skkn ứng dụng tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Người thực hiện: Tơn Nữ Thanh Thủy.. Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂNLÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI +Tính cấp thiết của đề tài : Ôn tậ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Tơn Nữ Thanh Thủy

Lĩnh vực nghiên cứu:

Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ mơn: Tốn Phương pháp giáo dục 

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Tôn Nữ Thanh Thủy

2 Ngày tháng năm sinh: 09 – 01 - 1963

8 Đơn vị công tác: THPT chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 1984

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy môn toán

Số năm có kinh nghiệm: 28

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

+Tính cấp thiết của đề tài : Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12

chuẩn bị thi vào đại học, giải quyết vấn đề ứng dụng tích phân một cách dễdàng

+Tính mới của đề tài : bổ sung tính thể tích khối tròn xoay khi quay hìnhphẳng quanh trục tung trong điều kiện (C): y = f(x) không rút được quy tắcngược x theo y dễ dàng Bài viết đã được trích đăng trên tạp chí toán học tuổitrẻ số 397 tháng 7 năm 2010

I THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA

ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

- Thực trạng về mặt tích cực của các vấn đề có liên quan đến đề tài

- Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quanvới đề tài

- Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quanvới đề tài

2 Khó khăn

- Thực trạng về mặt tiêu cực của các vấn đề có liên quan đến đề tài

- Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quanvới đề tài

- Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quanvới đề tài

3 Số liệu thống kê

Các số liệu để làm căn cứ đánh giá thực trạng các vấn đề có liên quan đến

đề tài và làm căn cứ so sánh với kết quả của đề tài

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

- Các nội dung của đề tài đã được cá nhân nghiên cứu qua lý luận và thửnghiệm trong thực tiễn

BM03-TMSKKN

- Phân tích các điểm mới của cá nhân đưa ra mà chưa ai đề cập đến hoặc

đã có đề cập nhưng chưa đủ, chưa đúng

- Trình bày các giải pháp của mình đối với từng vấn đề, đồng thời đưa racác ví dụ minh hoạ cụ thể

III KẾT QUẢ

- Trình bày những lợi ích trực tiếp thu được do áp dụng sáng kiến kinhnghiệm này vào dạy học, giáo dục học sinh và quản lý giáo dục tại đơn vị hoặctrong toàn ngành

- Các kết quả dưới dạng cải thiện điều kiện làm việc, nâng cao chất lượngcông việc; góp phần giải quyết những vấn đề của thực tiễn, đóng góp vào việcphát triển giáo dục – đào tạo, phục vụ cho công tác giáo dục - đào tạo, nghiêncứu khoa học tại đơn vị hoặc trong toàn ngành

- Trình bày số liệu thống kê, phân tích so sánh kết quả đạt được so vớitrước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này

IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM

- Các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễthực hiện và dễ đi vào cuộc sống

- Phạm vi đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng

áp dụng đạt hiệu quả

V KẾT LUẬN

Khái quát các vấn đề được rút kết từ sáng kiến kinh nghiệm này và nêunhững đề xuất với các cấp quản lý

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ghi tên tài liệu tham khảo và tên tác giả đã được sử dụng trích dẫn trongsáng kiến kinh nghiệm

1 Tên tài liệu - Tác giả - Nhà xuất bản - Năm xuất bản

2

NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)

TÔN NỮ THANH THỦY

Biên Hòa , ngày27 tháng4 năm 2012

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2011 - 2012

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Họ và tên tác giả: .Tôn nữ Thanh Thủy Đơn vị (Tổ): Toán

Lĩnh vực:

Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: Toán Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác: 

1 Tính mới

- Có giải pháp hoàn toàn mới 

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2 Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai ápdụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai ápdụng tại đơn vị có hiệu quả 

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

BM04-NXĐGSKKN

y=f(x) a

b x y

I)Ý nghĩa hình học của tích phân :

Cho y = f(x) liên tục và f(x) > 0 ∀x∈[a, b] Thế thì diện

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hsố y = f(x); trục

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm 2 bước:

1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] l x1;x2; x3;.…

(a≤x1<x2<x3<…≤b)

2) Chọn 1 trong 3 cach sau:

*Lập bảng xét dấu : f(x) trên [a;b]

* Đưa dấu GTTĐ|f(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2

nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này

*Dùng đồ thị

II)Diện tích hình phẳng:

I)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong:

y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên [a,b] và 2 đường thẳng x

= a, x = b là : S = ∫b −

a

dx x g x

|

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| ;Ta làm 2 bước:

1)Giải pt: f(x)-g(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] là x1;x2; x3;.…

