skkn rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10” nhằm giúp học sinh có cách nhìn rộng hơn, hình thành

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

MỤC LỤC

MỤC LỤC………

CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI………1

1 Lí do chọn đề tài……… 1

2 Nhiệm vụ của đề tài……… 1

3 Phạm vi nghiên cứu……… 1

PHẦN II: NỘI DUNG……… 2

1 Những vấn đề lý luận chung…… ……… 2

2 Thực trạng của vấn đề……….……… 2

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề……… 2

4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm……….12

PHẦN III: KẾT LUẬN……… 13

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 14

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Học sinh: HS

Giáo viên: GV

Hình học : HH

Phương pháp vectơ: PPVT

Sách giáo khoa: SGK

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Lý do chọn đề tài

Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học hiện đại Không chỉ trong phạm vi của toán học, vectơ được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của vật lí và

kĩ thuật

Trong chương trình hình học hiện hành khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm học lớp 10 và có vai trò khá quan trọng , vectơ vừa là đối tượng nghiên cứu, vừa là công

cụ để nghiên cứu hình học đồng thời phục vụ cho việc học môn Vật lí

Thực tế dạy học cho thấy, việc sử dụng phương pháp vectơ giúp học sinh có thêm một công cụ mới để nghiên cứu ,diễn đạt, suy luận giải toán hình học, tránh được ảnh hưởng không có lợi từ trực giác Tuy nhiên, khi sử dụng phương pháp vectơ học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu trong quá trình giải bài tập và không tránh khỏi những sai lầm khi giải toán hình học 10

Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là vectơ, các phép toán trên vectơ Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT

Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán

Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10” nhằm giúp học sinh có cách nhìn rộng hơn, hình thành cho học sinh kỹ năng giải các bài toán hình học bằng PPVT

2 Nhiệm vụ của đề tài

Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn

3 Phạm vi nghiên cứu

Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp vectơ trong chương I, chương II SGK, SBT hình học 10 theo chương trình cơ bản và nâng cao

Kỹ năng giải toán hình học bằng PPVT của học sinh khối 10 trường THCS&THPT

Hà Trung

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PHẦN II: NỘI DUNG

1 Những vấn đề lý luận chung

Hình thành cho học sinh một quy trình chung , phương pháp tìm lời giải cho một bài toán theo quy trình bốn bước của Pôlya

Hình thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ Xuất phát từ các yêu cầu đối với học sinh về kiến thức cơ bản và kỹ năng cơ bản trong chương I, II-SGK HH cơ bản và nâng cao là:

- Về kiến thức cơ bản: nắm được khái niệm vectơ, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, vectơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, định nghĩa và tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với một số thực, tích vô hướng của hai vectơ, tính chất trung điểm của đoạn thẳng, tính chất trọng tâm của tam giác, điều kiện để hai vectơ cùng phương

- Về kỹ năng cơ bản: Biết dựng một vectơ bằng một vectơ cho trước, biết lập luận hai vectơ bằng nhau, vận dụng được quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng vectơ tổng và giải một số bài toán, biết xác định số thực k đối với hai vectơ cùng phương ,

a br r sao cho br kar, vận dụng tính chất cơ bản của tích vô hướng của hai vectơ, đặc biệt

để xác định điều kiện cần và đủ của hai vectơ ( khác vectơ không) vuông góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức về vectơ để nghiên cứu một số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng của ba điểm, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, giao điểm hai đường chéo của hình bình hành…

2 Thực trạng của vấn đề

Trong thực tế dạy học cho thấy PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học Tuy vậy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vectơ vào giải các bài tập cụ thể là do học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lý, quy tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng

Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là vectơ, các phép toán trên vectơ Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT

Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán

Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán đó Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

giáo phải hình thành cho học sinh môt quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho môt bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải

Sau đây là ví dụ áp dụng quy trình bốn bước giải toán của Polya để chứng minh:

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm I, bán kính R và một điểm M Một đường thẳng qua M

.

MA MBMI R

uuur uuur

(*)

Giải:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

- GV: Nhận xét 2 vế của đẳng thức (*)

- HS: Vế trái chứa yếu tố tích vô hướng của hai

vectơ MA MBuuur uuur, Vế phải chứa yếu tố về độ dài

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

- GV: Để biến đổi vế trái thành vế phải, phải phân

tích các vectơ MA MBuuur uuur, theo các vectơ nào để

chuyển từ yếu tố vectơ sang yếu tố độ dài?

