- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số.. Câu III: 1 điểm - Hì
Trang 1Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
Cấu trúc đề thi môn toán năm 2009
Cục khảo thí và kiểm định chất lợng – bộ giáo dục - đào tạo bộ giáo dục - đào tạo
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT
* Phần chung dành cho tất cả thí sinh: ( 7 điểm)
Câu I: ( 3 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận( đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trớc, tơng giao giữa hai đồ thị ( một trong hai đồ thị là đờng thẳng)
Câu II: ( 3 điểm)
- Hàm số, phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân
- Bài toán tổng hợp
Câu III: ( 1 điểm)
- Hình học không gian ( tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp tròn xoay, khối trụ tròn xoay, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
* Phần riêng ( 3 điểm):
Thí sinh học chơng trình nào chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó
1 Theo chơng trình chuẩn:
Câu IVa: ( 2 điểm)
Nội dung kiến thức:
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ
- Mặt cầu
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tơng đối của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Câu V a( 1 điểm)
Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức Căn bậc hai của số thực âm Phơng trình bậc hai hệ số có biệt thức âm
- ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
2 Theo chơng trình nâng cao:
Câu IV b( 2 điểm)
Nội dung kiến thức:
Phơng pháp toạ độ trong không gian:
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ
- Mặt cầu
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đờng thẳng Vị trí tơng đối của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Câu V a ( 1 điểm)
Nội dung kiến thức:
- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức Căn bậc hai của số phức Phơng trình bậc hai với hệ số phức Dạng lợng giác của số phức.Đồ thị hàm số hữu tỉ dạng
q px
c bx ax y
2
và một số yếu tố liên quan
- Sự tiếp xúc của hai đờng cong
- Hệ phơng trình mũ và lôgarit
- ứng dụng của hai tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
Cấu trúc đề thi môn toán tuyển sinh ĐH – Tháng 5/2009 CĐ 2009
Đề thi toán kì ĐH 2009, phần chung dành cho tất cả thí sinh chiếm 7 điểm Phần riêng ( Gồm 2 câu) chiếm 3 điểm
đề thi yêu cầu nhiều kiến thức mở rộng hơn so với kì thi tốt nghiệp
Cấu trúc đề thi cụ thể nh sau:
I Phần chung cho tất cả thí sinh( 7 điểm)
Câu 1( 2 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
- các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số, cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tiếp tuyến, tiệm cận ( đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những
điểm có tính chất cho trớc, tơng giao giữa hai đồ thị ( một trong hai đồ thị là đờng thẳng)…
Câu II ( 2 điểm):
- Phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đại số
- Công thức lợng giác, phơng trình lợng giác
Trang 2Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009 Câu III ( 1 điểm):
- Tìm giới hạn
- Tìm nguyên hàm Tính tích phân
- ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
Câu IV.( 1 diểm);
Hình học không gian( tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đờng thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Câu V bài toán tổng hợp ( 1 điểm)
II Phần riêng ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( Phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chơng trình chuẩn:
Câu VI.a ( 2 điểm);Nội dung kiến thức:
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ
- Đờng tròn, elip, mặt cầu
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tơng đối của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Câu VII a ( 1 điểm)Nội dung kiến thức:
- Số phức
- Tổ hợp, xác suất , thống kê
- Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số
2 Theo chơng trình nâng cao:
Câu VI b ( 2 điểm)
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ
- Đờng tròn, ba đờng cônic, mặt cầu
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đờng thẳng Vị trí tơng đối của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Câu VII b ( 1 điểm)Nội dung kiến thức:
- Số phức
- Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng
q px
c bx ax y
2
và một số yếu tố liên quan
- Sự tiếp xúc của hai đờng cong
- Hệ phơng trình mũ và lôgarit
- Tổ hợp, xác suất, thống kê
- Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số
Các bài toán tổ hợp và nhị thức Niutơn
Kiến thức cơ bản:
1) Hoán vị:
Định nghĩa: Cho tập A có n n 1 phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta đợc một hoán vị các phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A)
Định lý: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: P n n! n(n 1 )(n 2 ) 1
2) Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k 1 k n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta đợc một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A ( gọi là một chỉnh hợp chập k của A) b) Số các chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: A n k
k n n
n
n
A k
n ( 1 )( 2 ) ( 1 ), 0 ; ,
Quy ớc: A n0 1 và là tập con duy nhất không chứa phần tử nào
Chú ý: A n n n! P n
3) Tổ hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 0 k n Mỗi tập con của A có k phần tử đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A
b) Định lý: Số các tổ hợp chập k của n phần tử là: 0 k n:
!
