Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.. Tìm xác suất để sau khi tặng sách xong thầy vẫn còn đủ cả 4 loại sách mỗi loại ít nhất một quyển.. Hãy tìm a5.. Hãy dựng điểm P, Q lần lượt thu
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
NĂM HỌC: 2009 – 2010 Môn thi: Toán lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: ( 3,5 điểm).
1) Tính giá trị biểu thức: sin 6 os 6
A= π +c π
2) Giải phương trình: 2 os ( 2 os ) tan( 2 ) tan( ) os( sin2x).
c π c x = π −x π + +x c π
3) Tam giác ABC có góc C nhọn và 2 2
2 tan 2C bc
b c
=
− Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A
Câu 2: ( 3 điểm).
1) Một thầy giáo có 15 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách toán, 4 cuốn sách lý, 3 cuốn sách hoá và 3 cuốn sách sinh Thầy giáo đó lấy ra 7 cuốn đem tặng cho 7 học sinh A, B, C, D, M, N, P mỗi em một cuốn Tìm xác suất để sau khi tặng sách xong thầy vẫn còn đủ cả 4 loại sách mỗi loại ít nhất một quyển
2) Cho ( x2 + x - 2 )n = a0 + a1 x + a2 x2 + … +a2n x2n và C n2 −C n1 = 44. Hãy tìm a5
Câu 3: ( 1,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Lấy hai điểm M, N sao cho BCuuur= 4BM NMuuuur uuuur, = − 2NCuuur Hãy dựng điểm P, Q lần lượt thuộc đoạn AC, AB sao cho chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất Khi đó hãy tìm chu vi và diện tích tứ giác MNPQ theo a
Câu 4: ( 1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Lấy điểm M sao cho 2 '
5
AM = AB
uuuur uuuur
, mp(P) đi qua
M song song với CA’ và BC’ Hãy xác định thiết diện của mp(P) với hình lăng trụ
Câu 5: ( 1 điểm)
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có:
tan tan tan 3
A+ B+ C ≥ .
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……
Trang 2ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
NĂM HỌC: 2009 – 2010
Môn thi: Toán lớp 11 Đáp án, thang điểm này gồm 2 trang
Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm bài làm của học sinh phải chi tiết, chặt chẽ Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương ứng.
1 1) A=5 3
os
8 8c 12
π
os os( ) 2 6
A=20 3 2 3 6
32
2) Đk…,
Pt⇔cos 2x± sin 2x= 2 (k k∈ Ζ )
0,5
k=0 thì cotx= 2cos x=0 ⇒x
0,5
2sin osC 2.2 sin 2 sin
0,25
sinB cosC sin cosB C sin C 0
2
B C π
2 1) 7
15
A
Số cách tặng
Không còn sách toán: 2 7 !
10
C
Không còn sách lý: 3 7 !
11
C
Không còn sách hoá: 4 7 !
12
C
Không còn sách sinh: 4 7 !
12
C
0,25
Không còn sách lý và hoá: 7!
Không còn sách lý và sinh: 7!
Không còn sách hoá và sinh: 1
9 7!
C
0,25
Số cách tặng không còn đủ 4 loại sách:
2 7 !
10
11
C + 4 7 !
12
C + 4 7 !
12
C -(7!+ 7!+ 1
9 7!
C )
0,25
Số cách tặng còn đủ 4 loại sách:
7
15
A -[ 2 7 !
10
11
C + 4 7 !
12
C + 4 7 !
12
C -(7!+ 7!+ 1
9 7!
C ) ]=26439840
0,25
Trang 3( x2 + x - 2 )11 = 11 ( ) ( )
11
0
2
k k
k k
=
∑ = 11 ( )11 ( )2 11 ( )11 2
0,5
Để có a5 thì: 0≤ i≤k≤11 và 2k-i=5 hay
=
=
=
=
=
=
5 , 5 3 , 4
1 , 3
i k i k
i k
vậy a5 = − − 1 +
3 3 11 3
11 ( 2 ) C
4 4 11 4
11 ( 2 ) C
5 5 11 5
11 ( 2 ) C
0,5
3 Dựng hình
Chứng minh
Chu vi = MN+N’P+PQ+QM’=7
4
a
Diện tích:
3
3
2 4
2 4 2
a a
a
+
= 5 64 3
2
a
0,5 0,25 0,5 0,25
4 BC’//KH⇒(P)//(A’CH)
Kẻ TMD//A’H, TI//HC, IE//BC’, EF//CA’
Thiết diện là ngũ giác DTIEF
0.25 0.5 0.25
5
2
tan tan tan 2(tan tan tan tan tan tan ) 3
Mà
1
2
C
Nên đpcm
tan tan tan tan tan tan tan tan tan
Luôn đúng ⇒ ĐPCM
0.25 0.5 0.25
……… Hết………
M
N
N’
B M’
Q
P
A’
M
C’
B’
A
K
C H
E
D F
B
