Chuẩn bị toán học

Xac suat hong gian mau Sample space = La tap hay không øian tât cả các kết quả có thê có của một thí nghiệm... m Diễn ngau nhien roi rac Discrete random variable = Mot biên ngẫu nhiên

Bai 3 Chuan bị toán học

3.1 Xac suat (Probability)

3.2 Bat dang thirc Chebyshev va luat yéu của sô lớn 3.3 Tap 16i (Convex sets) va ham 16i (convex

functions), bat dang thuc Jensen

Trang 29

Xac suat

hong gian mau (Sample space)

= La tap (hay không øian) tât cả các kết quả có thê có của một thí nghiệm Thường được kí hiệu là k hay Š Nêu không gian mau

là roi rac thì có thê được biêu diễn băng E = {e,, e,, ., e,}

a Su kien (Even(), sự kiện cơ ban (elementary event)

= MOi tap con ctia E (khong gian mâu) được gọi là một sự kiện, đặc biệt mỗi phân tử của # được gọi là một sự kiện cơ bản

m Ïlrong một thí nghiệm tung đông, xu thi £ = {U (úp), N (ngửa);

Nêu đồng tiên là đông nhất thì xác suât P(U) = P(N) = 1/2

= Trong mot thi nghi¢m tung con xúc xac thi FE = {1, 2, 3, 4,5, 6} Nêu con xúc xăc là đông nhat thi xac suat P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6, P(?2, 5) = 1/3, PC, 3, 5) =

Trang 30

Xac suat (tt)

= Lay một van ban tiếng Anh điên hình và nhặt một kí tự bât kỳ thì E = {a, b, c, , x, y, z} và xác suât của các kí tự được phân

bố như sau P(a) = 0,0642 , , P(e) = 0,103, , P(z) = 0,0005

m Diễn ngau nhien roi rac (Discrete random variable)

= Mot biên ngẫu nhiên rời rạc x được định nghĩa băng cách gán một số thực x, tới môi sự kiện cơ bản e.cua khong gian mâu rời rac E Xac suất của X, được định nghĩa là xác suất của sự kiện

co ban tương ung va duoc kí hiệu là pŒ;)

a Jri trung binh (ky vong) (average, expected value),

phuong sai (variance)

= Ir trung binh và phương sai của biên ngẫu nhiên rời rạc x lân lượt được kí hiệu và định nghĩa như sau

2 E(x) =X= 2% P(x;)

Trang 31

Xac suat (tt)

a Var(x) = E(x xf }= y (x, -x} p(x,)

- Els? )-x,

trong d6 E(x) la tri ky vong cua x?

m lông quát, trị kỳ vọng của một ham cua x, chang han f(x), duoc

định nghĩa băng E(f(x))= 2, ƒ(x,)p(x,)

m Xác suât đông thời (joint probability), xác suât có điêu

kign (conditional probability)

= Mot cap biên ngau nhien (x, y) lien két voi mot thi nghiém tao thành một biên ngẫu nhiên nỗi (joint random variable) Néu x, y

là roi rac, su phan bô xác suât nỗi hay xác suât đông thời được định nghĩa là

Đụ — P(x =x;„ y =;)

Trang 32

Xac suat (tt)

m Xác suât của y trong điêu kiện đã biệt x được gọi là xác suât có điêu kiện và được định nghĩa là

v)-Po2/)

trong đó xác suật lê (marginal probability) p(x,) được giả thiết

là khác không

m Các xác suât lê được định nghĩa như sau:

p(X,) = > Pei»)

J

ply,

P(y;) — 3 p(x,.,)

Trang 33

Vidu

P(Xúc xăc = 5) = 7/72 |

P(Xúc xăc = 5 đã biết Đông xu = U)

=(1/18)/(5/9)=1/10

Trang 34

1/12

© 1/15

© 1/9

© 1/9

© 1/9

© 1/12

©

1/12

© 1/24

© 1/24

© 1/6

© 1/18

© 1/18

©

U N Đông xu

Xac suat (tt)

=» Su doc lap (Independence)

= Hai bién ngau nhién x va y được gọi là độc lập nêu

S D(X; y;) = P(x;)py;) V i, J

m Chúng ta thây nêu hai biên x và y độc lập thì

} px,.v»,)_ p(x,)p”†,)_ (y)

D (x; ) P (x; )

co nghia la xac suat y, trong diéu kiện có x; xảy ra hay không xảy ra đêu như nhau, không thay đôi, và ngược lại

ply, la

= Cung tu su doc lap chung ta suy ra mot kết quả mà hay được sử

dụng sau này

E(xy) = E(œ) E(y) =Xy

Trang 35

Xac suat (tt)

= Su tuong quan (correlation)

= Su tuong quan C gitra hai bién x va y duoc dinh nghia 1a tri ky vọng của (x—X)(y — Y):