) 1 ) (
1 (
k n n
n k
A C
k n k n
Với 0 < k < n ta có thể biểu diễn công thức dới dạng: *
)!
(
!
k n k
n
C k n
Tính chất 1: Cho số nguyên dơng n và số nguyên k với 0 k n Khi đó C n k C n nk
Trang 3Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
Tính chất 2: Cho các số nguyên dơng n và k với 0 k n Khi đó 1 1
n k n k
k
4) Nhị thức Niutơn:
0
1 1 1 0
C a
C
b
k
k k n k n n
n n k
k n k n
n n
n n
n
Số hạng thứ k + 1 của nhị thức Niutơn là: T k C n k a nk b k
1
Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh,
tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia nh vậy?
Giải:
Có 3 trờng hợp:
Tr
ờng hợp 1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam C73C267
Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam C42C199
Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam C22C1010 Vậy ta có: C73C267C42C199 cách
Tr
ờng hợp 2: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam C72C268
Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam C53C188 , Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam C22C1010 Vậy ta có: C72C268C53C188 cách
Tr
ờng hợp 3: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam C72C268 , Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam C52C189
Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam C33C99, Vậy ta có: C72C268C52C189 cách
Theo quy tắc cộng ta có: C73C267 C42C199 + C72C268 C53C188 + C72C268 C52C189 cách
Câu 2: Cho hai đờng thẳng song song d1 và d2 Trên đờng thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đờng thẳng d2 có n
điểm phân biệt n 2 Biết rằng 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n thoả mãn điều kiện trên
Giải:
Số tam giác có một đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 là: 10C n2
Số tam giác có một đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: nC102
10
C n
Câu 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số
lập đợc đều nhỏ hơn 25000
Giải: Gọi n a1a2a3a4a5chẵn, a i a j ij, n 25000.
Vì n25000 a1 1;2 ta có các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: a1 = 1 Ta có 1 cách chọn a1 Ta có 4 cách chọn a5 ( n chẵn) A53 cách chọn a2a3a4 Vậy ta có:
240
.
4
.
Tr
ờng hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ hơn 5
Ta có 1 cách chọn a1 Ta có 2 cách chọn a2
Ta có 2 cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4
Vậy ta có: 1.2.2 2 48
4
Tr
ờng hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ hơn 5
Ta có 1 cách chọn a1 Ta có 2 cách chọn a2
Ta có 3 cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4
Vậy ta có; 1.2.3 2 72
4
Theo quy tắc cộng ta có: 240 48 72 360 số n
Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có
đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau
Giải:
Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 chữ số 1, 3, 5 là: 3 6
A cách Ta xem mỗi cặp số lẻ nh một phần tử x
Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số chẵn 0, 2, 4, 6
Gọi n a4a3a2a1a0 ta có các trờng hợp sau:
Tr
ờng hợp 1: a0 = 0 Đa x vào 4 vị trí đầu: Có 3 cách
Đa 2 chữ số chẵn 2,4, 6 vào 2 vị trí còn lại có A32 cách
Vậy có: 3 2 18
Tr
ờng hợp 2: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a4 Có 3 2 18
Trang 4Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009 Tr
ờng hợp 3: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a2 hoặc a2a1 Có 24 cách Vậy ta có: 618 18 24 360 số n
Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả
các số tự nhiên đó
Giải:
2 3 3 4 4 0 1 2 3
a
a3, 3 cách chọn a2, 2 cách chọn a1, 1 cách chọn a0 Vậy có: 4 4 3 2 1 96 số n
Cách 2: Ta có 4 cách chọn và 4! Cách sắp xếp 4 số còn lại.
