Chứng minh tổng một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ nhờ chứng minh bằng mâu thuẫn.. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích một số hữu tỷ khác không và một số vô tỷ là số vô tỷ.. Chứ
Trang 1Bài tập chơng 3
lôgic và suy luận toán học
I Đại số mệnh đề
1. Cho p, q, r là những mệnh đề :
p: bạn bị cúm q: bạn thi trợt kỳ thi cuối khoá r: bạn đợc lên lớp
Hãy diễn đạt những mệnh đề sau thành câu thông thờng :
a p q
b q r
c q r
d p q r
e (p r) (q r)
f (p q) (q r)
2. Cho p và q là 2 mệnh đề :
p: bạn lái xe với tốc độ trên 65 km/hq: bạn bị phạt vì quá tốc độ cho phép
Viết các mệnh đề sau thành công thức mệnh đề :
a Bạn không lái xe trên 65 km/h
b Bạn lái xe trên 65 km/h nhng bạn không bị phạt vì quá tốc độ cho phép
c Bạn sẽ bị phạt vì quá tốc độ cho phép Nếu bạn lái xe trên 65 km/h
d Nếu bạn không lái xe với tốc độ trên 65 km/h thì bạn sẽ không bị phạt vì quá tốc độ cho phép
e Lái xe với tốc độ 65 km/h là đủ để bị phạt vì quá tốc độ cho phép
f Bạn bị phạt vì quá tốc độ cho phép nhng bạn không lái xe trên 65 km/h
g Mỗi lần bị phạt vì quá tốc độ cho phép là bạn đã lái xe trên 65 km/h
3. Có hai nhóm ngời : nhóm luôn luôn nói dối và nhóm luôn luôn nói thật
a Giải thích vì sao câu hỏi "có phải anh là ngời nói dối ?" hoặc "có phải anh là ngời nói thật ?" sẽ không thể xác định đợc ngời trả lời là nói dối hay nói thật
b Tìm câu hỏi để biết đợc ngời trả lời thuộc nhóm nói dối hay nói thật
4. Lập bảng chân trị cho các công thức mệnh đề sau :
a (p q) r b (p q) r c (p q) r d (p q) r
e (p q) r f (p q) r g (p q) (q r) h (p q) (q r)
5. Các phép toán XOR (), NAND (|), NOR () đợc định nghĩa nh sau :
XOR : A B = T khi và chỉ khi A, B nhận giá trị khác nhau
NAND : A | B = F khi và chỉ khi A, B nhận giá trị T
NOR : A B = T khi và chỉ khi A, B nhận giá trị F
Hãy lập bảng chân trị cho các mệnh đề sau :
a (p q) (p q) b (p q) | (q r) c (p q) (q r)
d (A B) C e (A | B) (B C) f (A B) (B | C)
g p q h (p q) (p q) i (p q) (p q)
6. Bằng các phép biến đổi tơng đơng chứng minh tính tơng đơng của các cặp công thức sau :
a p q và q p
b p q và p q
Trang 2c (p q) và p q
d (p q) và p q
e p q và (p | q) | (p | q)
f p q và (p | p) | (q | q)
g p q và (x y) (x y)
h p q và (p p) (q q)
7. Tìm mệnh đề tơng đơng với p q chỉ chứa
a phép toán NAND b phép toán NOR
8. Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi p và q đúng
và r là sai
9. Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi 2 trong 3 mệnh đề là đúng
10 Biểu diễn câu sau chỉ dới dạng phép tuyển và phủ định : "Nếu CSDL danh bạ đợc mở thì
monitor đợc đặt ở trạng thái đúng, nếu hệ không ở trạng thái ban đầu của nó" Sau đó phát biểu lại câu nói này theo công thức vừa tìm đợc
II Lôgic vị từ
11 Cho P(x) là câu “x học ở lớp hơn 5 giờ mỗi ngày trong tuần”, không gian là tập hợp các sinh
viên hãy diễn đạt các biểu thức lôgic sau thành câu thông thờng :
a xP(x) b xP(x) c xP(x) b x P(x)
