Lí do chọn đề tài - Ở các lớp THCS chúng ta đã biết cách tính diện tích của hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật và các hình đa giác có thể đưa về các hình tam giác, hình thang hay h
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
1.5 Những điểm mới của SKKN.
Trang 21 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
- Ở các lớp THCS chúng ta đã biết cách tính diện tích của hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật và các hình đa giác có thể đưa về các hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để tính diện tích Nhưng trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật, chúng ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp như: ta phải tính diện tích của một cánh rừng, diện tích các thửa ruộng (như hình ảnh sau).
Trang 3Nhưng không phải lúc nào chúng ta cũng có thể chia các hình chúng ta cần tính diện tích về các hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật Vậy thì ta có thể tính được diện tích các hình phức tạp đó không Nếu có thể tính được thì chúng ta tính diện tích đó như thế nào?
- Ta đã biết nội dung chương trình môn Toán ở chương trình phổ thông mới sẽtinh giản nhiều so với chương trình hiện hành, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắnvới đời sống thực tế
- Theo Ban Phát triển các chương trình môn học (Bộ GD-ĐT), ở chương trình phổ thông mới, môn Toán là môn học bắt buộc và được phân chia theo hai giai đoạn:
Giai đoạn giáo dục cơ bản: giúp học sinh nắm được một cách có hệ thống các khái
niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảngcho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong đời sốnghàng ngày
Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng
quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sốngthực tế
Nói tóm lại: Toán học sẽ rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày và sử dụng Toán học đểgiải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, đó cũng là mục tiêu cơ bản
Chính vì vậy sự xuất hiện những bài toán thực tiễn trong các đề thi THPTQG cũng khôngthể thiếu những nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ về học Toán
Vì lẽ đó tác giả chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TOÁN DIỆN TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có cái nhìn mới trong đổi mới cách
tiếp cận kiến thức Toán học
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực trong giờ dạy học
- Giúp học sinh tiếp cận dần các bài toán tìm diện tích bằng Tích phân
Trang 4- Thiết kế giáo án thực nghiệm.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Khai thác một số ví dụ về bài toán tìm diện tích hình phẳng bằng tích phân trong thực tiễn
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: các tài liệu tham khảo, giáo trình có nộidung liên quan
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự giờ đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chuyên gia…
- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp…
1.5 Những điểm mới của SKKN
Người viết lựa chọn đề tài về một mảng kiến thức còn mới mà sách giáo khoa hiện hành chưa đề cập nhiều
2 NỘI DUNG
2.1 Công thức tính diện tích của các hình bằng tích phân.
a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số
y = f(x) liên tục trên a; b
, trục hoành và các đường thẳng x = a; x = b.
Trang 5-Cho hàm số y = f(x) liên tục trên a;b
thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a ; x = b được tính theo công thức:
b
S=∫|f ( x)|dx
- Nhận xét: Để tính diện tích hình phẳng ta cần phải tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt
đối Vì vậy mà ta phải tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối đó
b Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f ( x ), yg ( x)
liên tục trên đoạn a; b và hai đường thẳng x a , x b là:
a
* Đối với những hình không thuộc dạng cơ bản trên ta sẽ tìm cách quy về bằng các chọn hệ trục tọa độ thích hợp đồng thời tìm hàm biểu diễn và sau đó ứng dụng tích phân.
2.2 Một số bài toán điển hình.
Bài toán 1 Thầy An làm một cái cửa nhà hình Parabol có chiều cao từ mặt đất đến
đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét Giá thuê mỗi mét vuông là
1500000 đồng Vậy số tiềnThầy Tâm phải trả là
A.12750000 đồng B.3750000 đồng C.6750000 đồng D.33750000 đồng.
Lời giải Chọn C
Trang 6Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó Parabol là đồ thị của hàm có dạng y ax 2 c
và đối xứng nhau qua O
Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốnđiểm A , B , C
, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ) Phần diện tích S
l , S
2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S
3 , S
4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa là
đồng /1m 2 , kinh phí để trồng cỏ là đồng/1m 2 Hỏi nhà trường cần bao
nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)