Vậy có: 4 4! = 96 số n
* Tính tổng 96 số n lập đợc:
Cách 1: Có 24 số n n a4a3a2a1a0 , có 18 số n a4a3a2a11, có 18 số n a4a3a2a12, có 18 số n a4a3a2a13,
có 18 số n a4a3a2a14
Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18 ( 1 2 3 4 ) 180 Tơng tự: Tổng các chữ số hàng choc là 1800, tổng các chữ
số hàng trăm là 18000, tổng các chữ số hàng nghìn là 180000
Có 24 số n 1a3a2a1a0, có 24 số n 2a3a2a1a0 , có 24 số n 3a3a2a1a0 , có 24 số n 4a3a2a1a0
Tổng các chữ số hàng chục nghìn là 24 ( 1 2 3 4 ) 10000 2400000
Vậy tổng 96 số n là: 180 1800 18000 180000 2400000 2599980
Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí a4
Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí ai, với i = 0, 1, 2, 3
Vậy tổng 96 số n là: (1 2 3 4)24.104 18(103 102 101 100)
Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn của 2 100
x
x , chứng minh rằng:
0 2
1 200 2
1 199
2
1 101 2
1
100
199 100 100
198 99 100
100 1
101
99
0
Giải:
100 102
2 100 101 1 100 100 0 100 100
2
1
x và nhân hai vế với
2
1 200 2
1 199
2
1 101 2
1 100
199 100 100
198 99
100
100 1
101
99 0
C
Câu 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và
tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8
Giải:
Gọi n a1a2a3a4a5a6 là số cần lập Yêu cầu bài toán:
1 , 2 , 5
, ,
5
4
a hay a3,a4,a51 , 3 , 4
a) Khi a3,a4,a5 1 , 2 , 5 Có 6 cách chọn a1; có 5 cách chọn a2
Có 3! Cách chọn a3, a4, a5 Có 4 cách chọn a6
Vậy ta có: 6 5 6 4 720 số n
b) Khi a3,a4,a5 1 , 3 , 4 tơng tự ta cũng có 720 số n
Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n
Cách khác: * Khi a3,a4,a5 1 , 2 , 5 Có 3! = 6 cách chọn a3a4a5 , có A63 cách chọn a1, a2, a6
Vậy ta có: 6 5 6 4 720 số n
* Khi a3,a4,a5 1 , 3 , 4, tơng tự ta cũng có 720 số n
Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n
Câu 8: Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức n
x 2
3
2 , trong đó n là số nguyên dơng thoả mãn:
1024 2 1
1 2
5 1 2
3
1
2
1
1
2n C n C n C n n
Giải:
1 2 3
3 1 2 2 2 1 2 1
1 2 0
1 2 1 2
1 2
3 1 2
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
1 2
4 1 2
3 1 2
2 1 2
1 1 2
0 1 2
Lây (1) – bộ giáo dục - đào tạo (2) 2 1
1 2
5 1 2
3 1 2
1 1 2 1
10 1
2 1 2
5 1 2
3 1 2
1
1
2
2 n C n C n C n C n n
Vậy 2n = 10
Trang 5Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
10 0
10 10 10
) 3 ( 2 ) 1 ( 3
2
k
k k k
Suy ra hệ số của x7 là: C107 37 23 hay C103 37 23
Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 ngời
biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ
Giải:
Ta có 3 trờng hợp:
* 3 nữ và 5 nam: có 5 2520
10
3
* 4 nữ và 4 nam: Có 4 1050
10
4
* 5 nữ và 3 nam: có 3 120
10
5
Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách
Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và
nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5
Giải:
Gọi n a1a2a3a4a5 là số cần lập
Ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí 2 4 5 20
Xếp 1, 5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên
4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2
3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3
* Theo quy tắc nhân ta có: 2 5 4 3 20 60 1200
Cách khác:
B
ớc 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: Ta có: 2 4 5 20
B
ớc 2: Có 3 3 4 5 60
A cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại Vậy có 20 60 = 1200 số n thoả mãn yêu cầu bài toán
Câu 11: Tìm k0 ; 1 ; 2 ; ; 2005 sao cho C2005k đạt giá trị lớn nhất ( với C n k là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải:
k
C C C C
k k k k
1 2005 2005
1 2005 2005
k k
k k
k
k
k k
k
k
2006 2005 1 )!