12 Cho P(x, y) là câu “x đã học môn y”, với không gian của x là tập hợp sinh viên trong lớp,
không gian của y là tập hợp các môn học Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành câu thông th -ờng
a xy P(x,y) b xy P(x,y) c xy P(x,y)
d yx P(x,y) e yx P(x,y) f xy P(x,y)
13 Cho L(x, y) là câu “x yêu y”, không gian của x, y là tập hợp ngời Dùng lợng từ diễn đạt các
câu sau
a Mọi ngời đều yêu Jerry
b Mọi ngời đều yêu một ai đó
c Có một ngời mà tất cả mọi ngời đều yêu
d Không có ai yêu tất cả mọi ngời
e Có một ngời mà Lindya không yêu
f Có một ngời mà không ai yêu
g Có đúng một ngời mà tất cả mọi ngời đều yêu
h Có đúng 2 ngời mà Lynn yêu
i Mọi ngời đều yêu chính mình
j Có một ngời không yêu ai ngoài chính mình
14 Giả sử không gian của hàm mệnh đề P(x, y) gồm các cặp số x, y với trên tập {1, 2, 3} Dùng
phép hội và tuyển viết các mệnh đề sau :
15 Chứng minh rằng xP(x) xQ(x) và x (P(x) Q(x)) là không tơng đơng.
16 Chứng minh rằng xP(x) xQ(x) và x (P(x) Q(x)) là không tơng đơng.
17 *Chứng minh rằng xP(x) xQ(x) và xy (P(x) Q(y)) là tơng đơng
18 *Chứng minh các cặp mệnh đề sau là tơng đơng
a xP(x) xQ(x) và xy (P(x) Q(y)) là tơng đơng
b xP(x) xQ(x) và xy (P(x) Q(y)) là tơng đơng
Trang 319 qx P(x) kí hiệu cho mệnh đề “Tồn tại duy nhất x sao cho P(x)” Nếu không gian là tập các
số nguyên, hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau :
a qx (x > 1) b qx (x2 = 1) c qx (x + 3 = 2x) d qx (x = x + 1)
20 *Biểu diễn lợng từ qx P(x) qua lợng từ phổ dụng (), lợng từ tồn tại () và các phép toán
lôgic
III Qui tắc suy luận và phơng pháp chứng minh
21 Quy tắc suy luận nào đợc dùng trong mỗi một lập luận sau:
a Alice là giỏi môn toán Do đó Alice là giỏi môn toán hoặc môn tin
b Jerry là giỏi môn toán và môn tin Do vậy Jerry giỏi môn toán
c Nếu trời ma thì bể bơi sẽ đóng cửa.Trời ma do đó bể bơi đóng cửa
d Nếu hôm nay tuyết rơi thì trờng đại học sẽ đóng cửa Hôm nay trờng đại học không
đóng cửa Do vậy hôm nay đã không tuyết rơi
e Nếu tôi đi bơi thì tôi sẽ phơi nắng đợc nhiều Nếu tôi phơi nắng nhiều thì tôi rám nắng
Do đó nếu tôi đi bơi thì tôi sẽ rám nắng
22 Quy tắc suy luận nào đợc dùng trong mỗi một lập luận sau:
a Những con Kanguroo sống ở Australia và là loài thú có túi Do đó Kanguroo là loài thú
có túi
b Hoặc là hôm nay trời nóng trên 100 độ hoặc là sự ô nhiễm là nguy hại Hôm nay nhiệt
độ ngoài trời nhỏ hơn 100 độ Do đó ô nhiễm là nguy hại
c Linđa là vận động viên bơi tuyệt vời Nếu Linđa là vận động viên bơi tuyệt vời, khi đó cô
ta có thể làm việc nh một ngời cứu đắm ở bể bơi Do đó Linđa có thể làm việc nh một ngời cứu đắm ở bể bơi
d Steve sẽ làm việc ở một công ty tin học vào mùa hè này Do dó mùa hè này anh ta sẽ làm việc ở một công ty tin học hoặc là một kẻ lang thang ngoài bãi biển
e Nếu tôi cả đêm làm bài tập này, thì tôi có thể trả lời đợc tất cả các bài tập Nếu tôi trả lời
đợc tất cả các bài tập thì tôi sẽ hiểu đợc tài liệu này Do đó nếu tôi cả đêm làm bài tập này thì tôi sẽ hiểu đợc tài liệu này
