Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi khó, trung bình, dễ và số câu hỏi dễ khô
Trang 1ĐỀ THI ĐẠI HỌC VỀ TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP - SỐ PHỨC Năm 2002
A Cho khai triển nhị thức
n x n n x x
n x
n x n
n x n
n x x
C C
C
C + + + +
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3 1
3 2 1 1 3
1 2 1 1 2
1 0 3
2 1
2 2
2 2
2 2
2
(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó C n3 = 5C1n và số hạng thứ 4 bằng
20n, tìm n và x.
ĐS: n = 7, x = 4
B Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết rằng
số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n.
ĐS: n = 8
D Tìm số nguyên dương n sao cho C n0 + 2C1n + 4C n2 + + 2n n C n = 243
ĐS: n = 5
Năm 2003
A Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của
n x
+ 5 3
1
, biết rằng
( 3) 7 3
1
4 − + = +
+
n
n
n , (n nguyên dương, x >0, ( k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
n
n n
n
n C
C C
1
1 2 3
1 2 2
1
2
3 1
2 0
+
− + +
− +
−
n
C là
số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS:
1
2
3 1 1
+
− + +
n
n n
D Với n là số nguyên dương, gọi a 3n− 3 là hệ số của x 3n− 3 trong khai triển thành đa
thức của (x2 + 1)n (x + 2) n Tìm n để a 3n− 3 = 26n.
ĐS: n = 5
Năm 2004
A Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 − x)]8
ĐS: 238
B Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi( khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Trang 2D Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
+
x
x với x
> 0 ĐS: 35
Năm 2005
A Tìm số nguyên dương n sao cho
(2 1) 2 2005 2
4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
n n
n n
n
C là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
ĐS: n = 1002
B Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 3 nữ?
D Tính giá trị biểu thức ( 1)!
4 1
+
+
= +
n
A A
4
2 3
2 2
2
1 + + + + + + =
số nguyên dương, k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k
n
C là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: M =43
Năm 2006
A Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
n x
+ 7 4
1 , biết rằng
1
2 20 1 2
2
1 2
1
1
2 + + + + + n+ = −
n n
n
tử). ĐS: 210
B Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng
20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k ∈ {1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất.
ĐS: k = 9
Năm 2007
n n
+
n
C là số tổ hợp
chập k của n phần tử).
B Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2 + x) n, biết:
3nCn0 − 3n− 1C n1 + 3n− 2C n2 − 3n− 3C n3 + … + (−1)n C n n = 2048 (n là số nguyên dương, k
n
C là số
tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 22
D Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1 − 2x)5 + x2(1 + 3x)10
ĐS: 3320
Trang 3Năm 2008
A Cho khai triển (1 + 2x) n = a0 + a1x + … + a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,
…a n thỏa mãn hệ thức 4096
2 2
1
0 + a + + a n n =
a Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…a n
ĐS: a8 =126720
n
k n
k
C n
2
1
1 1 1
=
+ +
+
+ + + (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, k
n
C là
số tổ hợp chập k của n phần tử).
D Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2 1 2048
2
3 2
1
2 + + + n− =
n n
n
C là số tổ
hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n = 6
Năm 2009
A Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
z
A= +
ĐS: A = 20
B Tìm số phức z thỏa mãn z− ( 2 +i) = 10 và z.z= 25
ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5
D Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện:
z−(3 − 4i) = 2
ĐS: (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4
Năm 2010
A Tìm phần ảo của số phức z biết, ( ) (2 )
B Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn:
z i− = +i z
D Tìm số phức Z thoả mãn: Z = 2 và z2 là số thuần ảo