2006 ( )!
1 (
! 2005 )!
2005
(
!
2005
)!
2004 ( )!
1 (
! 2005 )!
2005
(
!
2005
1003 1002 ,
1003
1002
1003
1002
k k N
k
k
k
k
Câu 12: Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức: 2P n 6A n2 P n A n2 12 ( Pn là số hoán vị của n phần tử và
k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử)
Giải:
P n n n n
0 ) 6 ( 2 )!
2 (
! 6 )!
2 (
! 12
)!
2 (
!
! )!
2
(
!
.
6
!
.
n
n n
n n
n n n
n
n
3
2 0
2
3 0
2 ) 1 (
6
! 0
2 )!
2
(
!
0
!
6
n n
n
n n
n
n n
n
n
( Vì n 2)
Câu 13: Tìm x,yN thoả mãn hệ:
66 22
2 3 3 2
x y y x
C A C A
Giải:
Với điều kiện: x 2 ,y 3, ta có:
2 132 2.
3
)1 132 2 6
66
)1
2
)
2
1
(
22
)
2
1
(
6
)1
2 2
2
3
x y y
y y x
x
y
y
y
y
x
C x
y
60 2 3
3 4
0
132
11
11
132 2 3
6
6
2 3 2
2
3
2
y y y
loai x hay x x
x
y y
y
x
x
5 4 0
)
12
2
)(
5
(
4
x
y
y
y
x
Câu 14: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lợt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệ khác A, B, C,
D Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439
Giải:
Nếu n 2 thì n 6 8 Do dó số tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ n + 6 điểm không vợt quá 3 56 439
C
( loại)
Trang 6Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
Vậy n 3
Vì mỗi tam giác đợc tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử Nhng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA
có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
439 6
) 1 )(
2 ( 1 6
) 6 )(
5 )(
4 (
3 3
3
3
n n n n
n n C
C
loai
n hay n
n
n
n n n n
n
n
14 10
0 140
4
2540 )
1 )(
2 ( ) 6 )(
5
)(
4
(
2
Đáp số: n = 10
Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?
Giải:
Gọi n a1a2a3a4 là số cần lập
* Trờng hợp 1: a4 = 0, ta có: 8 cách chọn a1 ( Vì a1 2)
8 cách chọn a2, 7 cách chọn a3; 1 cách chọn a4
Vậy ta có: 8 8 7.1 = 448 số n
* Trờng hợp 2: a4 0 vì a4 chẵn
Ta có: 4 cách chọn a4; 7 cách chọn a1; 8 cách chọn a2; 7 cách chọn a3
Vậy ta có: 4 7 8 7 = 1568 số n
Vậy cả hai trờng hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n
Câu 16: Chứng minh rằng:
1 2
1 2 2
1
6
1 4
1 2
1 2 2
5 2
3 2
1 2
n
C n C
C C
n n
n n
n
chập k của n phần tử)
Giải:
n n
n n n
n n n
n n
x C x
C C x x
C x
C C
2 1
2 0 2 2 2
2 2 1
2 0 2 2
1 ,
1
0
1 2 1 2 2 3
3 2
1 2 1
0
2 2
1 2 1 2 2 3
3 2
1 2 2
2
2
) 1 ( ) 1 (
2 ) 1 ( 1
dx x C x
C x C x
x
x C x
C x C x
x
n n n n
n
n n
n n n n
n n
n
1 2
1 2 )
1 2 ( 2
) 1 ( ) 1 ( 2
) 1 ( )
1
1 0
1 2 1
2 1
0
2 2
n n
n n
n
2
1
4
1 2
1
4
2
.