23 Xác định xem mỗi suy luận sau là có căn cứ không Nếu một suy luận là có căn cứ thì nó
dùng quy tắc suy luận nào Nếu không hãy chỉ ra ngụy biện nào đã đợc sử dụng
a Nếu n là một số thực lớn hơn 1 khi đó n2 > 1 Giả sử n2 > 1 Khi đó n > 1
b log23 là vô tỷ nếu nó không là tỷ số của hai số nguyên Do đó, vì log23 không thể viết
d-ới dạng a/b vd-ới a và b là hai số nguyên, nên nó là vô tỷ
c Nếu n là một số thực và n > 3 khi đó n2 > 9 Giả sử n2 9 Khi đó n 3
d Một số nguyên dơng hoặc là số chính phơng hoặc có một số chẵn các ớc nguyên dơng Giả sử n là một số nguyên dơng có một số lẻ các ớc nguyên dơng Khi đó n là số chính phơng
e Nếu n là một số thực và n > 2, khi đó n2 > 4 Giả sử n 2 Khi đó n2 4
24 Suy luận sau đây là chứng minh không chính xác của định lý ”Nếu n2 không chia hết cho 3 thì n không chia hết cho 3” Nguyên nhân là do dùng suy luận vòng tròn Sai lầm ở đâu ? Nếu n2 là không chia hết cho 3, khi đó n2 không bằng 3k với k là một số nguyên nào đó Vì thế n không bằng 3l với một số nguyên l Kết luận n không chia hết cho 3
25 Chứng minh rằng bình phơng của một số chẵn là một số chẵn bằng :
a Chứng minh trực tiếp
b Chứng minh gián tiếp
c Chứng minh bằng mâu thuẫn
26 Chứng minh tổng hai số hữu tỷ là số hữu tỷ.
27 Chứng minh tổng một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ nhờ chứng minh bằng mâu
thuẫn
28 Chứng minh rằng tích của hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ.
Trang 429 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích hai số vô tỷ là một số vô tỷ.
30 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích một số hữu tỷ khác không và một số vô tỷ là số vô tỷ.
31 *Chứng minh hoặc bác bỏ rằng n2 n + 41 là nguyên tố khi n là số nguyên dơng
32 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng 2n + 1 là nguyên tố với mọi n nguyên không âm
33 Chỉ ra rằng 3 3là vô tỷ
34 *Chỉ ra rằng nlà vô tỷ nếu n là số nguyên dơng không chính phơng
35 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng n2 1 là hợp số với n nguyên dơng lớn hơn 1
36 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng a mod m + b mod m = (a+b) mod m, với m là số nguyên
dơng
37 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng mọi số nguyên dơng có thể đợc viết dới dạng tổng các
bình phơng của hai số nguyên
38 Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dơng sao cho tổng các ớc của nó bằng n + 1, thì n
là số nguyên tố Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào ?
39 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng có ba số nguyên dơng lẻ liên tiếp là các số nguyên tố, tức là
các số nguyên tố lẻ dạng p, p + 2 và p + 4 (còn gọi là bộ số sinh ba)
40 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng với n là một số nguyên dơng khi đó có n số nguyên dơng lẻ
liên tiếp là các số nguyên tố
41 Hãy đa ra một chứng minh kiến thiết của mệnh đề “với mọi số nguyên dơng n có một số
nguyên chia hết cho nhiều hơn n số nguyên tố"
