Chương I ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN CHỦ ĐỀ I CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1.. Toạ độ góc Khi vật rắn quay quanh một trục cố định hình 1 thì : - Mỗi điểm trên vật vạch mộ
Trang 1Chương I ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
CHỦ ĐỀ I CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1 Toạ độ góc
Khi vật rắn quay quanh một trục cố định (hình 1) thì :
- Mỗi điểm trên vật vạch một đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc
với trục quay, có bán kính r bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay, có
tâm O ở trên trục quay.
- Mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng
thời gian
Trên hình 1, vị trí của vật tại mỗi thời điểm được xác định bằng góc φ giữa
một mặt phẳng động P gắn với vật và một mặt phẳng cố định P0 (hai mặt phẳng
này đều chứa trục quay Az) Góc φ được gọi là toạ độ góc của vật Góc φ được
đo bằng rađian, kí hiệu là rad.
Khi vật rắn quay, sự biến thiên của φ theo thời gian t thể hiện quy luật
chuyển động quay của vật
2 Tốc độ góc
Tốc độ góc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển
động quay của vật rắn
Ở thời điểm t, toạ độ góc của vật là φ Ở thời điểm t + Δt, toạ độ góc của
vật là φ + Δφ Như vậy, trong khoảng thời gian Δt, góc quay của vật là Δφ.
Tốc độ góc trung bình ω tb của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t
tb ∆
∆
= ϕ
Tốc độ góc tức thời ω ở thời điểm t (gọi tắt là tốc độ góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ
số
t
∆
∆ϕ khi cho Δt dần tới 0
Như vậy :
t
t ∆
∆
=
→
∆
ϕ ω
0 lim hay ω=ϕ'(t) (1.2)
- Nếuω = const thì vật rắn quay đều
- Nếuω ≠ constthì vật rắn quay không đều
Đơn vị của tốc độ góc là rad/s.
3 Gia tốc góc
Tại thời điểm t, vật có tốc độ góc là ω Tại thời điểm t + Δt, vật có tốc độ góc là ω + Δω Như vậy, trong khoảng thời gian Δt, tốc độ góc của vật biến thiên một lượng là Δω.
Gia tốc góc trung bình γ tb của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t
tb ∆
∆
= ω
Gia tốc góc tức thời γ ở thời điểm t (gọi tắt là gia tốc góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ
số
t
∆
∆ω
khi cho Δt dần tới 0 Như vậy :
t
t ∆
∆
=
→
∆
ω γ
0 lim hay γ =ω'(t)=ϕ''(t) (1.4)
Đặc trưng của chuyển động này là gia tốc góc Nếu lấy chiều quay của vật làm chiều dương
(chiều quay ω) thì:
- Nếu γ >0,ω>0(tăng): vật quay nhanh dần
- Nếu γ >0,ω<0(giảm): vật quay chậm dần
- Nếu γ =0,ω=const: vật rắn quay đều
P 0
P
A z
Hình 1
Trang 2Chú ý: Khi gia tốc gócγ và vận tốc gócω cùng dấu thì chuyển động nhanh dần, còn
ngược lại là chậm dần
Đơn vị của gia tốc góc là rad/s 2
4 Các phương trình động học của chuyển động quay
a Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = const, γ = 0) thì chuyển
động quay của vật rắn là chuyển động quay đều.
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc mặt phẳng P lệch với mặt phẳng P0 một góc φ0, từ (1) ta có :
φ = φ 0 + ωt (1.5)
b Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = hằng số) thì chuyển
động quay của vật rắn là chuyển động quay biến đổi đều.
Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh một trục cố định :
ω=ω0+γt (1.6)
0 0
2
1
t
t γ ω ϕ
2 2 ( 0)
0
2 ω γ ϕ ϕ
ω − = − (1.8) trong đó φ 0 là toạ độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
ω 0 là tốc độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
φ là toạ độ góc tại thời điểm t.
ω là tốc độ góc tại thời điểm t.
γ là gia tốc góc (γ = hằng số).