(a ≤ x1<x2 < x3 < … ≤ b)

2)Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| bằng 1 trong 3 cách sau:

a) Lập bảng xét dấu : f(x)-g(x) trên [a;b]

b) Đưa dấu GTTĐ|f(x)-g(x)| ra ngồi dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2 nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) – g(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này

c) Khử dấu GTTĐ |f(x)-g(x)| bằng đồ thị

3) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín :

A) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 



=

=

) ( : ) (

) ( :

) ( 2

1

x g y C

x f y C

Bước 1: Giải phương trình : f(x) = g(x)  



=

=

b x

a x

Bước 2: Sử dụng S =

dx x g x f b a

) ( : ) (

) ( :

) (

3 2 1

x h y C

x g y C

x f y C

Bước 1: Giải phương trình tương giao  tìm hồnh độ giao điểm

h(x) g(x) trình phương giải

g(x) f(x) trình phương giải

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

2 1

3 2

2 1

C C

B

C C

A

C C

C

Bước 2: Sử dụng

g(x)f(x)

S =

dx x h x g dx x h x

f

b c

c

C) Chú ý : Cần phải điền “đvdt” vào kết

quả cuối cùng trong các bài toán tính

; 2 :

) (

0 : ) (

6 4 2 ) ( :

)

(

2 1

2

x d x

d

y Ox

x x x f y P

( )

(

(*)

Cách 2 : Vẽ đồ thị suy ra (*)

Cách 3: Vì trên mỗi đoạn con, f(x) chỉ nhận 1 dấu nên ta đưa dấu GTTĐ ra

ngoài dấu tích phân trên 3 đoạn con : [-2; -1]; [-1; 3]; [3; 4]

⇒ S =

dx x f dx x f dx x

3 1

1

2

) ( )

( )

1 :

) (

2 3 :

)

x Oy

x y D

x x y P

10 8 6

4 2

-2 -4 -6 -8

-10 -12

s3

s2

s1

S = S1 + S2 = ∫ [ − + − − ] +∫3[ − − − + ]

1

2 1

0

2 3x 2 ) (x 1 )dx (x 1 ) (x 3x 2 )dx x

=

= +

−

− +

1 2 1

0

3

3 2 3 3

)

(

0 5 :

D

y x

C

3 : ) (

5 : )

2 ) ( 3 ) 5

2 2

1 3

1 4

2 3

x

=

) 5 ( ) 5 ( 2 ) 5 ( ) 5 ( ) 3

2 / 1 4

1

12 4

1

x d x x

d x x

2 / 3 4

1

2 / 3 4

1

2

) 5 ( 3

4 )

5 ( 3

4 ) 8 1

x y ax y a

x y

2 2

4 2 2

x a x

2

3 4

y x

,

0 , 0

S= ∫a − dx

a

x ax

0

2

=

) ( 3 3 3

2 3

a a a

x x x

2 8

2

= ∫ − −∫2 =

0 2 2

0

2 8

3

8 2

x

Xét I =

dy y

0

2 8

Đặt y = 2 2Sint ⇒ dy = 2 2Costdt

I =

dy y

8

π

Costdt t

Sin

=

dt Cost t Sin

∫/4 −

0

2 1

4

4 /

0

2 2

2 9 3

4 2

3

4 6

−

=

π

π π

−

= +

+

−

= +

3 4 3

3 4 3

2

2

x x x

x x x

⇔ 



= +

−

=

−

0 6 3

0 5 2

2

x x

x x

3

; 0

y x

y x

(P) ∩ Ox: y = 0 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0

⇔ x = 1 hay x = 3

5 32

5

3

2 3

2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị : y = x3 - 3x và y = x

3)(TN2001-2002) (1,0 đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :y2 = 2x + 1 và y = x – 1

V)LUYỆN TẬP :

Bài 1 : (D/2002):Cho hs: y = 1

) 1 2

(Cm)1.K/S và vẽ đồ thị (C) của hsố (1) với m = -1

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và 2 trục toạ độ

3.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài 2:(A–2007)Tính diện tích hình phẳng g/ hạn bởi các đường : y = (e +1)x, y

= (1 + ex)x

Bài 6:(Cao Đẳng 08-09)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) :y = –

x2 + 4x và đt d : y = x

Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (P) :

y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại M(3, 5) và trục tung

Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các nhánh của đường (y -

x)2 = x3 và đt x = 1

s3

s2

s1y

x

Bài 5 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong x2 = 4ay; y=

Bài 6 : Tính diện tích của 2 phần hình tròn

x2 + y2 = 8 bị phân chia bởi parabol y2 = 2x

Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = x4 - 2x3 + x2 + 3 ; trục hoành và 2 đường thẳng // với truc tung và đi qua các điểm cực tiểu của đường cong trên