42 Tìm phản ví dụ cho mệnh đề “với mọi số nguyên tố n, n+2 cũng là số nguyên tố”.
43 *Chứng minh rằng có vô hạn các số nguyên tố đồng d 3 theo modun 4 Chứng minh của bạn
thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết (Gợi ý : Một phơng pháp giả sử rằng chỉ có một
số hữu hạn các số nguyên tố p1, p2, , pn đồng d 3 (mod 4) Gọi q = 4 p1 p2 pn + 3 Chứng
tỏ rằng q có ớc nguyên tố đồng d 3 theo môdun 4 không nằm trong các số nguyên tố p1,
p2, , pn)
44 Chứng minh hoặc bác bỏ rằng nếu p1, p2, , pn là số nguyên tố nhỏ nhất thì p1p2 pn+1 là một số nguyên tố
45 Chứng minh hay bác bỏ rằng nếu a và b là các số hữu tỷ khi đó ab cũng là hữu tỷ
46 Chứng minh rằng có các số vô tỷ a và b sao cho ab cũng là hữu tỷ Chứng minh của bạn thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết? (Gợi ý: Cho a= 2 và b = 2 Chỉ ra rằng ab hoặc (ab)b là hữu tỷ)
47 *Bài toán Lô-gic, lấy từ WFF’N PROOF, trò chơi Lôgic, có hai giả thiết:
1 “Môn lôgic là khó hoặc không có nhiều sinh viên thích môn lôgic”
2 “Nếu môn toán là dễ thì lôgic là không khó”
Bằng cách chuyển các gỉả thiết trên thành các mệnh đề chứa các biến và các toán tử lôgic Hãy xác định xem mỗi một trong các khẳng định sau đây có là các kết luận có cơ sở của các giả thiết
đã cho không:
a Môn toán là không dễ nếu nhiều sinh viên thích môn lôgic
b Không có nhiều sinh viên thích môn lôgic nếu môn toán là không dễ
c Môn toán là không dễ hoặc môn lôgic là khó
d Môn lôgic là không khó hoặc môn toán là không dễ
e Nếu không có nhiều sinh viên thích môn lôgic khi đó hoặc là môn toán không dễ hoặc là lôgic không khó
48 *Hãy xác định xem suy luận sau đây có cơ sở hay không: “Nếu một siêu nhân có khả năng
và muốn ngăn cản một tội ác thì anh ta sẽ làm điều đó Nếu một siêu nhân không có khả năng ngăn cản một tội ác thì anh ta là ngời bất lực Nếu anh ta không muốn ngăn cản tội ác anh ta sẽ là một ngời xấu bụng Một siêu nhân không ngăn cản tội ác Nếu siêu nhân tồn tại
Trang 5thì anh ta không bất lực và không xấu bụng Do đó siêu nhân không tồn tại”.
IV Qui nạp toán học
49 Hãy tìm công thức tính tổng n số nguyên chẵn đầu tiên.
50 Dùng quy nạp toán học chứng minh công thức tìm đợc trong bài tập trên.
51 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng 3.5 + 3.52 + + 3.5n = 3.(5n+1 -1)/4, với n là số nguyên không âm
52 Tìm công thức tính tổng 1
1 2
1
2 3
1 1 . n n( ) bằng cách quan sát các giá trị của biểu thức này với các giá trị nhỏ của n Dùng quy nạp toán học
