Chứng minh unlà cấp số cộng... CMR: Dãy số Vn xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân... Xen giữa 3 số để được cấp số nhân.. Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng.. Số hạng thứ 2
Trang 1Trường THPT Nam Tiền Hải ĐỀ THI HỌC Kè II NĂM: 2009-2010
Tổ Toỏn Mụn: Toỏn- Khối 11
Cõu 1: Giải cỏc phương trỡnh sau đõy:
d) 16Cos4x – 2Cos2x = 5 e) 5 – 7Sinx = 2Cos2x f) Cos2x = Sin2x
Cõu 2: Giải cỏc phương trỡnh:
2
3 2
1
Cosx Sinx
2
2 2
Cos x
Cõu 3: Giải cỏc phương trỡnh:
a) 3Cos2x - Sin2x - Sin2x = 0 b) Cos2x + 3Sin2x + 3Sin2x = 1
Cõu 4
1, 3 tan xtanx2sinx6cosx0 2, tan 2xcotx8cos2 x
2cos x2 3 sin cosx x 1 3 sinx 3 cosx 4, 2 2 2 2
2 cos x sin xtan xcot x
4cos xcos 2x2cos xcos8x 6, cos 1 tanx x sinxcosx sinx
4
8, tanxcotx 7 cot 22 x
Câu 4 Giải phơng trình:
a 2sin3x - cos2x - sinx = 0
b 2sin2x - sinx.cosx - 10cos2x = 0
Cõu 5 Giải phương trỡnh ' 0y trong trường hợp y3sin 2x4 os 2c x10x
II - New ton
Câu1 : Cho biểu thức (1-3x)n
a) Viết khai triển của biểu thức trên với n = 6
b) Biết tổng tất cả các hệ số của lũy thừa của x trong khai triển n
x
3 1 là (– 2048) Tìm n
Cõu 2 : Giải hệ:
22 66
x y
y x
Câu 3 :
Giỏ bên phải có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh Giỏ bên trái có 5 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh Lấy 3 viên bi trong đó 2 viên từ giỏ bên phải, 1 viên từ giỏ trái một cách ngẫu nhiên
a.Tính
b.Tính xác suất sao cho :
* Ba viên bi lấy ra cùng màu
* Ba viên bi lấy ra không cùng màu
-III-Giới hạn
Bài 1 : Tỡm cỏc giới hạn sau:
1
lim
2
x
x ( 1 điểm ) b)
2 2
2 lim
2
x
x ( 1 điểm )
Bài 2: Tớnh cỏc giới hạn sau:
a) lim 3 4 1
x x x b)
1
lim
1
x
x
x c)
2 2
5 3 lim
2
x x x
Trang 2Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a) lim 4 7 3
b)
1
lim
1
x
x x
c) 2
5
9 4 lim
5
x
x x
Bài 4 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
2 1
x
2
lim
b)
x 1
4x 5 3 lim
x 1
x
lim
2x 3
d) 2
xlim 2 x 4x x 3
Câu5
Tính các giới hạn sau (3đ)
a) limx 0
x
n
n
5
4 3 lim c)
1
1 2
x Lim
x d)
x
x x x
x
1 1
lim
2 0
Câu 6 Tìm các giói hạn sau :
a)
3
2
x 2
lim
x 0
lim
3x
x
2 2 x
lim
4 3x
Bài 6’: Tính các giới hạn sau
2
9
3
2
2 3
2
x +2009 1- 2x - 2009
3 1
11) lim
1
x
3 2 2
2
x
1
13) lim
1
x
x
Câu 7
1) Hàm số
2 1 khi x 1 1
2x khi x = 1
x
xét tính liên tục của f(x) tại x = 1
2) Cho hàm số
2 4
2 2
x
khi x
khi x
Xét tính liên tục của hàm số tại x 0 2
3) Cho hàm số
khi x
Xét tính liên tục của hàm số tại x 0 = 2
4) Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn tập xác định của nó:
2
2 2
nÕu x
5): Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn tập xác định của nó:
Trang 3
6
3 3
nÕu x
6)
: Xác định các giá trị của m để hàm số cĩ giới hạn khi x 2.
2
2
7) Cho hàm số :
2 2
f (x)
Xác định m để hàm số cĩ giới hạn khi x 2.