2
3 2
1 2
1 0 2 2 2
4 3 2
2 1 2 1
0
1 2 1 2 2 3
3
2
1
2
n n n n
n n
n n n
n C
C x
C x
C x C dx x C x
C
x
C
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Câu 17: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức: 5 2 10
) 3 1 ( 2
Giải:
Hệ số của x5 trong khai triển của 5
) 2 1
x là ( 2 )4.C54
Hệ số của x5 trong khai triển của x2 ( 1 3x) 10 là 3 C3. 103
Hệ số của x5 trong khai triển của x( 1 2x) 5 x2 ( 1 3x) 10 là ( 2 ) 3 3 3320
10 3 4 5
Câu 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu tơn của n
x)
2 ( , biết 2048
) 1 (
3 3
3
n
Giải:
Ta có: 3n C n0 3n 1C n1 3n 2C n2 3n 3C n3 ( 1 )n C n n ( 3 1 )n
Từ giả thiết suy ra n = 11
11 0
1 11
2
k
k k
C
x Suy ra hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của ( 2 x) x là:
22
2
11 10
10
n n
x a x
a a
1 0 1 , trong đó n N* và các hệ số a0, a1, … ,an thoả mãn hệ thức 4096
2
2
1
0 a a n n
a Tìm hệ số lớn nhất trong các số a0, a1, … , an
Giải:
Trang 7Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
n n n
n n
f a a
a x a x
a a x x
2
1 2
2
2 1
)
0 1
Từ giả thiết suy ra: 2 4096 2 12 12
n
Với mọi k0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 11 ta có: 2 12, 1 2 1 121
a
3
23 1
) 12 ( 2
1 1
2
2
12 1 12 1
k k
k C
C a
a
k k
k k
k
k
Mà kZ k 7 Do đó a0 < a1 < … < a8
1
k a
a
k
k
Do đó a8 > a9 > … > a12
Số lớn nhất trong các số a0, a1, ….…., an là: 2 8 126720
12
8
a
n
k n
k
C n
2
1
1 1 1
( n, k là các số nguyên dơng, k n, C n k là tổ hợp chập k của
n phần tử)
Giải:
Ta có:
)!
1 (
)!
( )!
1 ( )!
1 ( 2
1 1
1
2
1
1 1
k n k
k n k n
n C
C
n
n
k n
k
n
n
C n
k n k k
k n n
k n
k
n
1
!
)!
( ) 1 ( ) 1 (
!
)!
(
2
1
Câu 21: Tìm số nguyên dơng n thoả mãn hệ thức: 2 1 2048
2
3 2
1
n n
tử)
Giải:
n n n n
n n n
n n
n
2 1 2 1 2 2 3
3 2 2 2 2
1 2
0
2
)
1
2 1 2 2
3 2
2 2
1 2
0 2
n
n n n
n n n
2 1 2 2
3 2
2 2
1 2
0 2
n n
n n n
n n
C
Lấy (1) – bộ giáo dục - đào tạo (2): 2 2 ( 2 1 ) 4096 2 12 6
2
3 2
1 2
n n
n n
Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
18 5
1
x
x ( x > 0)
Giải:
18 0
18 0
5 6 18 18 18 5
1 18 18 18
2
k k k
k k
C x
x
5
6
Vậy số hạng không chứa x là: 2 15 6528
18
Câu 23: Cho khai triển nhị thức:
n x n n x x
n x
n x n
n x n
n
x
x
C C
C
C
3 1
3 2 1 1 3
1 2 1 1 2
1 0 3
2
1
2 2
2
2 2
2 2
rằng trong khai triển đó C n3 5C n1 và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm x và n
Giải:
7 0
28 3 5
6
) 2 )(
1 ( )!
1 (
! 5 )!
3 ( 3
n
n n
n n n
n n n
n n
n
3 3 2 1
x
x x
Câu 24: Cho đa giác đều A1A2… A2n ( n nguyên) nội tiếp đờng tròn (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, … , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2, …., A2n Tìm
n
Giải:
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2… A2n là: C 2n3
Trang 8Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
Gọi đờng chéo của đa giác đều A1A2… A2n đi qua tâm đờng tròn (O) là đờng chéo lớn thì đa giác đã cho có n đờng chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2, …., A2n có các đờng chéo là hai đờng chéo lớn Ngợc lại, với mỗi cặp đờng chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đờng chéo lớn của đa giác A1A2… A2n tức C n2
Theo giả thiết thì:
8 15
1 2 2
) 1 ( 20 6
) 2 2 )(
1 2 (
2 )!