A. 6.060.000 đồng B.5.790.000 đồng C.3.000.000 đồng D.3.270.000 đồng.
Lời giải Chọn D
100.000 150.000
Trang 7Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol có hàm số dạng y ax2bx c
có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm B2; 2
nên có phương trình y1
2x2
Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính OB 2 2 nên có phương trình là x 2 y2 8
.2
S 2 8 x 2 1 x 2dx
1
2 Vậy diện tích phần 2
cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành
từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y 2 x 2 25 x2
Trang 8Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy
Trang 9- Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì
y 1 x2 6 parabol có phương trình là 6
Diện tích hình phẳng giới hạn giữa elip và đường tròn chính là diện tích hình elip trừ diện tích
Trang 10người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ) Biết rằng viền
ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là
Trang 11A.119000000 B.152000000 C.119320000 D.125520000
Lời giải Chọn C
E : x 2 y2 1
a 2
b2
S ab .Gọi S
là diện tích của elip ta có
Diện tích con đường là 375 299 76
Do đó số tiền đầu tư là 76 *500.000 119320000 .
Trang 13Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là
x2y 2 36
Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y 36 x 2 f (x)
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị
Bài toán 8. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ
bên, biết đường cong phía trên là một Parabol Giá của rào sắt là đồng.
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn).
Trang 14A. 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.417.000 đồng D 6.620.000 đồng.
Lời giai Chon C
Trang 15Diện tích S y 2 x2 2
của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 25 , trục hoành và hai đường thẳng x
2, 5 , x
2, 5
ta định xây cầu có 10nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bênđầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m Bề dày và bề rộng củanhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ).Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 40m3 B 50m3 C.
Lời giải Chọn A
Trang 16Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là là S 2S1
với S1 phần diện tích giới hạn bởi cácparabol (P1
Thể tích của mỗi nhịp cầu là:V S 0, 2 9,9.0, 2 1,98( m3 ).
1
Suy ra lượng bê tông để xây dựng các nhịp cầu là: 2.(1,98.10) 39, 6( m3 )
(*).
Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40m3
Bài toán 10 Người ta muốn làm một vườn hoa trang trí hình chữ nhật trong khuôn
viên của một ngôi nhà có thiết kế như hình vẽ bên dưới, biết chiều dài bằng 4m, đườngcong OC là nửa cung Parabol với O là đỉnh, OA=1m.Hỏi chiều rộng của vườn bằngbao nhiêu để cung OC chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau?
Lời giải Chọn D
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật H
là hình chữ nhật với AB nằm trên trục Ox , A 1; 0
và C a; a
Trang 17Nhận thấy đồ thị hàm số y x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua C a; a Do
đó nó chia hình chữ nhật ABCD
ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là S1
, S2
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x
Trang 183 Kết luận và kiến nghị
Khi giảng dạy nội dung này học sinh vô cùng hào hứng, các em say mê tìm tòi lờigiải, đưa ra những cách làm sáng tạo và tư duy thông minh, hơn nữa sau mỗi buổi học ,đặc biệt là các em được tiếp cận trực tiếp hình ảnh thật và bằng quan sát , phân tích vàđưa đến lời giải cuối cùng , tất cả rất háo hức , chính vì thế Toán học không còn xa lạhay khiên cưỡng với các em nữa , thay vào đó là việc tiếp thu kiến thức là rất chủđộng
Rõ ràng đây là nội dung rất quan trọng trong nội dung chương trình Toán học phổthông và đặc biệt là nội dung chương trình Sách giáo khoa mới chuẩn bị đưa vào sửdụng, với ý đồ như vậy tác giả muốn giới thiệu đến người đọc một dạng toán quantrọng rất gần gũi với thực tiễn cuộc sống
Vì thời gian có hạn cũng như quy định nội dung của một Sáng kiến kinh nghiệmnên tác giả không thể truyền tải hết những ý tưởng của mình và cũng muốn rằng cácđồng nghiệp của mình tiếp tục những ý tưởng đó để ngày một càng hoàn thiện hơn.Rấtmong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và đặc biệt là người đọc sáng kiến này Xinchân thành cám ơn
Thanh hóa ngày 20 tháng 5 năm Tôi xin cam đoan SKKN là do tôi
Người viết sáng kiến kinh nghiệm giả nào Nếu vi phạm tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm
Trang 19TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Một số tư liệu lấy từ mạng Internet
2/ Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD, 2007)
3/ Hướng dẫn thiết kế bài giảng trên máy tính (Th.s Trương Ngọc Châu, NXBGD, 2005)
4/ SGK GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD)
5/ Sách Bài tập GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD)
6/ Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD)
7/ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK THPT môn TOÁN (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD)
Trang 21SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTHANHHÓA