Chương 2 - mũ logarit

Logarit thập phân, logarit tư nhiên 1.. Logarit thập phân: là logarit cơ số 10 log 10 bthường viết là logb hay lgb 2.. Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e log b e thường viết là lnb Bà

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG

GIẢI TÍCH 12

PHẦN 2:

Năm học: 2010 - 2011

LŨY THỪA 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.

aα = − = 1

),

3

4 3

4

b a

ab b a

+ +

1

a

a a a

a

a

m m

12

12

.22

42

1

3 2

Bài 2: Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

1) 7 25 3

8

1

ax 2) 3 a5 a43) 8 b3 b4 4) 4 27.3

Bài 4: Đơn giản các biểu thức.

)

3 2 2 2

+

−

−

b a

b a

3 3 3 3 2 3

(

a a

a a a a

−

++

c/ 4 x x8( + 1) ; (4 x ≤ − 1) d/

2 2 2

1 ( )

a a b P

a = và 31

2

b =

6/ Chứng minh đẳng thức sau :

( )

2

−

và 2.2143c/ 3 3và 2

HÀM SỐ LŨY THỪAI.Khái niệm:

Hàm số y x ; = α α ∈ ¡ , đươc gọi là hàm lũy thừa

Chú ý:

tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của α

- Với α nguyên dương thì tập xác định là R

- Với αnguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ¡ \ 0 { }

- Với α không nguyên thì tập xác định là( 0; +∞ )

Làm bài 1/ 60

II Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

( ) x α ' = α .x α− 1 ; ( ) u α ' = α .u α− 1Làm bài 2/61

LOGARIT

I Khái niệm logarit

1. Định nghĩa: Cho 2 số a, b dương với a khác 1 Số α thỏa mãn đẳnng thức a α = b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu logab

2 log 1 0a

3 log a 1alog ba

( )6 loga(b b1 2)= log ba 1+ log ba 2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit

b) log 2 20 + log 26 − log 215

c) log25 + log210 − log225

d) log 3 6 + log 3 7 − log 3 14

log + log − log .

3. Logarit của một lũy thừa : a > 0; b> 0, a≠ 1

= c) x a= 23bc2

III.Đổi cơ số : Cho a > 0; b > 0 c>0, a≠ 1, c≠ 1

a) Cholog 2 5 = a ;log 2 14 = b Tính log 2 35 theo a và b

b) Cho log 2 10 = a ;log 2 7 = b Tính log 2 35 theo a và bc) Cholog 3 4 = a ;log 3 5 = b Tính log 3 10 theo a và b

d) Cho log 5 2 = a ;log 5 9 = b Tính log 5 6 theo a và b

e) Cho log 2 3 = a ;log 3 5 = b ;log 7 2 = c Tính log 63 50

IV Logarit thập phân, logarit tư nhiên

1 Logarit thập phân: là logarit cơ số 10

log 10 bthường viết là logb hay lgb

2 Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e

log b e thường viết là lnb

Bài 2: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng

hoặc hiệu các lôgarit

1) ( )3

2

2 , 0

1) log915 + log918 – log910

3

1 3

1 3

2

16log

2

12log

6 1

4 1

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức.

1) 1 1log 4 9 log 8 log 2

1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63

2) log4x = log 216 2log 10 4log 3

3

1

4 4

Bài 6: Tính.

1) log(2+ 3)20 +log(2− 3)20 2)

) 7 2 5 log(

6)

1) Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a và b

2) Biết log214 = a Tính log4932 theo a

( ) ( )

2 4 6 8

x y

II Hàm số logarit:

1 Định nghĩa:

Cho a 0, a 1 > ≠

Hàm số y =logax được gọi là hàm số logarit cơ số a

2 Đạo hàm của số logarit :

( ) ( )

1 log x 'a

x.ln a loga '

u.ln a

u 'u

=

=

( ) ( )

1

ln x 'x1

ln u ' u 'u

-2 -4 -10 -5 5 10

132log

2 2

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau.

1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x

3) y = x x

x x

e e

e e

1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0

3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

2

x

= 04) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

6) y = f(x) = x2 - 8 lnx trên đoạn [1 ; e]

7) f(x) = (x2 – 3x +1)ex trên đoạn [0;3]

8) y = x – lnx + 3 trên 1

;e e

 

 

 9) f(x) = x2e-x trên đoạn [-1;1]

10)

2ln

f x

x

= trên đoạn [1;e3]

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Nếu b > 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm x log b= a

