Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại Thời gian vật đi được những
Trang 1CHƯƠNG II DAO ĐỘNG CƠ HỌC
CHỦ ĐỀ I ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1 Phương trình dao động: x = Acos(t + )
2 Vận tốc tức thời: v = x’ = - Asin(t + ) = Acos(t + +
2
)
v luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0)
3 Gia tốc tức thời: a = - 2Acos(t + ) = 2Acos(t + + ) = - 2x
a luôn hướng về vị trí cân bằng
4 Vật ở VTCB: x = 0; vMax = A; aMin = 0
Vật ở biên: x = ± A; vMin = 0; aMax = 2A
5 Sự đổi chiều và đổi dấu của các đại lượng:
+ a và F đổi chiều khi qua VTCB, v đổi chiều ở biên, x đổi dấu khi qua VTCB.
+ x, a, v, F biến đổi cùng T, f và
6 Chu kì, tần số của dao động:
+ Chu kì (s): T 2 t
N
Với N là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong thời gian t
+ Tần số Hz): 1
2
N f
7 Hệ thức độc lập:
2
A x
2 2 2
4 2
a v A
a = - 2x
1 A
a
A
2
2
v
a v
v
2 max 2
2 2
max
2
hay 2 2 2 2
max
a (v v ) hay 1
a
a v
v
2 max
2 2
max
2
8 Cơ năng: W = W + Wđ 1 2 2 1 2
Với đ 1 2 1 2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 2 2
t m x m A cos t co t
Chú ý: Tìm x hoặc v khi W = n Wđ t ta làm như sau:
+
đ
2 đ
W = n W
( 1)
2
t t
A
Trang 2+ đ
2 2
đ
W = n W
1
W = W + W
2
t
t
k
9 Dao động điều hoà có tần số góc là , tần số f, chu kỳ T Thì động năng và thế năng biến
thiên với tần số góc 2, tần số 2f, chu kỳ T/2 Động năng và thế năng biến thiên cùng biên độ,
cùng tần số nhưng ngươc pha nhau.
10 Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( nN*, T là chu kỳ dao động) là:
2 2
2 4m A
11 Chiều dài quỹ đạo: 2A
12 Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại
Thời gian vật đi được những quãng đường đặc biệt:
13 Thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình
a Thời gian: Giải phương trình x iAcos(t i) tìm ti
Chú ý:
Gọi O là trung điểm của quỹ đạo CD và M là trung điểm của OD; thời gian đi từ
O đến M là OM 12
T
t , thời gian đi từ M đến D là
6
MD
T
Từ vị trí cân bằng x 0 ra vị trí 2
2
xA mất khoảng thời gian
8
T
t
Từ vị trí cân bằng x 0 ra vị trí 3
2
xA mất khoảng thời gian
6
T
t
Chuyển động từ O đến D là chuyển động chậm dần đều(av0; a v), chuyển động từ D đến O là chuyển động nhanh dần đều(av0; a v)
Vận tốc cực đại khi qua vị trí cân bằng (li độ bằng không), bằng không khi ở biên (li độ cực đại)
A
T/6
T/12
2
3
A
2
2
A
T/8
T/12 T/8
Trang 3b Quãng đường:
4
2
T
T
suy ra
4
2
T
T
Chú ý:
2 nếu vật đi từ 0 2
8 1 2 nếu vật đi từ 2
3 nếu vật đi từ 0 3
6
nếu vật đi từ
M
m
M
T
t
T
t
nếu vật đi từ 0
12 1 nếu vật đi từ
M
m
T
t
c + Tốc độ trung bình: vtb s
t
+ Tốc độ trung bình trong một chu kỳ dao động: v 4A
T
14 Tổng hợp dao dộng đều hịa
a Độ lệch pha trong hai dao động cùng tần số x1 = A 1 cos(t + 1 )
và x 2 = A 2 cos(t + 2 )
- Độ lệch pha giữa hai dao động x1 và x2 : 1 2
+ Nếu 0 1 2thì x1 nhanh pha hơn x2
+ Nếu 0 1 2thì x1 chậm pha hơn x2
- Các giá trị đặt biệt của độ lệch pha:
+ k2 với k Z : hai dao động cùng pha
+ (2k1) với k Z : hai dao động ngược pha
+ (2 1)
2
với k Z : hai dao động vuơng pha
b Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phương cùng tần số
x 1 = A 1 cos(t + 1 ) và x 2 = A 2 cos(t + 2) được một dao động điều hồ cùng phương cùng tần
số x = Acos(t + ).
Trang 4Trong đó: A2 A12 A22 2 A A c1 2 os( 2 1)
1 1 2 2
tan
với 1 ≤ ≤ 2 (nếu 1 ≤ 2 )
* Nếu = 2kπ (x1, x2 cùng pha) AMax = A1 + A2
` * Nếu = (2k + 1)π (x1, x2 ngược pha) AMin = A1 - A2
A1 - A2 ≤ A ≤ A1 + A2
* Nếu A1 = A2 Thì
1
1 2
A 2A cos
2 2
Chú ý : khi viết được phương trính x = Acos(t + ) thì việc xác định vận tốc, gia tốc của vật
như với một vật dao động điều hòa bình thường
c Khi biết một dao động thành phần x 1 = A 1 cos(t + 1 ) và dao động tổng hợp x = Acos(t + ) thì dao động thành phần còn lại là x 2 = A 2 cos(t + 2 ).
Trong đó: A22 A2 A12 2 AA c1 os( 1)
1 1
sin sin tan
Ac A c
với 1 ≤ ≤ 2 ( nếu 1 ≤ 2 )
d Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số có phương trình x1 = A 1 cos(t + 1 ); x 2 = A 2 cos(t + 2); … thì dao
động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos(t
+ ).
Chiếu lên trục Ox và trục Oy Ox
Ta được: Ax Ac os A c1 os 1 A c2 os 2
Ay A sin A1sin 1 A2sin 2
x
A A
với [Min; Max]
e Trường hợp tổng hợp nhiều dao động điều cùng phương, cùng tần số: x 1 ; x 2 ; …; x n thì
x = x 1 + x 2 + … + x n = Acos(t + )
- Tìm biên độ A : Chiếu xuống trục Ox : Ax A1cos 1 A2cos 2 Ancos n Chiếu xuống trục Oy : Ay A1sin 1 A2sin 2 Ansin n
Biên độ tổng hợp : A Ax2 Ay2
- Pha ban đầu của dao động : tan x
y
A A
Chú ý : + Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có thể áp dụng
trường hợp tổng quát
nói trên
+ Ngoài phương pháp nói trên, nếu A1 = A2 = A, thí ta có thể cộng lượng giác và tìm được phương trình dao động tổng hợp:
x x x A t A t A t
II CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Bài toán lập phương trình dao động dao động điều hoà:
* Viết phương trình dao động tổng quát : x = Acos(t + )
Trang 5* Xác định A, ,
+ Tính : max max
max
2 2
v a
f
+ Tính A :
2
( )
+ Tính dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0) 0
0
sin( )
Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Trước khi tính cần xác định rõ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn
lượng giác
(thường lấy - π < ≤ π) + Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t0 tăng thì đạo hàm bậc
nhất của nó theo t
sẽ dương và ngược lại
Dạng 2: Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến x 2
2 1
với
1 1
2 2
s
s
x co
A x co
A
và (0 1, 2)
Dạng 3: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2
Phân tích: t2 – t1 = nT + t (n N; 0 ≤ t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian
t là S2
Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
à
v
(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
Lưu ý: + Nếu t = T/2 thì S2 = 2A
+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao
động điều hoà và
chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:
2 1
tb
S v
với S là quãng đường tính như trên
Dạng 4: Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian
0 < t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB,
nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong
cùng một khoảng thời gian quãng đường
đi được càng lớn khi vật ở càng gần
VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị
trí biên
A
M'1 M'2
O
A -A
M
O
P
2 M
M
P
2
2
Trang 6Sử dụng mối liên hệ giữa dao động
điều hoà và chuyển đường tròn đều
Góc quét = t
Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ
M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1) ax 2A sin
2
M
Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
2 (1 os )
2
Min
Lưu ý: + Trong trường hợp t > T/2
Tách '
2
T
trong đó *;0 '
2
T
n N t Trong thời gian
2
T
n quãng đường luôn là 2nA
Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian t:
ax ax
M tbM
S v
t
và Min
tbMin
S v
t
với SMax; SMin tính như trên
Dạng 5: Bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W t , W đ , F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 phạm vi giá trị của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên ( n thường laynhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý: + Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều
Dạng 6: Bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W t , W đ , F) từ thời điểm t 1 đến
t 2
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
* Từ t1 < t ≤ t2 Phạm vi giá trị của (Với k Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó
Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển
động tròn đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
Dạng 7: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x 0
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + ) cho x = x0
Lấy nghiệm t + = với 0 ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0)
hoặc t + = - ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là
A sin( )
t
hoặc x Acos( )
t
Dạng 8: Dao động có phương trình đặc biệt:
* x = a Acos(t + ) với a = const
Biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu , x là toạ độ, x0 = Acos(t + ) là li độ Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a A
Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”
Trang 7Hệ thức độc lập: a = -2x0 2 2 2
0 ( )v
2 2 2
4 2
a v A
* x = a Acos2(t + ) (ta hạ bậc)
Biên độ A/2; tần số góc 2, pha ban đầu 2
CHỦ ĐỀ II CON LẮC LÒ XO
1 Cấu tạo con lắc lò xo
a Nằm ngang :
b Thẳng đứng : c Trên mặt phẳng nghiêng :
* Điều kiện dao động điều hoà : Bỏ qua ma sát, lực cản, bỏ qua khối lượng của lò xo (coi lò
xo rất nhẹ), xét trong giới hạn đàn hồi của lò xo Thường thì vật nặng được coi là chất điểm
2 Tính toán liên quan đến vị trí cân bằng của con lắc lò xo:
Gọi : l là độ biến dạng của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng.
l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo
lCB là chiều dài của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng
Ở vị trí cân bằng :
+ Con lắc lò xo nằm ngang : l = 0, lCB = l0
+ Con lắc lò xo thẳng đứng : Ở VTCB lò xo biến dạng một đoạn l.
P = Fđh => mg = k.l
lCB = l0 + l
+ Con lắc lò xo treo vào mặt phẳng nghiêng một góc Ở VTCB lò xo biến dạng một
đoạn l.
Psin = Fđh => mg sin = k.l
lCB = l0 + l
3 Chu kì, tần số của con lắc dao động đều hòa.
- Tần số góc: k
m
;
- Chu kỳ: T 2 2 m
k
; Con lắc lò xo thẳng đứng : T 2 l
g
- Con lắc lò xo treo ở mặt phẳng nghiêng: 2
sin
l T
g
m
k
m
k
k m
k
m
Trang 8Chú ý : Gọi T1 và T2 lần lượt là chu kì của con lắc khi lần lượt treo vật m1 và m2 vào lị xo cĩ độ
cứng k
Chu kì của con lắc lị xo khi treo cả m1 và m2 :
+ m = m1 + m2 là T2 T12 T22 T T12 T22
+ m = m1 - m2 là T2 T12 T22 T T12 T22 (với m1 > m2)
- Tần số: 1 1
k f
4 Chiều dài của con lắc lị xo khi dao động
- Chiều dài của lị xo ở vị trí cân bằng : lCB = l0 + l
- Chiều dài cực đại của lị xo khi dao động : lmax lCB A
- Chiều dài cực tiểu của lị xo khi dao động : lmin lCB A
max min; max min
CB
- Ở vị trí cĩ tọa độ x bất kì, chiều dài của lị xo : l l CB x
Chú ý :
- Trong một dao động (một chu kỳ) lị xo nén 2 lần và giãn 2
lần
- Chiều dài lị xo tại VTCB: l CB = l 0 + l (l 0 là chiều dài tự
nhiên)
- Khi A >l (Với Ox hướng xuống):
+ Thời gian lị xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi
từ vị trí x1 = - l đến x2 = - A
+ Thời gian lị xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi
từ vị trí x1 = - l đến x2 = A
- Khi A < l thời gian lị xo giản một lần là thời gian ngắn nhất
để lị xo đi từ vị trí x1 = - (l – A) đến x2 = A