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: 3
x x cĩ ít nhất 2 nghiệm trong khoảng 1; 4
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: 3
2x 5x 1 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm trong khoảng 1;2
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: 3
2x 5x 1 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm trong khoảng 2;1
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: 3
2x 10x 7 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm trong khoảng 2; 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: 3
2x 5x 1 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm trong khoảng 1;2
Câu 4:Chứng minh rằng phương trình : 2x3 6x 1 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2) Câu 4:Chứng minh rằng phương trình sau luơn cĩ nghiệm : m2 1 x 3 m 2 x 2 0
HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ K11 HỌC KÌ II BAN CƠ BẢN
I CẤP SỐ CỘNG
1 Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng u n+1 = u n + d, n N* (d: cơng sai)
2 Số hạng tổng quát: u n u1(n1)d với n 2
2
k k k
n u u
2
n u n d
VD1 : Cho dãy số (un) với un=9-5n
a Chứng minh (un)là cấp số cộng
b Tính u100 và S100
Bài giải.
a un+1-un=-5 (khơng đổi)
vậy dãy số là cấp số cộng với u1=9-5.1=4 và cơng sai d=-5
100 1
1 100 100
u =u +99d=-491
u +u 100
2
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đĩ cho biết số hạng đầu và cơng sai của nĩ:
5
n n
2
Trang 4f U1 = 1 và Un+1 = 3 + Un với n 1 g U1 = 3 và Un+1 = Un –n với n 1
HD: Áp dụng định nghĩa hoặc cơng thức tính chất các số hạng của CSC
Bài 2: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
a
14 s
0 u 2 u
4
5 1
b
19 u
10 u
7 4
10 17
u u
10 26
14
15 18
u
u
2 7
8
u u
60 1170
1 2 3
12 8
u u u
HD: Áp dụng cơng thức số hạng tổng quát để đưa hệ về dạng hai pt hai ẩn
Bài 3: Cho cấp số cộng thỏa đẳng thức sau Tìm x
a 2 +7 +12 + +x = 245 HD : sử dụng cơng thức tính tổng Bíêt u 1 2 , d 5 , u n x , s n 245
Ta cĩ :
) 2 ( 245 2 ) 5 ) 1 n ( 4
(
n
) 1 ( 245
2 ) x 2
(
n
pt (2)=> n và pt (1)=> x
b (2x +1) +(2x+6) + (2x+11) +… +(2x+96) =1010
c 1+6+11+16+… +x = 970
d (x+1) +(x+4) +….+(x+28) =155
TỐN ĐỐ
1 Cho một CSC cĩ 5 số hạng biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thư 4 bằng 7 Hãy tìm các số hạng cịn lại của CSC đĩ
2 Một CSC cĩ 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 hãy tìm CSC đĩ
3 Cho một một CSC cĩ 7số hạng cĩ 7số hạng với cơng sai dương và số hạng thứ 4 bằng 11 hãy tìm các số hạng cịn lại của CSC đĩ ,biết rằng hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 6
4 Viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một CSC cĩ 8 số hạng Tính tổng các số hạng của csc
5 Viết 5 số hạng xen giữa 2 số 25 và 1 để được một CSC cĩ 7số hạng số hạng thứ 50 của cấp số này là bao nhiêu ?
6 Cho một CSC cĩ 5 số hạng biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thư 4 bằng 7 hãy tìm các số hạng cịn lại của CSC đĩ
7 Một CSC cĩ 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 hãy tìm CSC đĩ
8 Tìm 4 số biết: 4 số đĩ lập thành 1 csc cĩ tổng bằng 5 và tổng bình phương bằng 245
9 Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng cĩ tổng bằng 20, tích bằng 384 Tìm 4 số đĩ
Bài 5 : (Tính tổng)
a Tổng tất cả các số hạng của một CSC cĩ số hạng đầu bằng 102 ,số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng
999
Trang 5b Tổng tất cả các số hạng của một CSC có số hạng đầu bằng 1
3 ,số hạng thứ hai bằng
1 3
và số hạng cuối bằng -2007
c CSC (Un) có U2+U5=42 và U4+U9=66 Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của (Un)
d CSC (Un) tăng có U13U153 302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 hãy tìm số hạng đầu
và công sai của CSC đó
II CẤP SỐ NHÂN
1 Định nghĩa : u n+1 = u n q , n
2 Công thức số hạng tổng quát : U n = u 1 q n-1 , n 2.
3 Tính chất của csn 2
k k -1 k +1
u = u u , k 2.
4 Công thức tính tổng : S n = u 1 + u 2 + … +u n
Khi đó : s n = 1(1 )
1
n
q
Vd : Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162,
Tính U1,q,U10,S10 ?