B'

T

M

A

- HS: MAuuur MBuuuur' B Auuuur' , MBuuur MIuuuruur uuuurIB MB, 'MIuuuruuurIB'

- GV: Tìm mối liên hệ giữa MBuuur và B Auuuur' ; uurIB và IBuuur' Hs: MBuuur B A IBuuuur uur' ,  IBuuur'

Bước 3: Trình bày lời giải

MA MBMB MB B A MB MB  MIIB MIIB MI IB MI R

uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uur uuur uuur uuur uur

Do MBuuur uuuurB A' nên MB B A uuur uuuur ' 0 , IBuuur'  uurIB

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- GV: Tìm mối liên hệ giữa MA MBuuur uuur. và MT khi M nằm ngoài đường tròn?

.

MA MBMT

uuur uuur

với MT là tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (I)

.

MA MBMI R

uuur uuur

trong bài toán gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) kí hiệu P M/( )I

Áp dụng quy trình bốn bước trong dạy giải bài tập toán hình học 10, giáo viên cần hình thành cho học sinh các bước giải toán hình học bằng phương pháp vectơ theo quy trình bốn bước sau:

Bước 1: Chọn các vectơ cơ sở

Bước 2: Dùng phương pháp phân tích vectơ và các phép toán vectơ để biểu diễn,

chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ

Bước 3: Giải bài toán vectơ

Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Cụ thể minh họa quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:

Ví dụ 2: Cho góc xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn thỏa mãn OM = 2ON Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn thuộc đường thẳng cố định

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Lấy điểm AOx B, Oy sao cho OA = OB, và chọn hai vectơ OA OBuuur uuur, làm hai vectơ cơ sở Mọi vectơ trong bài toán đều phân tích được( hoặc biểu thị được) qua hai vectơ này

Bước 2: Giả thiết OM = 2ON, nên nếu ONuuur kOBuuur thì OMuuuur 2kOAuuur Điều phải chứng minh là I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng này đi qua O) tương đương với OIuur lvr , với v r là một vectơ cố định nào đó

Bước 3: Do I là trung điểm MN nên ta có :

2

OIuur  OMuuuurONuuur  k OA OBuuuruuur

Đặt 1 , 2

2k l OA OB v

uuur uuur r

, ta được điều phải chứng minh

x

y I N O

A'

B

M A

Bước 4: Nhận xét:

Nếu lấy OAuuur'2OAuuur thì vrOAuuur'OBuuur , suy ra đường thẳng cố định nó đi qua O và trung điểm của A’B

Lưu ý học sinh: Ta có thể tổng quát hóa bài toán theo hai cách:

- Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (với m là hằng số)

- Thay cho kết luận: Trung điểm I của MN thuộc đường thẳng cố định bằng kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỉ số IM p

IN  q (p, q là các số dương) đều thuộc một đường thẳng

cố định

Ví dụ 3: (Bài toán 3_tr 21_SGK HH 10-nâng cao)

Cho tam giác ABC Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm , trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng

Hướng dẫn giải

GT H là trực tâm tam giác ABC

O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

OA OB OCuuuruuuruuur OHuuur

G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GCuuuruuuruuur 0r

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

3

uuur uuur uuuur uuuur

(M là tùy ý), ta

có thể chon M O Việc lựa chọn này dựa vào phân tích kết luận của bài toán

KL O, H, G thẳng hàng Tồn tại số thực k : OHuuur  kOGuuur

Chọn các vectơ cơ sở: OA OB OCuuur uuur uuur, , Ta sẽ phân tích vectơ OH OGuuur uuur, qua ba vectơ này

Giải: Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: OGuuur 13OA OBuuuruuurOCuuur

Gọi I là trung điểm của BC Dễ thấy uuurAH 2OIuur nếu tam giác ABC vuông

Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O

Khi đó: BH song song với DC

BD song song với CH

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm

của HD Từ đó uuurAH 2OIuur

Tacó: OB OCuuuruuur 2OIuur uuurAH nên

OA OB OCuuuruuuruuur OAuuuruuurAH OHuuur

Vậy OHuuur 3OGuuur suy ra O, H, G thẳng hàng

G I H

A

O

D

Nhận xét: Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC

Để thực hiện bốn bước giải toán trên bằng PPVT giáo viên cần rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản sau trong quá trình giải toán:

Kỹ năng thứ nhất: Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ

I là trung điểm của đoạn

thẳng AB

1 ,

2

IA IB AI IB  AB

uur uur uur uur uuur

0

IA IB 

uur uur r

G là trọng tâm tam giác ABC

0

GA GB GC  

uuur uuur uuur r

3

uuur uuur uuuur uuuur (M là điểm tùy ý)

G

A

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Ba điểm A,B, C thẳng hàng

uuur uuur uuur uuur

Hai điểm B, C trùng nhau uuurBC0,r uuurABuuurAC

Hai đường thẳng song song

AB // CD

uuur uuur

C

B A

D

Điểm M chia đoạn thẳng AB

theo tỉ số k 1

uuur uuur

1

OA kOB OM

k







uuur uuur uuuur

M

A

AM là trung tuyến của tam

giác ABC

2

uuur uuur uuuur

Hai đường thẳng vuông góc

ABCD

AB CD 

uuur uuur

Như vậy, việc chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ là điểm xuất phát trong việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán

Kỹ năng thứ hai: Phân tích một vectơ thành tổ hợp vectơ

Một khâu mấu chốt khác nữa để giải bài toán hình học bằng PPVT là GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ khác nhau

 Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc hình bình hành

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = a Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a IA b IB c IC.uur uur uur 0r

Hướng dẫn giải:

Phân tích IAuur theo hai véc tơ uur uurIB IC, bằng quy tắc hình bình hành

Dựng hình bình hành AC IB' ' có AC'/ / IB',AB'/ / IC'

Ta được uurIAIBuuur'ICuuur' (1)

'

IC  DC  a ,IC

uur

và ICuuur' ngược hướng nên ta có: IC' c IC

a

 

(2) '

IB  EB  a , IB

uur

và IBuuur' ngược hướng nên ta có: IB' b IB

a

  uuur uur

(3)

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

I

A

 Phương pháp 2: Phương pháp xen điểm (vận dụng quy tắc ba điểm)

Ví dụ 5:

Cho bốn điểm A,B,C,D tùy ý Chứng minh rằng:uuur uuurAB CD uuur uuurAC DB uuur uuurAD BC  0 (*) Hướng dẫn giải:

Phân tích: Để được một tổng bằng 0, ta có thể chọn phép biến đổi làm xuất hiện các cặp giá trị đối nhau

Chọn véc tơ uuur uuur uuurAB AC AD, , làm các vectơ cơ sở Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều được phân tích qua các vectơ này

Ta có: uuur uuurAB CD uuur uuurAC DB uuur uuurAD BC

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Nhận xét:

Đẳng thức vectơ (*) được gọi là hệ thức Ơle Có thể áp dụng hệ thức Ơle để chứng minh: “ Ba đường cao trong tam giác đồng quy”

Thật vậy, giả sử các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC cắt nhau tại H Áp dụng

hệ thức Ơle cho bốn điểm H, A, B, C ta có:uuur uuurHA BC uuur uuurHB CA HC AB uuur uuur 0

Do HB  AC, HC ABnên HB CAuuur uuur HC ABuuur uuur 0 từ đó HA BC uuur uuur 0 tức là HABC Kết quả vừa chứng minh là sự mở rộng đẳng thức uuur uuurAB CD uuur uuurAC DB uuur uuurAD BC 0 khi

A, B, C, D nằm trên một đường thẳng

Ví dụ 6:

Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao

cho: MBuuur 2MCuuuur0,r uuurNA2uuurNC0,r uuurPA PBuuur0r Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

Chọn hai véc tơ uuur uuurAB AC, làm hai vectơ cơ sở Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều được phân tích qua hai vectơ này

SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

- Chỉ ra số thực k sao cho: uuuurPM k PNuuur

- Với điểm O bất kì và tỉ số thực t ta có: OMuuuur tONuuur (1t OP)uuur

Ta có:

1

2 2

1

2

2

uuuur uuur uuuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur

Ta thấy PMuuuur3uuurPN Vậy M, N, P thẳng hàng

N P

A

C

Kỹ năng thứ ba: Ghép một số vectơ trong một tổ hợp vectơ

Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN

Ta biết rằng IA IBuuruuruurICIDuur 0r

Đặt tổ hợp vectơ IA uur  IB uur  uur IC  ID uur  v r

Nếu nhìn v r dưới dạng

vr  IA IDuuruur  IBuurICuur  IEuur  IFuur

(E, F là trung điểm của AD, BC ) ta được E, I,

F thẳng hàng

Nếu nhìn vr dưới dạng

vr  IA ICuuruur  IBuurIDuur  IPuur uurIQ (P, Q là

trung điểm của AC, BD) ta được P, I, Q thẳng

hàng

Nếu nhìn vr dưới dạng

vr  IA IBuuruur uurIC IDuur  IGuur IDuur với (G là

trọng tâm tam giác ABC) ta có G, I, D thẳng

hàng

I

N M

E

F

A

B

C

D

G I

N M

E

F

A

B

C

D

Tương tự, sẽ dẫn đến các đoạn nối mỗi đỉnh của tứ giác ABCD và trọng tâm tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại đồng quy

Rõ ràng nếu nhìn một tổ hợp vectơ theo từng nhóm ta có được nhiều kết quả thú vị