C(x, y) =E(x—x \ly— y)) =

= E(xy)—XYy

s Trong trường hợp x và y là độc lập chúng ta suy ra C(x, y) = 0 Tuy nhiên điêu ngược lại thì không đúng

Trang 36

Bat dang thuc Chebyshev

va luat yeu cua so lon

s Bat đăng thức Chebyshev

„ Cho một biên ngẫu nhiên x có trị trung bình là x và phương sai

là ổ“, bât đăng thức Chebyshev đôi với một sô dương tuỳ ý 6 1a

2

P(\x —x| >8) < Đi

| - ona L,|x - x|20

P(|x —x| > 8) == Ax,)p(x)

Trang 37

Bất đẳng thức Chebyshev chỉ ra cận trên của xác suất để một đại lượng ngẫu nhiên lệch khỏi kỳ vọng toán học của nó: giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học là EX=a và phương sai DX=d2 Bất đẳng thức Chebyshev chỉ rõ rằng với e>0 cho trước, xác

suất của biến cố |X-a|>=e không vượt quá d2/e2 Bất đẳng thức này được dùng để chứng minh luật số lớn.

Bat dang thirc Chebyshev (tt)

ÀÄ — Ä

m VỊ Vậy,

PỈx—x ;2)<>| 5 | p(x,)= 3

Trang 38

Luật yêu của sô lớn (t£)

Xét một thí nghiệm nhị phân trong đỏ các kết quả của thi

nghiệm là O va Ì với các xác suât tương ứng là nạ và Ì— Pp

Thí nghiệm này được lặp lại N lân một cách độc lap, va kết quả trung binh được định nghĩa là v„; tức là, yy băng tông sô các sô

1 trong X lân thí nghiệm chia cho N

RO rang, y, la mot bién ngau nhiên có không gian mẫu là {0, L/N, 2/N, ., 1}

lan thi nghiém thu n, chung ta co

Ln)

=

Trang 39

Lua at về nc của sô lớ n (tt)

Vy -1y

=È x5

xà”

|

| LU sx0—val)

]

1/7 „*l[š&° | J,

Trang 40

Luật yêu của sô lớn (t£)

“ Đôi với một sô nguyên dương tuỳ ý e, theo bât đăng thức

Chebyshev chúng ta có

2 P| Yn Yn pe)

từ đây chúng ta dẫn ra được luật yêu của sô lớn

P — xứ —XÌ>£|<——-

LAY n=] - ) Né

„ Chú ý răng vé phai tién téi 0 khi N tién ra v6 cung

s Luat yêu của sô lớn vì vay khang dinh răng trị trung bình mẫu cua x tiếp cận trỊ trung binh thông kê với xác suât cao khi N —

00,

Trang 41

Tập lôi

= Trong khong gian Oclit, mét tap Š được gọi là lôi (¬) nêu đôi

với một cặp điêm ?,, ; thuộc 5Š thi mọi điềm thuộc doan P,P,

cũng thuộc Š

a) (b) _

m Nêu, =(,x›, , x„) và ; = (Vì, y›, , y„) là các điểm trong

không gian Ơclit z chiêu, thì đoạn thăng nôi chúng được biêu diễn băng tập các diém P, trong đó

P=kXP, + (1-A)P,

= (Ax, + (1-A)y,, Ax, + (I-A), ., Ax, + U-A)y,) va A € [0, I]

Trang 42

Hàm lồi

” Một ví dụ quan trọng của tập lôi là tập tât cả các điềm (D1, Dos ., D,) trong do (p,, P>, ., p,,) là một sự phân bô xác suât (tức là

cac p, € [0, |] va Xp, = 1)

= Mét ham thuc fP), duoc dinh nghia trén tap 161 S, duoc goi 1a

lôi nêu Vcặp điểm P,,P, €S,vaVaAe |0, 1] bat đăng thức sau

đây đúng:

/WVP¡ + (1—À)Đ;›) > MCŒP,ˆ) + (1-À)/P,)

Kx) /x; + (1-À)x;) Ax.)

AY fx] + (1-2 flor)

⁄ x, (Ax, + (1-A)x, X› X

Trang 43

Dinh ly, bat đăng thuc Jensen

= NeuA,, ., hy, la các sô không âm có tông băng I1 thì đôi với

moi tap diém P,, ., ?„ trong miên xác định của hàm 161 f(P)

bat dang thuc sau day dung

( N \ oN

A) LdknFn |? Ln flr)

= Cho bién ngẫu nhiên x lây các gla tri X15 v9 Xy với các xác suất

Dị, ., p„: Cho ƒ(x) là một hàm lôi có miên xác định chứa XI;

Xu Chúng ta co E(x) = y pix; va E(f(x)) = “De f(x ;)

“ Áp dụng định lý trên chủng ta có

KE(X)) 2 EỤ())

Đây được goi la bat dang thuc Jensen

Trang 44

Slide 44

Q2 f(x1)+f(x2)+ +f(xn) >= nf((x1+x2+ +xn)/n)

Quang, 3/13/2008