Toán học rời rạc

Toán học rời rạc

TOÁN HỌC ROI RAC

DISCRETE MATHEMATICS

PART ONE

NỘI DUNG ÔN TẬP

a Quan hé tht tu & tap hợp được sắp

b Dan va dai sé bool

c Ham bool

d Phuong trình bool & hệ phủ tối tiểu

e, _ Công thức tôi tiểu của hàm bool

NỘI DUNG ÔN TẬP (cont.)

° Phép tuyển loại trừ (XOR, ©)

° Phép toán trên bit

° Phép kéo theo: >

° Phép tương đương: <>

— _ Biểu thức mệnh để

— _ Mệnh đề hệ quả & mệnh đề tương đương

° Hang ding (tautology), hang sai

° Tiếp liên

° Mệnh dé hệ quả: P —›Q hằng đúng

° Tương đương logic: P <> Q hằng đúng

PVF =P Identity laws P v(Q AR)=(P\Q) A(PAR) Distributive laws

PvP=P Idempotent laws ¬(P vQ) = =P ~-Q De Morgan's

laws PAP=P =(P AQ) = ¬P v¬Q

¬(¬P)=P Double negation laws Pv(PAQ)=P Absortion laws Pv¬P=T Comlement laws PA(PvQ)=P

P AAP =F P >Q=-P VQ

P vVQ=QvP Commutative laws

PAQ=QaP

CƠ SỞ LOGIC (3)

Vị từ

°e =— Vitử P:E->({0, 1

Không gian của một vị từ: E = E,xE,x XE, Trọng lượng của một vị từ: n

Các phép toán vị tử: ¬, A v

Các lượng tử

— ¬(VX:P(@))=ä3X: ¬P(X)

— ¬X:P(@)=VX: ¬P(X)

CƠ SỞ LOGIC (4)

B QUY TẮC SUY LUẬN

— _ Các quy tắc suy luận:

¬P,PvQ (¬P A(P vQ)) >Q Tam đoạn luận tuyến

Q

CƠ SỞ LOGIC (5)

— _ Các phương pháp chứng minh: P —Q

¢ _._ Chứng minh rỗng (P = false)

‹ Chứng minh tâm thường (Q = true)

‹ Chứng minh trực tiễp (P = true kéo theo Q = true)

‹ Chứng minh gián tiêp (Chứng minh ¬Q —›¬P đúng)

° Chứng minh phản chứng (Chứng minh ¬Q AP —>False)

° Chung minh quy nap

DAI SO BOOL (1)

A QUAN HE

¢ Def: (phản xạ, đôi xứng, bắc cầu)

° Lớp tương đương

° Tập thương

— Quan hệ thứ tự

¢ Def: (phản xạ, phản xứng, bắc cầu) (E, <)

e _ Trội, trội trực tiếp, sơ đồ Hasse

‹ Quan hệ thứ tự toàn phần, bộ phận

© Phan tt

— t0i dai: MeAc E, Vx eA: M< x =>x=M

— tôi tiểu meAc E, VxeA:x< m=x=M

— phần tử lớn nhật: MeA c E, VxeA:x< M

— phần tử nhỏ nhật: meA c E, VxeA:m< x

Dan: (E, <), Vx, y e E, 4 sup(x, y) = xy, inf(x, y)=xv

Các tính chất (giao hoan, két hop, phan phôi) Phần tử bù: (E, < )-dàn có phần tử lớn nhất ký hiệu 1, phần tử nhỏ nhất ký

hiệu 0,

x e E phần tử bù của x (trong E) là phần tử, ký hiệu xsao cho

xvx=l XAXx=0

Dàn mà mọi phần tử đều có phần tử bù được gọi là dàn bị bù

Alom: phần tử trội trực tiêp của phần tử nhỏ nhất

* (E, <) là một đại sô bool hữu hạn với phần tử nhỏ nhất ký hiệu là 0,

Vx # Oe E, a,, a, ., a, là tât cả các atom bị trội bởi x khi đó:

X=a, Va, V Va, cách việt này là duy nhất nêu không kế đến thự tự của các atom

- _ Sô phần tử của một đại sô bool là lũy thừa của 2

Đại sô bool gồm 2" phần tử có n atom

11

đánh chỉ số cho f bởi dãy nhị phân các giá trị của hàm íf

— F, = tập tât cả các hàm bool n biên

— fgeF,,f<g khi và chỉ khi vX e B":f(X) < g(X)

(F„, <) là một đại sô bool

HÀM BOOL (2)

DANG CHUẨN TẮC TUYỂN

— F, tập các ham bool n bién

— Từ tối tiểu (nguyên tử-Atom): 00 010 0

— f là hàm bool, m., m,, ., m, là tat cả các từ tôi tiểu bị trội hơn

— Dang chuan tắc tuyển của hàm bool f (n biến):

¢ Lap bang giá trị hàm f

‹ _ Phân tích f thành tổng của các từ tôi tiểu: f=m, vm, v vm,

» m(b,, b,, ., b,) =1,

x, b,=1 M; = I 3ì}; V,Y; V„; Y¡ =ÝT— Yn y x; b, =0

13

— _ Dạng chuẩn tắc hội của hàm f (n biến):

¢ Lap bang giá trị của f

‹ _ Phân tích f thành tích các từ tôi đại: f=M,M M,

‹ = M(b1,b2, , bn)=0

x, b,=0 M,=y,vÿW,V V I Yi 3; Yn Y„› y Yị¡=4_— * b.=1

14

1 Biên đổi mỗi phương trình về dạng tổng của các tích

2 Áp dụng biên đổi tương đương G=D > 1=@Dv¬G-¬D, biên đổi hệ về dạng

1= G,D, V 3G,—D,

1= G, D, V 1G,—D,

3 Hệ tương đương với: 1=(G,D,v¬G,¬D,) (GkDkv¬Gk¬Dk)

15

HÀM BOOL (5)

4 Biên đổi phương trình về dạng tổng của các tích: 1=h, vh, v vh, (h, là

tích của các biên hoặc phủ định của biên

5 Phương trình tương đương với tuyển

h, =1 h„ =1

6 Do mỗi h, là tích các biên hoặc phủ định của biên, ta suy ra các nghiệm

của hệ phương trình

? PHỦ TÔI TIỂU

Cho tập hợp E, e,, e,, ., e, là các phân tử của E, A,, A;, , A, là các tập con cua E, U{A, | i=1, , p} > {e,, @,, ., e,} Tìm ho con của họ {A} (phủ

tôi tiểu) sao cho:

— Hợp các tập của họ con này chứa {e;, ®;, , @,}

— Bỏ đi một tập bắt kỳ của họ con thì hợp của các tập còn lại không còn chứa {e,,

@,, -, n}

Phương pháp giải:

— Đặt x, là biên sao cho nêu A, được chọn © x, = †

— Vej/A,,, Aj, -, Aiq là tật cả các tập của họ chứa e,, ta xây dựng được

phương trinh: x,, vx,, v VX), = 1

2 ^ ` ` 2 Aw gir 16

— Giai hệ phương trình ta tìm được phu töi tiều

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (1)

CÔNG THỨC TÔI TIỂU

° tích của các literals khác 0 (nhân tử nguyên tô)

© Đơn thức = 0 tồn tại x bù của x trong đơn thức

‹ Tổn tại duy nhất một cách việt đơn thức (sai khác thứ tự của các literals)

° Tập F„ có 3" đơn thức

*,

» Đơn thức m là ước của đơn thức M (M chia hêt cho m) nêu mỗi nhân tử

nguyên tô của m đều là nhân tử nguyên tô của M

° Đơn thức m là ước của M M<m

° m là ước của M cm vM=m

— _ Công thức dạng đa thức:

†e F„, cách viết f dưới dạng tổng ( v) của các đơn thức được gọi là dạng

đa thức của f: Í =h Vm, V V Tm là các đơn thức

— _ Công thức dạng đa thức tôi giản:

=ÌTm,VTm.,ệéV Vm

: i Ầ ` 5 1

ƒ =m vm, t & Vi # j, m, không là ước của m,

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (2)

Quan hệ đơn giản hơn:

hai công thức tôi giản của f:

f=m, vm, v VM, (1)

f=M, VM, v \M, (2)

(1) được gọi là đơn giản hơn (2) khi và chỉ khi:

° P<q

° vi: m, là ước của ít nhât một M,

Mỗi hàm bool f có một tập hợp hữu hạn công thức tôi giản dạng đa thức và

quan hệ đơn giản hơn là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập đó

Công thức dạng tối tiểu dạng đa thức:

Công thức tối tiểu dang đa thức của một hàm bool f là phần tử tối tiểu của tập

các công thức tôi giản dạng đa thức của f

18

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (3)

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (4)

— Sơ đồ karnaugh của hàm 3 hoặc 4 biên

101 111 011 001

100 110 010 000

ham bool 3 bién f =

1010

1011

1100

1101

1110

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (5)

Định lý:

¢ Sơ đồ karnaugh của

— hàm đồng nhất 0 là bảng rỗng

sẽ hàm đồng nhất 1 là bảng có tất cả các ô dược « tô »

‹ †<g tương đương với sơ đồ karnaugh của g phủ sơ đồ karnaugh của í

¢ Sd dé karnaugh của tích fg là giao của sơ đồ karnaugh của f và sơ đồ

karnaugh của g

‹ Sơ đồ karnaugh của tổng + là hợp của sơ đồ karnaugh của f và sơ đồ

karnaugh của g

° Sơ đồ karnaugh của Í là sơ đỗ « bù » của sơ đồ karnaugh của f (trong sơ

đồ karnaugh của f: xoá các ô được tô, tô các ô không được tô)

‹ _ Sơ đồ karnaugh của mỗi từ tôi tiểu chỉ có một ô được tô

Sơ đồ karnaugh và dạng chuẩn tắc của hàm tương ứng

001 | _=>Dạng chuẩn tắc của hàm tương ứng là:

000 ƒ =XYZV XYZV XYZV XYZ XYZ XYZ

21

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (6)

Sơ đồ karnaugh và đơn thức

Định lý: trong F„, một đơn thức do p nhân tử nguyên tô tạo thành, sơ đồ

karnaugh của nó có 2"? ô được tô Sơ đồ karnaugh có hình chữ nhật gồm 2"?

ô được tô là sơ đồ karnaugh của một đơn thức là tích của p literals (được gọi là

cell)

Cell của một đơn thức được chứa trọn vẹn trong các dòng và các cột thì công

thức của đơn thức là tích của các dòng, cột đó

Tìm công thức tôi tiểu bằng phương pháp karnaugh

Lập bảng giá trị và sơ đồ karnaugh của f

Xác định các cell lớn (các cell không bị chứa trong cell khác)

Chọn các cell lớn chứa ít nhật một ô chỉ thuộc riêng cell đó, « chồng » các cell được

chọn (nhận được sơ đồ phụ)

Nếu nhận được sơ đồ trùng sơ đồ karnaugh của f thực hiện 6 Nêu không thực hiện 5 Chọn trong các cell lớn còn lại cell lớn chứa nhiều ô chưa được tô nhất (trong sơ đồ

« chồng ») Nêu có nhiêu cell lớn như vậy, chọn cell lớn nhật Nêu tốn tại nhiều cell cùng

thoả mãn, chọn một trong số đó Chồng lên sơ đồ phụ Thực hiện 4

Xây dựng công thức tối tiểu của f : là tổng của các công thức của các cell lớn được chọn

So sánh các công thức xây dựng được để xác định công thức tôt nhất (ít phép toán nhất)

22

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)

5 XZ

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)

Chồng các cell có ô chỉ thuộc mình nó, ta được sơ đồ phụ:

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)

Sơ đồ phụ bây giờ trùng với sơ đồ Karnaugh gốc Công thức tối tiểu dạng

đa thức của hàm tương ứng là:

f=xyzv xztvxyzvxyt§ (1.v4.v5.v3)