Bài 8 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x ; y = x +

I)Thể tích của vật thể : Cắt 1 vật thể V bởi 2 mp (P) và (Q) vuông góc với trục

Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b) Một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x

≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đọan [a; b]

Thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mp (P) và (Q) được tính bởi công

thức : =∫b

a

dx ) x ( S

x (

= π∫b

a

2 dx y

2)Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị :

y = f(x) liên tục trên [a; b]  x = g(y) liên tục trên

M(x, y) x

y

M=(x, y)

y= f(x)

x y

c d

[c, d] , y’Oy, 2 đường thẳng y = c; y = d Gọi H/ là hình tròn xoay tạo thành khi

quay H 1 vòng quanh trục tung ⇒ VH’ = π∫d

c

dy y

2 : )

y Ox

x x y P

Tìm Vx khi S quay quanh trục Ox và Vy khi S quay quanh trục Oy

a) (P) ∩Ox: 2x – x2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 ⇒π∫ ( x−x ) dx = ∫2( x − x +x )dx

0

4 3 2 2

1 3

0

5 4

1 1 1

1

= ∫ −y dy=

1 0 1

4 π

− 4 ∫1( − ) −

0

2 /

π

= − 3

8 )

10 3 :

) (

) 0 ( :

) (

2 1

2

y D

x y D

x x y P

) 10 3 ( 3

1

x x

π

5

61 6

2 ( 10 ) 10

2 3

15 27

Bài 3: Cho S là hình phẳng giới hạn bởi elip (E): 2 1

2 2

2

= +

b

y a

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox

b.Tìm Vy khi S quay quanh Oy

Giải:

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

x a a

b y a

x b

y b

y a

⇔Cung BA: y =

2

a a

0

2

3 24

1 24

Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên

khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R =

1 quay quanh trục Oy

O

X Y

7 6 5 4 3 2 1

-1

(p 1 ) (p 2 )

X

Y

x Y

⇔ (x – 2)2 = 1 – y2⇔ x = 2 ± 1 y− 2

⇒ Vy= 2π∫1( + −y ) (− − −y ) dy

0

2 2 2

1 2

=

dy y

0

2 1

16 π

Đặt y = Sint ⇒ dy = Costdt ⇒ Vy = ∫/2 −

0

2 1 16

π

= ∫/20

2 16

π

= 8π

2 /

0

2 2

2 1

4

) 4 2 (

π

=

5

288 5

4 2

) 4 2 (

; 3 : )

Tính Vx khi S quanh quanh Ox

Giải : PTHĐGĐ của (C) và (P) là

2 3

Vx =

dx

x x dx

x dx

0

2 3 3

0

2 2

9 3

12 10 8 6 4 2

-2 -4 -6 -8 -10

(P)

x y

IV)BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1)Tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình phẳng(H) giới hạn bởi 3 đồ

thị:y = xex ,

x = 1, y = 0 ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ?

2) Cho hình tròn tâm I(2, 0), R = 1 quay quanh Oy Tính thể tích của vật thể tròn

xoay tạo nên

3)(A/ 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị :y = | x2 – 4x + 3|, y= x + 3

4) (B/2002):Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = 4 4

5)B–2007)Hình phẳng (H) giới hạn bởi 3đường : y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 4 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy

Bài 5 : Tính thể tích tròn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường

y= xex; x = 0 ,

x = 1 quanh trục Oy

Bài 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục

hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy

Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía dưới bởi(P):y= x2 , bị chắn phía trên bởi đt đi qua A(1, 4) và có hệ số góc k.Tìm k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất

Bài 8: Xét hình có diện tích S chắn bởi (P):y = x2 và đthẳng có hệ số góc k, quaA(x0; y0)∈Miền trong của(P) thỏa:y0>x02 Tìm k để S nhỏ nhất

Bài 9 : Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường: x + y = 0 ; x2 – 2x + y = 0

Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y= x và y = Sin2x + x (0 ≤ x

≤π )

Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y2 = 2x và 27y2 = 8(x –1)3

Bài 12 : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn: x2 + (y – b)2 < a2 (0

< a < b)

Bài 13 :Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình

phẳng S giới hạn bởi các đường :y = xex ; x = 1; y = 0 (0 ≤ x ≤ 1 )

Bài 14 : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi các đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2

Bài 15 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox, với H

là hình được giới hạn bởi 4 đường:y = 0;y = Cos6x+Sin6x;x = 0; x = π/2

Bài 16: Gọi (D) là miền được giới hạn bởi :y = - 3x +10, y = 1 và y = x2 (x > 0) Tính thể tích vật thể tròn xoay do ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên

Bài 17: Cho (H) giới hạn bởi 







= +

) x ( x 2 x y : ) C

x y

và V của vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox

Bài 19: (H) giới hạn bởi (P): y = x2 và (C): y= 1 - 1 − x2 Tính diện tích (H) và

thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh trục hoành trục tung

Bài 20:Tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình phẳng(H) giới hạn bởi 3

đồ thị:y = xex , x = 1, y = 0 ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ?