để chứng minh kết quả của bạn
53 Chứng minh rằng 1.1q + 2.2q + + n.nq = (n+1)q - 1 với n nguyên dơng.
54 *Bằng quy nạp toán học hãy chứng minh bất đẳng thức Bernoulli :
“Nếu h > 1 thì 1 + nh (1+h)n, với mọi n nguyên không âm”
55 Chứng minh rằng 3n nq với mọi n nguyên lớn hơn 6
56 Chứng minh bằng quy nạp rằng 1.2 + 2.3 + + n(n+1) = n(n+1)(n+2) /3, với mọi n nguyên
dơng
57 Chỉ ra rằng với bất cứ bu phí nào là một số nguyên lớn hơn 7 xu cũng có thể tạo đợc bằng
chỉ hai loại tem 3 xu và 5 xu
58 Chứng minh bằng quy nạp rằng n3+2n chia hết cho 3 với n nguyên không âm
59 Chứng minh bằng quy nạp rằng n5- n chia hết cho 5 với n nguyên không âm
60 Chứng minh bằng quy nạp rằng n3- n chia hết cho 6 với n nguyên không âm
61 *Chứng minh bằng quy nạp rằng n2- n chia hết cho 8 với n nguyên dơng lẻ
62 Chứng minh bằng quy nạp rằng n2- 7n + 12 là không âm với n nguyên lớn hơn 3
63 Chứng minh bằng quy nạp rằng tập hợp n phần tử có n(n-1)/2 tập con chứa đúng 2 phần tử
trong đó n là số nguyên lớn hơn hay bằng 2
64.
a Với các con tem loại 5 xu và 6 xu có thể tạo đợc các bu phí nào?
b Chứng minh câu trả lời của bạn trong phần a) bằng quy nạp toán học
c Chứng minh câu trả lời của bạn trong phần a) bằng nguyên lý thứ hai của quy nạp toán học
65 Chỉ dùng đồng 10 xu và đồng 25 xu có thể tạo đợc các khoản tiền là bao nhiêu? Hãy chứng
minh câu trả lời của bạn bằng quy nạp toán học
66 Giả sử rằng A= a0 b0
, trong đó a và b là các số thực Chứng minh rằng
An = a
b
n n
0 0
, với n là số nguyên dơng tùy ý
67 Sai lầm ở đâu trong “chứng minh” tất cả các con ngựa đều cùng màu nh sau:
Cho P(n) là mệnh đề tất cả các con ngựa trong một tập n con ngựa là cùng màu Rõ ràng P(1) là
đúng Bây giờ gỉa sử P(n) là đúng, tức là các con ngựa trong một tập bất kỳ có n con là cùng màu Xét n+1 con ngựa tùy ý, và đợc đặt tên 1, 2, , n, n+1 Dễ thấy n con ngựa đầu tiên và n con ngựa cuối cùng phải là cùng màu Vì tập n con ngựa đầu tiên và tập n con ngựa cuối cùng là gối lên nhau, nên tất cả n+1 con ngựa là cùng màu Điều này chứng tỏ P(n+1) là đúng và chúng ta hoàn tất chứng minh bằng quy nạp
Trang 668 *Tìm sai lầm trong “chứng minh” rằng an= 1 với mọi n nguyên không âm, và a là số thực khác không
Bớc cơ sở : a0 = 1 là đúng, theo định nghĩa của hàm mũ
Bớc quy nạp : Giả sử ak = 1 với mọi nguyên không âm và nhỏ hơn n Khi đó:
an+1 = an an / an-1= 1.1/1 =1
69 *Chứng minh rằng : 1 1
2
1 3
1
( ).
70 *Chứng minh rằng n đờng thẳng chia mặt phẳng thành (n2 + n + 2)/2 miền nếu không có hai
đờng thẳng nào song song và không có đờng nào có chung một điểm
V đệ qui
71 Hãy tìm f(1), f(2), f(3), và f(4) nếu f(n) đợc định nghĩa bằng đệ quy với f(0) = 1 và với n =
0, 1, 2,
a f(n+1) = f(n) + 2
b f(n+1) = 3.f(n)
c f(n+1) = 2f(n)
d f(n+1) = (f(n))2 + f(n) + 2
72 Hãy tìm f(2), f(3), f(4) và f(5) nếu f(n) đợc định nghĩa bằng đệ quy với f(0) = -1, f(1) = 2 và
n=1, 2,
a f(n+1) = f(n) + 3 f(n-1)
b f(n+1) = (f(n))2 f(n-1)
c f(n+1) = 3 (f(n))2 -4(f(n-1))2
d f(n+1) = f(n-1)/f(n)
73 Hãy định nghĩa đệ quy của dãy {an}, n = 1, 2, nếu
a an = 6n b an = 2n + 1 c an = 10n d an = 5
e an = 4n - 2 f an =1 + (-1)n g an = n(n+1) h an = n2
74 Cho F là hàm sao cho F(n) là tổng của n số nguyên dơng đầu tiên Hãy đa ra định nghĩa đệ
quy của F(n)
75 Hãy đa ra định nghĩa đệ quy của Sm(n), tổng của m số nguyên và n số nguyên không âm
76 Hãy đa ra định nghĩa đệ quy của Pm(n) là tích của m số nguyên và n số nguyên không âm
Trong các Bài tập từ 146-153 f n là số Fibonacci thứ n.