Giải:
Ta có:
1
10 1
10 10
10 1
u 2; q 3
u u q 2.3
1 q
S u 3 1
1 q
Vd : Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau:
a, U4 - U2=54 và U5 - U3=108
b, U1 + U2 + U3=35 và U4 + U5 + U6=280
Giải:
a Ta có :
3
1
u u 54 u q u q 54
u u 108 u q u q 108
u 9
q 2
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân
Để chứng minh (Un) là một cấp số nhân ta có thể dùng các cách chứng minh sau:
- Định nghĩa
- Công thức số hạng tổng quát
Vd : Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un
CMR: Dãy số (Vn) xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân
Giải:
Từ đề ta có:
n 1 n
v u 1 v u 1 4( u 1)
v
ta có 4
v
Trang 6Vậy (vn) là CSN
Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân
Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b2
Vd: Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân
Giải:
(x – 4)2 = (x – 2)(x + 2)<=>8x=20 <=>x=
2 5
TOÁN ĐỐ
1 Ba số dương lập cấp số cộng có tổng bằng 21 Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta được cấp số nhân Tìm 3
số của cấp số cộng
2 Cho 2 số 2 và 54 Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân
3 Cho 2 số 3 và 48 Xen giữa 3 số để được cấp số nhân
4 Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85
5 Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ 3 giống nhau Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 3 Tìm 2 cấp số ấy
6 Ba số dương có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u1, u4, u25 của 1 cấp số cộng Tìm 3 số ấy
7 Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số nhân Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36 Tìm 4 số ấy
Dạng 4: Tính tổng
Tính tổng:
n
n
50
a S 1 4 16 64 65536
b S 9 99 999 99 9
Giải:
a S n 1416 65536 là tổng của CSN có u 1 1 , q4 , u n 65536 n9
vậy S u 1 1 q q 262114 3
n 1
Bài 4 Cho dãy số (un) có un=2n-1
a Chứng minh (un) là cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó
b Tính S10
Bài giải:
u
u
n
1
n
(không đổi) Vậy (un) là cấp số nhân
Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2
b S u 1 1 q q
10 1
10
Bài 5 Cho cấp số nhân (un) thỏa: 1 5
2 6
u +u = 51
u +u = 102
a Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó
b Tính S10
Bài giải.
Trang 7a
4 1
1 5
4
1
u 1+ q = 52
u = 3
u + u = 102 u q 1+ q = 102
10
10
u 1 - q
Bài 6 Cho cấp số nhân (un) thỏa: 5 1
4 2
u - u = 15
u - u = 6
a Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó
b Tính S10
Bài giải.
2 2 15 6 1 q q 6 q u 15 1 q 6 u u 15 u u
2 2 1 4 2 4 1 5
1 2
15 1 q
15 u
2
2 1
15 1
q
15 u
2
1
b + q=2 và u1=1 thì 2 1
q 1
q 1 u
2
1
2
16 q
1
q 1
u
10 1
Bài 7 Cho cấp số nhân (un) thỏa:
20 u
u u
10 u
u u
6 5
3
5 4
2
a Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó
b Tính S10
Bài giải.
a
1 u
2
q 20
qu qu
qu
10 qu qu
qu 20
u u u
10 u u
u
1
5 1
4 1
2 1
4 1
3 1 1 6
5 3
5 4 2
q 1
q 1
u
10 1
Trang 8Câu III: Tìm cấp số nhân (u n) Biết u11, q 5 Tính u11 ( 1 điểm )
1) Tìm các số hạng của một cấp số nhân gồm năm số hạng, biết u và 3 3 u 5 27
IV- Đạo hàm tiếp tuyến
Câu 1 (2 điểm)
1) Tính đạo hàm của hàm số
a) 5 3
y x x x
b) 1 2
3
x y
x
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y x 3 Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
2) Cho y x 3 3x22 Tìm x để ' 0y
Câu 2: (3đ)
a) Cho hàm số y = x3 + 2x Tính y’(1)
b) y = sin32x Tìm y’
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x2 - x tại điểm (2; 2)
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y =
sin( os ) os(sin )c x c x
x ( 1 điểm )
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y = 2
.tan
x x ( 1 điểm )
Câu 5: Cho hàm số 1 2
2
x y
x
a) Tính f ’ (0) ( 1 điểm )
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2
2
x y
x biết hoành độ tiếp điểm x0 = 0 ( 1 điểm )
V Hình học
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a.
a) CMR (SAC) (SBD) ( 0.5 điểm ) b) CMR SCD vuông ( 0.5 điểm )
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) Đáy ABC là tam giác vuông tại C Biết AC =a 2 , SA = a.
a) Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) ( 1 điểm )
b) Gọi O là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ O đến ( SBC ) theo a ( 1 điểm )
Bài 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) Đáy ABC là tam giác vuông tại C
Biết AC =a 2 , SA = a.
a) Tính góc giữa SC và ( ABC ) ( 1 điểm )
b) Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) theo a ( 1 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, có cạnh SAABCD Chứng minh rằng:
1) Mặt phẳng SAB ABCD
2) CDSAD
BÀi 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC a) Chứng minh BCSAB
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH SC
Trang 9Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAABCD và SA a
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mpABCD
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
BÀi 6 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD), SA=a 3
a) Chứng minh rằng các mặt bên là các tam giác vuông
b) Chứng minh BDSC
c) Xác định và tính góc giữa mặt (SCD) và mặt đáy
Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có SA = a và SA (ABC).Đáy là tam giác ABC có
AB = AC; BC = 2a , BAC 60 0, M là trung điểm của BC.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc
của B lên AC , SC.
a) Chứng minh BC (SAM).
b) Kẻ AISM.Chứng minh AI (SBC).Tính AI.
c) Kéo dài EF cắt đường thẳng SA tại K.Chứng minh SCKB.
d) Tính diện tích tam giác CEF theo a.
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA(ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông và DB(SAC).
b) Tính SD,SC.
c) Gọi I là trung điểm của SD.Chứng minh AI(SCD).
d) Tính diện tích tam giác IAC.