2 ( 2
! 20 )!
3 2 ( 3
)!
2 (
20 2
3
n
n n
n C
Câu 25: Tìm số nguyên dơng n sao cho: 0 2 1 4 2 2 243
C
Giải:
Ta có:
n k
k k n
n C x
x
0
Cho x = 2 ta đợc:
n k
n k k n
0
3 243 3 2 3
Câu 26: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
3
1
, biết rằng:
) 3 ( 7
3
1
n
n
n ( n là số nguyên dơng, x > 0, C n k là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải:
! 2
) 3 )(
2 ( ) 3 ( 7 )
3 (
3 3
1
n
n n
n n
n n
n
n
11 60 12
12 2 5 3 12
k k k k
k x x C x C
2
11 60
8 2
11
60
k
k x
x
k
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: 495
)!
4 12 ( 4
! 12
4
C
n
n n
n
n C
C C
1
1 2
2
1 2 2
1
2 3 1 2 0
(C n k là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải:
n n
n n n
x C x
C x C C
2
1
2 2 1 0 2
1
) 1
n n
n n n
1
2 3 1
1 2
2
1 2 2
1 2
1
3 2
) 1 ( 1 1
1 1 1
2 3 1 2 0
2 1
1 3
2 2 1 0 2 1 1
n
C n C
C C
n
x C x
C x C x C x
n
n n n n n
n n
n
n n n n
n n n
Câu 28: Với n là số nguyên dơng, gọi a3 n 3 là hệ số của x3 n 3 trong khai triển thành đa thức của
x2 1n(x 2 )n
Tìm n để a3n3 26n
Giải:
n n
n n n n n n
C x
C x
C x C
x2 1 0 2 1 2 2 2 2 4
n n n n
n
n n
n n
Dễ dàng kiểm tra n = 1 , n = 2 không thoả mãn đk bài toán
Với n 3 thì 3 3 2 3 2 2 1
x
Do đó hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n là a3n3 23.C n0.C n3 2 C1n.C n1
2 7
5 26
3
4 3 2 2 26
2 3
3
n
n n n
n n n
a n
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dơng)
Trang 9Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009
n i
n k
k n i i n n n
i
n k
k k n
i i n n n n
n n n
x C x C x
x
C x
C x
x x
x x
2 3
3 2
3 2
Trong khai triển trên , luỹ thừa của x là 3n – bộ giáo dục - đào tạo 3 khi -2i – bộ giáo dục - đào tạo k = -3 hay 2i + k = 3 Ta chỉ có 2 trờng hợp thoả mãn đk này là i = 0 , k = 3 hoặc i = 1 , k = 1
Vậy hệ số của x3n-3 là 0 3 2 3 1 1 2
3
2 7
5 26
3
4 3 2 2 26
2 3
3
n
n n n
n n n
a n
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dơng)
Câu 29: Giải bất phơng trình: n2 5C n4 2C n3 2A n3 (trong đó C n k là số tổ hợp chập k của n phân tử và A n k là chỉnh hợp tập k của n phân tử )
Giải : Điều kiện n N và n 4
Bất phơng trình đã cho có dạng :
! 3
! 2
! 3
! 3
! 2
! 4
! 4
!