77 Chứng minh rằng f1 + f2 + + fn = fn fn+1, với n nguyên dơng
78 Chứng minh rằng f1 + f3 + + f2n-1 = f2n, với n nguyên dơng
79 *Chứng minh rằng fn+1 fn-1 - fn = (-1)n, với n nguyên dơng
80 *Chỉ ra rằng f0 f1 + f1f2 + + f2n-1f2n = (f2n)2, với n nguyên dơng
81 *Chỉ ra rằng f0 - f1 + f2 - - f2n-1 + f2n = f2n-1 - 1, với n nguyên dơng
82 Gọi S là tập đợc định nghĩa nh sau : 1 S, và s + t S nếu s S và t S
Chứng minh rằng S là tập các số nguyên dơng
83 Cho định nghĩa đệ qui của :
a tập các số nguyên lẻ
b tập các luỹ thừa nguyên dơng của 3
c tập các đa thức với hệ số nguyên
84 Chứng tỏ rằng một biểu thức đúng qui tắc gồm các số, các biến và các toán tử {+, -, x, /, }
sẽ chứa cùng một số dấu mở ngoặc và dấu đóng ngoặc
Trang 785 Hãy định nghĩa một biểu thức đúng qui tắc của các tập hợp, các biến biểu diễn tập hợp, và
các toán tử {, , }
86 Cho định nghĩa đệ qui của xâu đảo (là xâu w viết với thứ tự ngợc các kí tự).
87 Cho định nghĩa đệ qui xâu wi với i là số nguyên không âm (ghép i lần xâu w)
88 Cho định nghĩa đệ qui các xâu nhị phân thuận nghịch (đối xứng gơng).
89 Xác định tập A gồm các xâu nhị phân đợc định nghĩa : A, 0x1 A nếu x A, trong đó
là xâu rỗng
90 Cho định nghĩa đệ qui tập hợp các xâu nhị phân chứa bit 0 nhiều hơn bit 1.
VI Thuật toán đệ qui
91 Hãy cho thuật toán đệ qui tính nx với mọi n nguyên dơng và x nguyên.
92 Mô tả thuật toán đệ qui tìm xn mod m với n, x, m là các số nguyên dơng
93 Đa ra thuật toán đệ qui tìm nq mod m với n, m là các số nguyên dơng.
94 Tìm thuật toán đệ qui tìm UCLN của các số nguyên không âm a, b (a < b) trong đó dùng
đẳng thức UCLN(a, b) = UCLN(b, b-a)
95 Tìm thuật toán đệ qui tính n
a2 trong đó a là một số thực và n là một số nguyên dơng (gợi
ý : dùng đẳng thức 2 1 2 2
) a (
a n n )
96 Tìm thuật toán đệ qui tìm số hạng thứ n của dãy đợc định nghĩa :
a0 = 1, a1 = 2 và an = an-1.an-2 với n = 2, 3, 4, …
97 Tìm thuật toán đệ qui tìm số hạng thứ n của dãy đợc định nghĩa :
a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 và an = an-1 + an-2 + an-3 với n = 3, 4, 5, …
98 Tìm thuật toán đệ qui tìm số các phân hoạch của một số dơng theo định nghĩa đệ qui của nó.
99 Tìm thuật toán đệ qui tìm xâu nghịch đảo của xâu nhị phân
100 Cho định nghĩa đệ qui tìm xâu wi với i là số nguyên, w là xâu nhị phân