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Một số học sinh thường gặp khó khăn khi phải tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục tung trong điều kiện không rút được x theo y dễ dàng Bài viết này sẽ giúp các em giải quyết vướng mắc trên

I LÝ THUYẾT: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi:

1) Hình phẳng quay quanh trục hoành:

Cho hình phẳng H giới hạn bởi 4 đường

; a x : d

Ox ' x

] b , a [ treân tuïc lieân ) x ( y : ) C (

2 1

Gọi K là khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành 1vòng

⇒ VK = p∫b

a

2 dx )]

x ( [

= p∫b

a

2 dx y

2) Hình phẳng quay quanh trục tung :

Cho hình phẳng H giới hạn bởi 4 đường cơ bản :

; c { lieântuïc ) y ( g x ] b , a [ tuïc lieân

c d

+ Để tính VT = p∫dc[ g ( y )] 2 dy

= p∫d

c

2 dy x

; Ta đổi biến : g(y) = x

0

2

x ) dx x dx xe

∫ bằng TPTP 2 lần ⇒ I = 41(e2 – 1)

KL : V(H) = π4(e2 −1)−3π =12π (3e2 – 7) (đvtt)

b)Gọi (T) là khối tròn xoay sinh ra

khi quay (H) quanh y’Oy :

+Gọi (T1) là khối trụ có chiều cao h =

e, bán kính đáy R = 1 ⇒ V(T1) = p.R2.h

= pe (đvtt)

+Gọi (T2) là khối tròn xoay sinh ra

khi quay quanh y’Oy hình phẳng (H2)

giới hạn bởi : y’Oy ; (C) và (d):y = e

Trong đó : (C): y = f(x) = xex liên tục,

tăng trên [0;1]  x = g(y) liên tục

tăng trên [0,e] ⇒

-2 -4

V(T2) = x (e xe )dx (x x )e dx

1

0

x 2 3 1

0

x x 2

⇒ V(T3) = VHTrụ - VHnĩn với khối trụ cĩ chiều cao h = 1 và đáy R = 1

Và khối nĩn cĩ chiều cao h = 1 và bán kính đáy R = 1

⇒ V(T3) = p.12.1 - 31p.12.1= 32 p (đvtt)

KL : V(T) = V(T1) – V(T2) – V(T3) = pe – p(4 – e) – 32p = p(2e– 143 ) (đvtt)

2) Tính V của khối trịn xoay H tạo thành khi quay

Ox ' x

Cosx y

: ) C (

; 0 x

Ox ' x

Cosx y

: ) C (

+

=

⇔

= +

1 0

1 0

2 0

y , y

Oy ' y

] , [ trên tục liên ) y ( g x

] / [ trên Giảm

; tục liên Cosx y

: ) C

⇒ V(H) = p

dy x dy ] y ( g

0

2 2

0

2 /

2 ( Sinx ) dx x

=>V(H) =

dx Sinx x

2 /

Ox ' x

x ln x y : ) C (

H) tạo thành

Giải:

+Gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi : (d) : x = e; y’Oy và2đt: y = e ; y = 0

⇒GọiT là khối tròn xoay sinh ra khi cho (H1) quay 1 vòng quanh y’Oy ⇒ T là khối trụ tròn xoay có bán kính đáy R = e và chiều cao h = e ⇒ V(T) = p.e2.e = p.e3 (đvtt)

+Gọi (H2) là hình phẳng giới hạn bởi4 đồ thị: (C): y = xlnx tăng liên tục trên [1,e];y’Oy;y = 0, y = e

Oy

'

y

] e , 0 [ reân lieântuïct )

y ( g x : ) C

(

+Và gọi K là hình tròn xoay tạo thành khi quay (H2) quanh trục y’Oy ⇒

V(K) =p

dy x dy ] y

e

Do không rút được x theo y dễ dàng nên ta phải

*Đổi biến : g(y)=x với y = xlnx ⇒