lecture4 Lý thuyết số

lecture4 Lý thuyết số

ecture 4: Giới thiệu Lý thuyết số

Một sô định nghĩa

Các sô nguyên tô - Prime Numbers Phân tích ra thừa sô nguyên to - Prime Factorisation

Các sô nguyên tô cùng nhau và greatest common divisor

(GCD) Dinh ly Ferma nho - Fermat's Little Theorem

Hàm le ø(n)

Dinh ly Ole - Euler's Theorem Kiêm tra tính nguyên tô - Thuật toán Miller - Rabin Định lý phân dư Trung Hoa

đột sô định nghĩa

¢ Tap sô tự nhiên:

—N-={0,1,2,3,4, }

© Tap so nguyen:

‘ac SO nguyen to - Prime Numbers

Là các sô nguyên dương chỉ có ước sô là I và chính nó

Chúng không thê được việt dưới dạng tích của các sô khác

1 là sô nguyên tÔ, nhưng không quan tâm đến nó

2, 3, 5, / la so nguyen tô; 4, 6, 8, 9, 10 khong phải là sô nguyên tô Các sô nguyên tÔ la trung tâm của lý thuyết sô

Danh sách các sô nguyên tô nhỏ hơn 200

2339 7 ll 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53

113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 1/3

179 181 191 193 197 199

"hân tích ra thửa số nguyên to

° Phân tích ra thừa sô nguyên tÔ SỐ N tức là viết nó

dưới dạng tích của các sô nguyên tô:n=a x b x c

»- Bài toán phân tích ra thừa sô nguyên tô là bài toán

khó.

i: c sO nguyen to cung nhau va greatest

~ common aivisor (GCD)

°® Hai sô a và b không có ước chung nao ngoai |, duoc goi la nguyen

tô cùng nhau

— VỊ dụ: 6 và 15 là nguyên tô củng nhau, vì ước của 6 là 1, 2, 4, 8, còn ước cua 15 la 1, 3, 5, 15 Chỉ có Ì là ước chung

° Ngược lại có thê xác định ước chung lớn nhât -GCD băng cách

trong các phân tích ra thừa sô của chúng, tìm các thừa sô nguyên tô

chung và lây bậc lũy thừa nhỏ nhất

— Ví dụ: 300=2!x3'x5“ 18=2!x3“, suy ra

GCD (18, 300) =2!x3!x5°=6

y Ferma nho

Fermat's Little Theorem

¢ Gia str p là sô nguyên tô và a là sô tự nhiên thì

aP =a (mod p)

se Nêup là sô nguyên tô va GCD(a, p) = 1

aP-! = | (mod p)

— Vi du:

2”! mod 7 = 2° mod 7 = 64 mod 7 = | 3°' mod Š = 3 mod Š = 81 mod 5 = 1

tra tính nguyên tô:

© Dinh ly Fermat nhỏ được dùng trong khoá công khai va kiểm

Ham Ole - @ (n)

Tap day du cac phan dư theo n la: O, 1, 2, ., n-1

Xét tập rút gọn của tập phân dư trên bao gôm các sô nguyên tô cùng nhau với n

Ví dụ với n= 10

— Tập đây đủ các phân dư là {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Tập rút gọn các phân dư nguyên tô cùng nhau với 10 là: ƒ1,3,7,9)

Sô các phân tử của tập rút gọn trên là giả tri cua ham Ole @(n)

Ham Ole 2 (n)

° Muôn tính ø(n) việc đêm sô các sô nguyên tô cùng nhau với n va co o1a tri nho hon n được loại bỏ vì đây là bài toàn tôn nhiêu công sức

® - Nói chung cân biêu thức phân tích ra thừa số

Nêu p là sô nguyên tô o(p) = p-1

— Nêu p và q là hai sô nguyên tô khác nhau

ø(p.q) = (p-1)(q-])

— Vị dụ :

Ø(37) = 3Ó

Ø(2]) = ø( 3&7)=(3—]1)X(7—1) = 2x6 = 12

Vi du:

Ø(72) = ø(§.9) = ø(8) ø(9) = ø(23).ø(3“) =

= (2°?-27)(3°-3') = 4.6 = 24

Công thức tính ø (n) :

p |p—-l p prime

pl | pl — prt » prime

s-t] 0(s): o(t) gcd(s,t) =1

p-q|(p—1)-{q— 1) |p,q prime

Jinh ly Ole - Euler's Theorem

¢ Tong quat hoa cla Dinh ly Ferma

a°) = 1 (mod n) - với mọi a,n trong đó gcd(a,n)=l

° Vi du:

— a=3; n=10; o(10)=4:

Suy ra: 3*= 81 = 1 mod 10

— a=2; n=11; o(11)=10;

Suy ra 2!°= 1024 = 1 mod 11

10

<iém tra tính nguyên tô

Primality Testing

s„ - Giả sử cân phải tìm một sô nguyên tô rât lớn

— Lây một sô đủ lớn Phương pháp truyền thông là thử băng phép chia: chia cho tat ca cac sô (chỉ cần nguyên tô) nhỏ hơn hoặc băng căn bậc hai của sô đó

— Phương pháp chia chỉ hiệu quả khi cân kiêm tra các sô nhỏ

¢ Co phuong phap khác sử dụng các phép kiêm tra tính nguyên tô dựa trên các tính chât:

— Mà mọi sô nguyên tô phải thỏa mãn

— Nhưng có một sô sô không phải là sô nguyên tô, gọi là giả

nguyên tô cũng thoa man tinh chat do

11

9an Miller - Rabin

Mệnh đê Q(p.a) như sau:

Nếu p là số nguyên tô lẻ và p - 1 =3 - mm thì với mọi a: 1<a<p-]:

« hodc a” = 1 (mod n)

« hoac ton taik:0 <k < ssao cho Tk = u™ =—1 (mod P)

12

oan Miller - Rabin

INPUT Sô tự nhiên lẻ 7

OUTUƯT NguyenTo: TRUE/FALSE

2 Chọn ngẫu nhiên sô tự nhiên a €ƒ2 n-] }

3 Đặt b = a”“(mod n)

4 Cho k chạy từ 0 đên s-:

1 Nếu 9=—1 (mod 7) thi tra về TRUE Kết thúc

2 Thay b:=5*(mod n)

5 Trả lời FALSE Kết thúc

13

O£ er - Rabin

Vi du 1: Kiém tra n=221 cé phai 1a s6 nguyén té hay khong?

Phân tích sô n-1 theo lũy thừa của 2 ta có:

n-1=220=2°*55, nhu vay s=2 va d=S5

Chon a ngâu nhiên (0<a<n-1), giả sử a=174:

= a“mod n = 174”” mod 221 = 47 # †

s a2 #mod n= 17455 mod 221 = 47 # n - 1

s a2 Ở mod n= 174110 mod 221 = 220 = n - 1

Như vậy n=221 là một hợp sô, nêu phân tích ra thừa sô nguyên tô thi

Phân tích sô n-1 theo lũy thừa của 2 ta có:

n-l=12=2ˆ*3 như vậy: s=2 và d=3;

Chọn a=4:

a? mod n=43 mod 13 = 64 (mod 13) =12=13-141=> phai thir tiép:

0 a~ “modn=

—— =4? mod 13 =64 (mod 13) =12=13-1= -1 => kết luận n=13 có thể là

sO nguyen to

Dinh ly phan du Trung Hoa

Chinese Remainder Theorem

Sử dụng đề tăng tôc độ tính toán Modulo

Tính toán trên modulo của một tích các sô mod M với

M= m,m, m, Định lý phân du Trung Hoa cho phép làm việc trên từng Modulo m; riêng biệt

Vì thời gian tính toán tỷ lệ với kích thước nên điêu

đó sẽ nhanh hơn tính toán trên toàn bộ M

15

Dinh ly phan du Trung Hoa

° Định lý sô dư Trung Quốc là tên người phương tây đặt cho

định lý này Người Trung Quoc gọi nó là bài toán Hàn

Tín điểm binh Hàn Tín là một danh tướng thời Chiên

Quốc, từng được phong vương thời Hán Cao Tô Lưu Bang đang dựng nghiệp (thé ki thứ 2 trước công nguyên (BC))

Sử ky Tư Mã Thiên viết răng Hàn Tin la tướng trói gà

không nôi, nhưng rât co tal quan su Tuc truyền răng khi Hàn Tín điểm quân sô, ông cho quân lính xếp hang 3,

hàng 5, hàng 7 rôi báo cao so du Tu do ong tính chính xác quân sô đên từng người

Gân đây, định lý sô dư Trung Quốc có nhiêu ứng dụng

trong các bài toàn về sô nguyên lớn áp dụng vào lý thuyêt

mật mã

16

i Dinh ly phan du Trung Hoa

¢ Ban chất của bài toán Hàn Tín điềm binh là việc ø1ả1 hệ

r=ay (mod mạ) r=a, (mod m,)

Dinh ly

Hệ phương trình đông dư nói trên có nghiệm duy nhât theo mođun

A4 = mị.2 mịy

là

trong do

án = M ( mì Xá = M ( mà Àáyp = 1M ( mẹ

vị = (M4) ~ ‘(mod m), v2 = (MQ) ~ ‘(mod mp), , ve= (Mg) ~ (mod m)

s Trong đó rm1,m2 nk đôi một nguyên tô cùng nhau

¢ Trong bai toan Han Tin k = 3 và mÌ = 3m2 = 5m3 = 1 7

¢ Giai hé phuong trình đông dư sau:

r=2 (mod 3) r=3 (mod 5) r=5 (mod 7)

ta co

M= 3.5.7 = 105:M, = 5.7 = 35,.My = 3.7 = 21,Mg =3.5=15

v1 =35 (mod 3)=27 ‘(mod 3) =2:

y2= 217 (mod 5)=17 (mod 5)=1:;

y3= 157 (mod 7)=17 ‘(mod 7)=1

Từ đó

r=68 (mod 105) (mod 105)

Như vậy x có dang x= 68 + &.105, k là sô nguyên (hoặc sô nguyên thích hợp nêu tìm nghiệm tự nhiên)

at)