Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề: Hàm số... Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức: • Dạng 6A: Bất đẳng t
Trang 1Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất
đẳng thức
Chuyên đề: Hàm số
Trang 2Nội dung
Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất
đẳng thức:
• Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
• Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
• Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao
Trang 3Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số
mũ, logarit
Trang 4Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì ex > 1 + x
Giải
Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x)
Ta có f ’(x) = ex – 1 > 0 ∀x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R
Do đó nếu x > 0 => f(x) = ex – 1 – x > 0 => ex > 1 + x ∀x > 0 (đpcm)
Trang 5 Lưu ý
• Bài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng
(a ; b)
• Cách giải thường gặp:
- Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số
- Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b)
- Nếu hàm số nghịch biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(b) < f(x) < f(a)
Từ đó suy ra đpcm
Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Trang 6 Bài tập tương tự
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì
Giải
Xét hàm số
Ta có ,suy ra hàm số f(x)
nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R)
Do đó nếu
(đpcm)
Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
+ + <
2
x
2
= + + ÷−
2 x f(x) ln 1 x x
2
+
2
> ⇒ = + + ÷− < = ⇒ + + ÷< ∀ >
Trang 7 Bài tập tương tự (tt)
• Lưu ý Ta có các bất đẳng thức sau:
x
Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Trang 8Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số
lượng giác
Trang 9 Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu thì sinx < x < tanx
Giải
suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R
Do đó nếu thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0 =>sinx < x
Xét hàm số
suy ra hàm số f(x) đồng biến trong
Do đó nếu thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 => tanx > x
Vậy nếu thì sinx < x < tanx
Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
π
< <
0 x
2
f(x) x sin x f '(x) 1 co s x 2sin 0 x
2
π
= − ⇒ = − = 2 > ∀ < <
2
1 g(x) tan x x g'(x) 1 tan x 0 x : 0 x
π
0;2
π
< <
0 x
2
π
< <
0 x
2
π
< <
0 x
2
Trang 10 Bài tập tương tự
Chứng minh rằng nếu thì sinx + tanx > 2x
Giải
Xét hàm số
Nếu thì
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong
Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0
=> sinx + tanx > 2x (đpcm)
Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
π
< <
0 x
2
f(x) sin x tan x 2x f '(x) co s x 2
co s x
π
< <
0 x
2 < < ⇒ >
2
2 2
0 co s x 1 co s x co s x
π
0;2
π
< <
0 x
2
Trang 11 Lưu ý
Ta thường gặp các bất đẳng thức sau:
• Nếu x > 0 thì
• Với mọi x, có bất đẳng thức
• Nếu thì 2sinx + tanx > 3x
Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
− x3 < <
6
− x2 ≤
2
π
< <
0 x
2
Trang 12Dạng 6C
Sử dụng đạo hàm bậc cao
Trang 13 Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì
Giải
Xét hàm số
suy ra hàm số f ’’(x) đồng biến trên R
Do đó nếu x > 0 thì f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy ra hàm số f ’(x) đồng biến khi
x > 0
Do đó nếu x > 0 thì f ’(x)> f’(0) = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến khi
x > 0
Do đó nếu x > 0 thì (đpcm)
Dạng 6C Sử dụng đạo hàm bậc cao
> − x3
sin x x
6
2
f(x) sin x x f '(x) cos x 1
x
f ''(x) sin x x f '''(x) co s x 1 2sin 0 x
2
f(x) sin x x f(0) 0 sin x x
Trang 14 Bài tập tương tự
Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có bất đẳng thức
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Xét hàm số
Ta có
suy ra hàm số f ’(x) đồng biến trên R
Do đó nếu x > 0 thì f ’(x) =ex – sinx – 1 + x > f’(0) = 0 , suy ra hàm số
f(x) đồng biến khi x > 0 Do đó nếu x > 0 thì
Dạng 6C Sử dụng đạo hàm bậc cao
e co s x 2 x
2
2
2
x
x
2
2
2
Trang 15 Bài tập tương tự (tt)
Do đó nếu x < 0 thì f’(x) = ex – sinx – 1 + x < f(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x < 0 Do đó nếu x < 0 thì
Ta được trong mọi trường hợp đều có bất đẳng thức
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 (đpcm)
2
2
2
Dạng 6C Sử dụng đạo hàm bậc cao