Nếu b = 0 hoặc b < 0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ1: giải các phương trình sau:

a) x10 =1 b) x2 =8 c) x4 = −4 d) xe =5

f) x3 =2 g) x 1

3 27

x9

33

e) 2 2− +x 8=41 3x− f)

x 1

12525

Dạng 1: Phương trình A.a2x+B.ax + =C 0

Cách giải: Đặt t a= x, điều kiện: t > 0

Giải phương trình theo t: At2 + Bt + C =0, chọn t thỏa đkSuy ra xa = ⇔ =t x log ta

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

Dạng 3: Phương trình m.a2x +n.a bx x+p.b2x =0

Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho một trong 3 số

( Phần 3, 4 chỉ dành cho lớp 12C1 tham khảo)

3 Phương pháp logarit hóa

Sử dụng tính chất:

Nếu α > β > 0; 0 và α = β ⇔logaα =logaβ; 0 a 1< ≠

Thường sử dụng phương pháp này khi gặp phương trình có dạng:

( ) ( )

f x g x

a = b

Lấy logarit cùng một cơ số để đưa ẩn thoát ra khỏi số mũ.

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau

4 Phương pháp đơn điệu:

Cách giải: Ta chỉ ra một vài nghiệm của phương trình ( thường dạng này

có duy nhất một nghiệm) Dùng tính đơn điệu để chứng minh phương trình không còn nghiệm khác nữa.

d) log2(x 5+ )=2 e) log3x (x 2+ ) =1 f) ( 2 )

log2 x − x =1

II Cách giải một số phương trình logarit

Khi giải phương trình logarit nói chung, ta cần đặt điều kiện để logarit xác định

1. Đưa về cùng cơ số: 0 a 1< ≠

log f xa = lo g g xaĐặt điều kiện: f (x) 0

a > b (a ≥ b,a < b,a ≤ b), với 0 a 1< ≠

Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số

mũ, Ta xét bất phương trình ax > b

Nếu b 0≤ thì bất phương trình có tập nghiệm là R

Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax >alog ba

Với a > 1 thì bất phương trình có nghiệm x log b> a

Với 0 <a<1 thì bất phương trình có nghiệm x log b< a

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:

a) x3 >5 b) x2 < 16 c)

x13

 

 ÷

  d) xe <2e) x 1

10

10

≤ f) x5 < − 16 g)

x2

4 3

  > −

 ÷

 

2 Một số bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như

giải phương trình Chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình:

a) 2− +2 3x <4

b)

22x 3x

e) 22x 1− +22x 2− +22x 3− ≥448

f) 2x+2−x − < 3 0

g) ( ) ( )0, 4 x− 2,5 x 1+ >1, 5

h) 5.4x +2.25x ≤7.10x

II Bất phương trình logarit

1 Bất phương trình logarit cơ bản: là bất phương trình có một

trong các dạng sau:

log x b log x b; log x b; log x ba > a ≥ a < a ≤

Để giải bất phương trình logarit ta sử dụng tính đơn điệu

của hàm số logarit Ta xét bất phương trình log x ba > ,

0 a 1< ≠

Với a > 1 thì bất phương trình có nghiệm x a> b

Với 0 <a<1 thì bất phương trình có nghiệm 0 x a< < b

2

≥d) log x2 < − 4 e) log x3 ≤ −1 f) 1

3log x 2≤

2 Một số bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như

giải phương trình Chú ý đến tính đơn điệu của hàm số logarit

10 23 1x+ − 7.22x+ 7.2x− = 2 0 ( Tham khảo Khối D – 2007)

11 25x−2(3−x).5x +2x− =7 0 (ĐH tài chính kế toán Hà Nội – 97)

II PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. log 2 2log 4 logx + 2x = 2x8 (DB_A_2006)

2log x + − 1 log (3 − = x ) log ( x − 1) ( DB_B_2006)

3. log 2 2log 4 logx + 2x = 2x8 Đs: x=2( DB_A_2006)

4. log (33 x− 1).log (33 x+1− = 3) 6.Đs: 3 28 3

log , log 10 27

x = x =(DB_B_2007)

2log ( x + + 2) log ( x − 5) + log 8 0 =

1, 2

x = x =DB_B_2008

x = x =A_2008

12 log5 x+xlog5 =50 Đs: x=100 CĐKTĐN_2005_A_D

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. 15.2x+1+ ≥ 1 2x− + 1 2x+1 Đs:x ≤ 2 DB_A_2003

2.

22

5. 32 1x+ −22 1x+ −5.6x ≤0 Đs: 3

2log 2

4

x x x

+ <

+ Đs:x ∈ − − ∪ +∞ ( 4; 3) (8; ) B_2008

2 1

(log 8 logx + x ) log 2 x ≥ 0.Đs: 1

(0; ] (1; ) 2

2 2

THPT ĐÔNG DƯƠNG 25