Cả hai công thức « tốt » như nhau

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (8) PHƯƠNG PHÁP CONSENSUS

— _ Cơ sở phương pháp:

° Néu f = m, vm, v vm, là công thức dạng đa thức của f, thì vi: m, < f

‹ _ Nếu m là đơn thúc, m < f thì tổn tại các đơn thức m., ., m„ sao cho f = m v

mM, Vv on vm,

° Nguyên nhân: đơn thức m < f được gọi là một nguyên nhân cua f

‹Ồ = Nguyên nhân nguyên tô: đơn thức m bị trội trực tiệp bởi f

° Tổng các nguyên nhân nguyên tô của f là một công thức tôi giản dạng đa

thức của f

» Trong công thức tôi tiểu dạng đa thức của f, mỗi đơn thức là một nguyên

nhân nguyên tô của f

° = phương pháp tìm công thức tôi tiểu dạng đa thức của f:

— Tìm tập các nguyên nhân nguyên tô của f

— Xác định tập nhỏ nhât các nguyên nhân nguyên tô tìm được có tổng là f (phủ

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (9)

° Consensus(m,, m,) < m, vm,

¢ Tim nguyén nhan nguyén té:

1 Xác định một công thức tôi giản dạng đa thức của í Lập danh sách L các đơn thức nguyên nhân

2 For each variable x

a) Chia L thành ba danh sách con: A gồm các đơn thức chứa x, B gồm các

đơn thức chứa X_, € gồm các đơn thức còn lại

bì Nêu A hoặc B rỗng chuyển sang bước tiệp theo, nêu không ,tính các

consensus cua moi don thức của A với mỗi đơn thức của B thêm chúng

vào L

c) Xoá bỏ khỏi L các đơn thức là bội của các đơn thức khác

3 Kêt quả thu được: L là danh sách các nguyên nhân nguyên tô của f

‹ Tìm phủ tối tiểu các nguyên nhân nguyên tố:

=> Lập và giải hệ phương trình bool cho phủ tối tiểu

» Đơn thức C phủ đơn thức m C là ước của m

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (10)

PHƯƠNG PHÁP QUINE-MC CLUSKEY

Giai đoạn 1: Tìm công thức tôi giản dạng đa thức

¢ Lập bảng giá trị của Í

¢ Lap bang gồm nhiều cột để ghi kết quả của các bước sau:

1

2

Việt vào cột thứ nhất các dãy bit làm f = 1, gom thành từng nhóm theo

số bit 1 (sắp các nhóm theo thứ tự tăng của số bit 1) Với mỗi dãy bịt của nhóm ¡ viết dưới dạng AxB tổng với dãy bịt viết dưới dạng AxBcủa nhóm i+1 kết quả (A_B) được ghi vào cột kê

bên, đánh dấu dãy bit tham gia vào tổng (A hoặc B có thể là rỗng)

Lặp lại với cột kê tiêp đến khi không tạo ra cột mới , khi đó dãy bít không bị đánh dẫu cho các đơn thức trong công thức tôi giản dạng đa

thức của f

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (11)

Giai Đoạn 2: tìm công thức tôi tiểu dạng đa thức

‹ Lập bảng phủ: các cột tương ứng với các đơn thức m, trong dạng

tuyển chuẩn tắc của f, dòng tương ứng với các đơn thức trong

công thức tôi giản dạng đa thức, tô ô giao của dòng và cột nêu đơn thức dòng tương ứng là ước của đơn thức cột tương ứng

1

2

3

Phát hiện các đơn thức côt yêu: tìm các cột chỉ một 6 được tô, ô được

tô năm trên dòng nào, đơn thức dòng đó là đơn thức côt yêu

Xóa các cột được phủ bởi các đơn thức cốt yêu

Xóa các dòng không chứa ô được tô, xóa bớt các cột giỗng nhau (nêu

có)

Trong các dòng còn lại, tìm tập ít nhất các đơn thức phủ các cột còn

lại

END OF PART ON E'S Th EORY