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc tăng dần theo thời gian thì
chuyển động quay là nhanh dần.
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc giảm dần theo thời gian thì
chuyển động quay là chậm dần.
5 Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay
Tốc độ dài v của một điểm trên vật rắn liên hệ với tốc độ góc ω của vật rắn và bán
kính quỹ đạo r của điểm đó theo công thức :
r
v = ω (1.9)
Nếu vật rắn quay đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn đều Khi đó vectơ vận
tốc v của mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về độ lớn, do đó mỗi
điểm của vật có gia tốc hướng tâm an với độ lớn xác định bởi công thức :
r r
v
Nếu vật rắn quay không đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn không đều Khi đó vectơ
vận tốc v của mỗi điểm thay đổi cả về hướng và độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc a
(hình 2) gồm hai thành phần :
+ Thành phần an vuông góc với v, đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của v, thành phần
này chính là gia tốc hướng tâm, có độ lớn xác định bởi công thức :
r r
v
+ Thành phần at có phương của v, đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của
v, thành phần này được gọi là gia tốc tiếp tuyến, có độ lớn xác định bởi công thức
:
γ
r t
v
a t =
∆
∆
Vectơ gia tốc a của điểm chuyển động tròn không đều trên vật là :
t
n a a
v
t
a
n
a
a
r
O α M
Hình 2
Trang 3Về độ lớn : a= a n+a t (1.14)
Vectơ gia tốc a của một điểm trên vật rắn hợp với bán kính OM của
nó một góc α, với :
2
tan
ω
γ
n
t
a
a
(1.15)
6 Các công thức của chuyển động quay cần nhớ
t.
0 γ
ω
ω= + ;
R
v
=
2 0
2
1 t γt
ω
ϕ
R
s
=
0
2
1 t a t v
s
s= + + )
.(
2
0
2 ω γ ϕ ϕ
0
2 v a s s
R
a n =ω2
R
v
a n
2
=
R
a t
=
Gia tốc toàn phần:
+
=
+
=
2 2 2
t n
t n
a a a
a a
a
7 Các chú ý:
+ Trong chuyển động quay của vật rắn mọi điểm trên vật rắn đều có cùng vận tốc góc và gia tốc góc
+ Trong chuyển động quay của vật rắn các điểm có khoảng cách đến trục quay càng lớn sẽ có vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến càng lớn
+ a t >0hay γ >0chuyển động quay nhanh dần, a t <0hay γ <0chuyển động quay chậm dần
8 So sánh các đại lượng đặc trưng của chuyển động quay và chuyển động thẳng
Tọa độ góc ban đầu (lúc t=0) làϕ0 Tọa độ ban đầu làx0
Vận tốc góc
dt
dϕ
dt
dx
v =
Gia tốc góc
dt
dω
dt
dv
a=
Phương trình chuyển động quay đều:
Vận tốc góc ω = const
Pt tọa độ góc ϕ=ϕ0 +ωt
Phương trình chuyển động thẳng đều: Vận tốc v = const
Pt tọa độ: x =x0+vt
Phương trình chuyển động quay biến đổi Phương trình chuyển động quay biến đổi
Trang 4Pt vận tốc góc ω=ω0 +γt
0 0
2
1
t
t γ ω ϕ
đều:
Pt vận tốc v=v0 +at
0 0
2
1
at t v x
x= + +
CHỦ ĐỀ II PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1 Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
a Momen lực đối với một trục quay cố định
Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo bằng tích của lực và cánh tay đòn
Momen M của lực F đối với trục quay Δ có độ lớn bằng : M =Fd =rFsinϕ
(2.1)
trong đó: + d là tay đòn của lực F (khoảng cách từ trục quay Δ đến giá của lực F)
+ ϕ là góc hợp bởi r và F
Chọn chiều quay của vật làm chiều dương, ta có quy ước :
M > 0 khi F có tác dụng làm vật quay theo chiều dương
M < 0 khi F có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược chiều dương
b Quy tắc momen lực
+ Nếu ta quy ước momen lực của F1 làm vật quay theo chiều kim đồng hồ là chiều dương
thì M 1 = F 1 d 1 > 0 Khi đó momen lực F2 làm vật quay theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ có giá trị
âm M 2 = - F 2 d 2 < 0
+ Momen tổng hợp khi đó là : M = M1 + M 2 = F 1. d 1 – F 2 d 2 (2.2)
- Nếu M > 0 vật quay theo chiều kim đồng hồ
- Nếu M < 0 vật quay ngược chiều kim đồng hồ
- Nếu M = 0 vật không quay hoặc quay với vận tốc góc không đổi
c Cân bằng của vật rắn có trục quay cố định
Muốn cho vật rắn có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng thì tổng các giá trị đại số của các momen lực phải bằng 0: ∑M = 0 (2.3)
d Chú ý:
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, lực chỉ có tác dụng làm quay khi giá của lực không
đi qua trục quay
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, thì chỉ có thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo mới làm cho vật quay
e Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
- Trường hợp vật rắn là một quả cầu nhỏ có khối lượng m gắn
vào một đầu thanh rất nhẹ và dài r Vật quay trên mặt phẳng
nhẵn nằm ngang xung quanh một trục Δ thẳng đứng đi qua một
đầu của thanh dưới tác dụng của lực F (hình 1)
Phương trình động lực học của vật rắn này là :
γ ) ( 2
mr
trong đó M là momen của lực F đối với trục quay Δ, γ là gia tốc góc của vật rắn m.
- Trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng mi, mj, … ở cách trục quay Δ những khoảng ri, rj, … khác nhau.
Phương trình động lực học của vật rắn này là : γ
= ∑i m i r i
(2.5)
2 Chuyển động khối tâm của vật rắn.
Hình 1
O r F
Δ
Trang 5a Trọng tâm và khối tâm
Vật rắn tuyệt đối là vật có hình dáng và kích thước tuyệt đối không đổi
- Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực Gọi G là trọng tâm của vật rắn thì tọa độ của G được
xác định như sau: Xét hai chất điểm A, B có khối lượng m1 và m2, trọng lực tương ứng là
g
m
P1 = 1 và P2 =m2g Trọng tâm của chúng là điểm đặt G của hợp lực P của P1 và P2
1
2 1
2
m
m P
P BG
AG
=
= Ta tìm tọa độ trọng tâm G(x,y,z)
2
1
m
x OG x AG x BG
m
x OB OG x x x
2 1
2 2 1
1
m m
x m x
m
x
+
+
=
⇒
Chú ý: G chỉ phụ thuộc vào khối lượng và tọa độ chứ không phụ thuộc vào gia tốc trọng
trường g
Tương tự ta có tọa độ
2 1
2 2 1 1
m m
y m y m y
+
+
2 1
2 2 1 1
m m
z m z m z
+
+
=
Trường hợp có nhiều chất điểm thì
Với những vật đồng chất và có dạng hình học đối xứng thì trọng tâm của vật nằm trên trục đối xứng của vật Với những vật rắn có dạng hình học đặc biệt thì trọng tâm của vật có thể nằm ngoài vật
- Khối tâm: là một điểm tồn tại ở trên vật mà nếu lực tác dụng lên vật có giá đi qua điểm đó
thì chỉ làm vật chuyển động tịnh tiến mà không quay Khối tâm là một điểm có khối lượng của vật (hay vị trí tập trung khối lượng của vật) Khi không có lực tác dụng thì khối tâm chuyển động thẳng đều như chuyển động thẳng đều của chất điểm chuyển động tự do
Công thức xác định vị trí (tọa độ) khối tâm của một hệ N chất điểm
xc = i. i
i
m x m
∑
∑ ; yc = i. i
i
m y m
∑
∑ ; zc = i. i
i
m z m
∑
∑ (2.7)
- Chú ý: Khi vật ở trạng thái không trọng lượng thì vật không có trọng tâm nhưng luôn có
khối tâm Ở một miền không gian gần mặt đất, trọng tâm của vật thực tế gần với khối tâm của vật
b Chuyển động của khối tâm
Phân thành hai chuyển động:
- Chuyển động của khối tâm G (thể hiện chuyển động toàn phần của vật)
- Chuyển động quay của vật quanh G (thể hiện chuyển động của phần này đối với phần
khác)
= +
+ +
+ +
+
=
= +
+ +
+ +
+
=
= +
+ +
+ +
+
=
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
i
i i G
i
i i G
i
i i G
m
z m m
m m
z m z m z m z
m
y m m
m m
y m y m y m y
m
x m m
m m
x m x m x m x
3 2 1
3 3 2 2 1 1
3 2 1
3 3 2 2 1 1
3 2 1
3 3 2 2 1 1
(2.6)
Trang 6c Định lí về chuyển động của khối tâm
Khối tâm vật rắn chuyển động như là một chất điểm mang toàn bộ khối lượng của vật
và chịu tác dụng của tổng các vectơ ngoại lực tác dụng lên vật.
Chú ý: Nếu ngoại lực khử lẫn nhau thì khối tâm của vật rắn hoặc đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều
d Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến (bao gồm chuyển động tròn và thẳng)
∑ =∑
=
2
2
i i đi
đ
v m W
W
(2.8) Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm chuyển động trên những quỹ đạo giống
hệt nhau, với cùng vận tốc và gia tốc (tức thời) = vận tốc và gia tốc của khối tâm
G
i V
v = và ∑m i =M suy ra
2
2
G đ
MV
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến thì bằng động năng của khối tâm mang
khối lượng của vật.
e Động lượng P=∑m i.v i =M.V G
3 Ngẫu lực: Là hợp của 2 lực song song, ngược chiều, có cùng độ lớn và cùng tác dụng lên
một vật Khi đó trọng tâm của vật sẽ đứng yên nhưng vật sẽ chuyển động quay quanh một trục đi
qua trọng tâm
4 Điều kiện cân bằng tổng quát: Là điều kiện để vật không có chuyển động quay và
không có chuyển động tịnh tiến
=
=
⇔
=
=
⇔
∑
∑
∑
∑
0
0 0
0
y
x
F
F M
F
(2.10)
5 Momen quán tính
Nếu khối lượng m của vật rắn là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển
động tịnh tiến thì trong phương trình (2.5), đại lượng i2
i
i r m
∑ đặc trưng cho mức quán tính của
vật quay và được gọi là momen quán tính, kí hiệu là I.
Momen quán tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn
trong chuyển động quay quanh trục ấy.
2
i i
i r m
Momen quán tính có đơn vị là kg.m 2
Momen quán tính của một vật rắn không chỉ phụ thuộc khối lượng của vật rắn mà còn phụ
thuộc cả vào sự phân bố khối lượng xa hay gần trục quay
Momen quán tính của một số vật rắn có trục quay trùng với trục đối xứng:
+ Thanh đồng chất có khối lượng m và có tiết diện nhỏ so với chiều dài l
của nó, trục quay Δ đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh (hình 1) :
2 12
1
ml
Δ
l
Hình 1
R Δ
Hình 2
Trang 7+ Vành tròn (hoặc trụ rỗng) đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục
quay Δ đi qua tâm vành tròn và vuông góc với mặt phẳng vành tròn (hình 2) :
2
mR
+ Đĩa tròn mỏng (hoặc hình trụ đăc) đồng chất có khối lượng m, có bán kính
R, trục quay Δ đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt đĩa (hình 3) :
2 2
1
mR
+ Quả cầu đặc đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục quay Δ đi
qua tâm quả cầu (hình 4) :
2 5
2
mR
Momen quán tính của vật rắn có trục quay Δ bất kỳ (không trùng với trục đối xứng):
2
.d m I
I∆ = G +
Trong đó m là khối lượng vật rắn, d là khoảng cách vuông góc giữa 2 trục, trục đối xứng và
trục Δ
VD : Momen quán tính của thanh mảnh có trục Δ đi qua một đầu của thanh là :
2
.d m I
I∆ = G + Trong đó
2
l
d =
3.
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục là : M =Iγ (2.16)
I : momen quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ
M : momen lực tác dụng vào vật rắn đối với trục quay Δ
γ : gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục Δ
CHỦ ĐỀ III MOMEN ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG
1 Momen động lượng
Momen động lượng L của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục là : L=Iω
(3.1)
trong đó: I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
ω là tốc độ góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục Đơn vị của momen động lượng là kg.m 2 /s.
2 Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục
Δ R
Hình 3 Δ
R
Hình 4
2
l
I∆ m l m m l m l m l
Trang 8Độ biến thiên momen động lượng ∆ L của một vật rắn trong khoảng thời gian ∆t bằng tổng các momen lực tác dụng lên vật trong thời gian ấy
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục được viết dưới dạng khác là :
' )
t
L M t M
∆
∆
=
⇔
∆
=
trong đó: M là momen lực tác dụng vào vật rắn
ω
I
L= là momen động lượng của vật rắn đối với trục quay
L
∆ là độ biến thiên của momen động lượng của vật rắn trong thời gian t∆
3 Định luật bảo toàn momen động lượng
Nếu tổng các momen lực tác dụng lên một vật rắn (hay hệ vật) đối với một trục bằng không thì tổng momen động lượng của vật (hay hệ vật) đối với một trục đó được bảo toàn.
⇔
=0
M L =Iω = hằng số (3.3)
+ Trường hợp I không đổi thì ω không đổi : vật rắn (hay hệ vật) đứng yên hoặc quay đều.
+ Trường hợp I thay đổi thì ω thay đổi : vật rắn (hay hệ vật) có I giảm thì ω tăng, có I
tăng thì ω giảm (Iω = hằng số hay I1 ω 1 = I 2 ω 2).
CHỦ ĐỀ IV ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1 Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định
Động năng Wđ của vật rắn quay quanh một trục cố định là : Wđ 2
2
1
ω
I
= (4.1)
trong đó I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
ω là tốc độ góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục Động năng Wđ của vật rắn quay quanh một trục cố định có thể viết dưới dạng : Wđ
I
L
2
2
= (4.2)
trong đó L là momen động lượng của vật rắn đối với trục quay
I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay Động năng của vật rắn có đơn vị là jun, kí hiệu là J.
2 Định lí biến thiên động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định
Độ biến thiên động năng của một vật bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật.
ΔWđ = I − I 2 =A
1
2 2 2
1 2
trong đó I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
1
ω là tốc độ góc lúc đầu của vật rắn 2
ω là tốc độ góc lúc sau của vật rắn
A là tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật rắn ΔWđ là độ biến thiên động năng của vật rắn
3 Chú ý:
Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng (trong chuyển động này tất cả các
điểm của vật đều chuyển động trên những mặt phẳng song song) VD: chuyển động của một quyển sách trên mặt bàn, của bánh xe Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành hai chuyển động:
- Chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong của khối tâm G)
Trang 9- Chuyển động quay của vật rắn quanh trục Gz đi qua tâm G vuông góc mặt phẳng chứa quỹ đạo G Vì vậy động năng này bao gồm:
Động năng quay quanh trục Gz
2
.ω2
I
W đq = Động năng tịnh tiến
2
. G2
đ v m
W =
Bảng tương quan giữa các đại lượng dài và đại lượng góc
Tọa độ x Tọa độ góc ϕ
Vận tốc v Vận tốc góc ω
Gia tốc a Gia tốc góc γ
Lực F Momen lực M
Động lượng p=m.v Momen động lượng L=I.ω
Động năng 2
2
1
v m
2
1Iω
W đ = Phương trình cơ bản ∑F =m.a Phương trình cơ bản ∑M =I.γ
Định luật bảo toàn động lượng
const
v
m =
∑ .
Định luật bảo toàn động lượng
const
∑.ω Định lí biến thiên động năng
A
W đ =
Điều tuân theo định luật bảo toàn cơ năng
