật

Qua thực tế triển khai thực hiện đề tài này vào trong giảng dạy với nhữngkết quả đạt được ở trên, có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm này đã cótính khả thi cao, hy vọng các giáo viên dạy Toán và các em học môn Toán trongcụm và trong huyện Lệ Thủy sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa năng lực học tập

bộ môn để đạt được những kết quả cao hơn Đề tài trên chỉ mới áp dụng ở địa bànhẹp, chưa có sức lan toả tới những vùng miền khác Vì vậy đề tài còn tiếp tục đượcnghiên cứu, còn nhiều biện pháp khác chưa có điều kiện đề cập tới, đó là hướngnghiên cứu tiếp tục của đề tài trong tương lai

* Đối với nhà trường:

Cần đầu tư thêm trang thiết bị dạy học đặc biệt cho môn Toán, các tài liệuphong phú để học sinh tìm thêm tư liệu, sách tham khảo phục vụ cho việc nghiêncứu

Cần có phòng học bộ môn dành riêng cho môn Toán, trong đó có các môhình Toán học, để giáo viên có thể ứng dụng công nghệ thông tin một cách thànhthạo

* Đối với ngành giáo dục

Thường xuyên tổ chức các cuộc thi nhằm nâng cao kĩ năng, phương pháp chogiáo viên và học sinh

Bản thân với trăn trở của một người giáo viên trẻ trực tiếp giảng dạymôn Toán học, tôi xin mạnh dạn đưa ra những suy nghĩ của mình, mong góp một

phần nhỏ vào thực hiện đề tài“ Dãy số viết theo quy luật " để nâng cao chất lượng

dạy học môn Toán ở trường THCS hiện nay Trong quá trình tích lũy kinh nghiệm

và viết đề tài không tránh khỏi những khiếm khuyết, hạn chế Tôi rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến xây dựng của bạn bè, đồng nghiệp và Hội đồng chuyên