5 Động năng, thế năng và cơ năng của con lắc dao động đều hịa
W W W đ t
- Động năng: 1 2 1 2 2sin (2 )
đ
1 21 2cos(2 2 )
- Thế năng: 1 2 1 2cos (2 ) 1 2 1 2cos(2 ); 2
t
Chú ý:
+
2
1 : Vật ở biên 2
tM
l
giãn O
x A
-A nén
l
giãn O
x A -A
Hình a (A < l) Hình b (A > l)
x
A
-A l
Nén
0 Giãn
Hình vẽ thể hiện thời gian lị xo nén
và giãn trong 1 chu kỳ (Ox hướng
xuống)
Trang 9+ Động năng và thế năng biến thiên điều hòa cùng chu kì '
2
T
T , cùng tần số f ' 2 f và tần số góc ' 2
+ Trong một chu kì có 4 lần động năng bằng thế năng
+ Cơ năng có thể tính theo tốc độ trung bình trong một chu kì :
2 2
8 T
m v W
6 Lực tổng hợp tác dụng lên vật (Lực kéo về hay lực hồi phục)
+ Công thức : Fhp ma kx m x 2
+ Độ lớn : Fhp m a k x
a Ở vị trí biên : Fhp m 2A kA
b Ở VTCB : F hp 0 + Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật
* Luôn hướng về VTCB
* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ
7 Lực đàn hồi (là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng), cũng là lực mà lò xo tác dụng lên giá đỡ, điểm treo, lên vật.
Có độ lớn F đh = kx * (x* là độ biến dạng của lò xo)
- Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng)
- Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng
+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
* Fđh = kl + x với chiều dương hướng xuống
* Fđh = kl - x với chiều dương hướng lên
+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(l + A) = FKmax (lúc vật ở vị trí thấp nhất)
+ Lực đàn hồi cực tiểu:
* Nếu A < l FMin = k(l - A) = FKMin
* Nếu A ≥ l FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)
+ Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: FNmax = k(A - l) (lúc vật ở vị trí cao nhất)
8 Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k 1 , k 2 , … và chiều dài tương ứng là l 1 , l 2 , … thì có: kl = k 1 l 1 = k 2 l 2 = …
1 2
1 1 2 2
l l l
kl k l k l
a Ghép lò xo:
* Nối tiếp
1 2
k k k cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
2 2 2
1 2
* Song song: k = k1 + k2 + … cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
2 2 2 2 12 22
1 2
f f f
T T T
Chú ý: + Lò xo có độ cứng k0 cắt làm hai phần bằng nhau thì k1 k2 k 2 k0
+ Đối với con lắc lò xo : 1 2 1 2 2 1
với m m 2 m1
Trang 10b Gắn lò xo k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2 được T2, vào vật khối lượng m1 + m2 được chu kỳ T3, vào vật khối lượng m1 – m2 (m1 > m2) được chu kỳ T4
Thì ta có: T32 T12T22 T3 T12T22 và T42 T12T22 T4 T12 T22
MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH
DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí cân bằng x 0 0 theo chiều dương v 0 0: Pha ban đầu
2
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí cân bằng x 0 0 theo chiều âm v 0 0: Pha ban đầu
2
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua biên dươngx0 A: Pha ban đầu 0
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua biên âmx0 A: Pha ban đầu
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0
2
A
x theo chiều dương v 0 0: Pha ban đầu
3
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0
2
A
x theo chiều dương v 0 0: Pha ban đầu
2
3
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0
2
A
x theo chiều âm v 0 0: Pha ban đầu
3
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0
2
A
x theo chiều âm v 0 0: Pha ban đầu 2
3
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0 2
2
A
x theo chiều dương v 0 0: Pha ban đầu
4
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0 2
2
A
x theo chiều dương v 0 0: Pha ban đầu
3
4
Chọn gốc thời gian t 0 0là lúc vật qua vị trí 0 2
2
A
x theo chiều âm v 0 0: Pha ban đầu
4