2
n
n n
n n
n n
(do
n2 + 2n + 5) > 0 , mọi n)
Kết hợp điều kiện đợc nghiệm của bất phơng trình đã cho là n = 4 , n = 5
Câu 30: Tính hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 2 8
1
1 x x
Giải:
8 16
8 8 7 14
7 8 6 12
6
8
5 10
5 8 4 8
4 8 3 6
3 8 2 4
2 8 2
1 8
0 8 8
2
) 1 ( )
1 ( )
1
(
) 1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 ( 1
1
x x
C x x
C x
x
C
x x C x x C x x C x x C x x C C x
x
Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8
Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thứ 4, thứ 5 với hệ số tơng ứng là: C83.C32,C84.C40
Suy ra: a8 168 70 238
Câu 31: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu
hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi
đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Giải:
Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3 nên có các trờng hợp sau:
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 1 23625
5
2 10
2
C
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là: 2 10500
5
1 10
2
C
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 1 22750
5
1 10
3
C
Vì thế cách chọn trên đôI một khác nhau nên số đề kiểm tra có thể lập đợc là:
23625 + 10500 + 22750 = 56875
Câu 32: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
7 4
x
x với x > 0
Giải:
7 0 12 7 28 7 7
0
4 3 7 7 4
7 0
7 3 7 7
4
k
k k k
k k k k
k
k
x x
C x
x
Số hạng không chứa x là số hạng tơng ứng với k kZ, 0 k 7 thoả mãn: 0 4
12
7 28
k k
Số hạng không chứa x cần tìm là: 7 35
4
C
Câu 33: Tìm số nguyên dơng n sao cho: 2 2 3 2 4 2 ( 2 1 ) 2 2 1 2005
1 2 2 4
1 2
3 1 2
2 1 2
1 1
C
(C n k là số tổ hợp chập k của n phân tử)
Giải:
n n
n n
n
1 2 3
3 1 2 2 2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
)
1
(
n n
n n
n
1 )( 1 )2 21 1 2 221 3 232 2 ( 2 1 ) 22 1 2 2
(
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1 1
n
n n
n n
n
Theo giả thiết ta có: 2n 1 2005 n 1002
Trang 10Ôn thi ĐH – Tháng 5/2009 Tháng 5/2009 Câu 34: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân đội thanh
niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Giải:
Có C31.C124 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất Với mỗi cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có C21C84 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai Với mỗi cách phân công thanh niên tình nguyện về tình thứ nhất và tỉnh thứ hai thì có C11C44 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 3
Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh theo yêu cầu bài toán là: 4 207900
4
1 1
4 8
1 2
4 12
1
C
Câu 35: Tính giá trị của biểu thức:
)!
1 (
A
n
4 1
n
A
4
2 3
2 2
2
dơng, A n k là chỉnh hợp tập k của n phân tử và C n k là số tổ hợp chập k của n phân tử)
Giải:
Điều kiện: n 3 Ta có:
149 2
4
2 3
2
2
2
C
9
5 0
45 4
149 )!
2 ( 2
)!
4 ( )!
1 ( 2
)!
3 ( 2
!
! 2
)!
2 ( 2 )!
1
(
2
)!
1
(
2
n
n n
n
n
n n
n n
n n
n
Vì n nguyên dơng nên n = 5
4
3
! 6
! 2
! 5 3
! 2
! 6
!
6
A
3 3
5
4
A
M
Câu 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
7
4
1 , biết rằng
1 2
1 2
2
1
2
1
1
2n C n C n n
C ( n là số nguyên dơng,C n k là số tổ hợp chập k của n phân tử)
Giải:
1 2
2 1 2
1 1 2
0 1
2n C n C n C n n
C
1 2
1
n
k
2
1
1 2
1 1 2
0 1 2 1
2
2 1 2
1
1
2
0
1
2n C n C n C n n C n C n C n n
C
Từ khai triển nhị thức Niutơn của ( 1 1 ) 2 1
n suy ra:
3 2
) 1 1 (
1 2
1
1
2
0
1
2
C
Từ (1), (2), (3) suy ra: 2 2n 220 hay n = 10
10 0
40 11 10 10
0
7 10 4 10 7
1
k
k k k
k k k
n
x C x
x C x
x
Hệ số của x26 là C10k với k thoả mãn : 11k 40 26 k 6
Vậy hệ số của x26 là: 6 210
10
C
Câu 37: Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4 Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử gấp 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k1 ; 2 ; 3 n sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất
Giải:
Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng C n k Từ giả thiết suy ra:
18 0
234 5
1
18
18
1
18
k k
k C
C
k
k
nên C181 C182 C189 C189 C1810 C1818
Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9
Câu 38: Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B
và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy?
Giải: