ÔN TẬP HÌNH HỌC LỚP 12

Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của S lên AM.. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, hai mặt phẳng A BC  và BCC

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có AB 2 3 và AA 2 Gọi

Lời giải Chọn B

Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của BC và B C ;

J

I

P

N M

C'

C

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Tam giác ABC đều có cạnh 2 3AP 3

Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: 2 2 2 2

Gọi N là trung điểm BC Kẻ MN/ /ACMN/ / ' 'A C

Mặt phẳng A C M' '  cắt lăng trụ theo thiết diện là hình thang A C NM' '

C A'

A

Gọi ,E E lần lượt là trung điểm ' AC và A C' ' Gọi H là giao điểm của MN và BE

Câu 3 (Chuyên KHTN - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B với trọng tâm G Cạnh bên SA tạo với đáy ABC một góc 300 Biết hai mặt phẳng SBG và

SCG cùng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC

C

A

BS

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác SAD ta có

Câu 4 (Chuyên KHTN - Lần 2 - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của S lên AM Dựng hình thoi

ABDC

Vì AB AC SBA,  SCA SBA SCASBSC SBC cân tại S SM BC

Vì ABC đều nên AM BC nên BCSAMBCSH

Mà SH  AM SH ABC Khi đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC

Câu 5 (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, hai mặt phẳng A BC  và BCC B  vuông góc với nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và CC

bằng

Gọi M H N, , lần lượt là trung điểm của BC AB B C, ,  

Vì ABC đều cạnh a nên , 3, 3, 3

GI GH GA a  a   a  

Vậy  ,  3 2 2

Câu 6 (HSG 12 - TP Nam Định - 2019)Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại  B, AC a 2 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB

và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ABC và

AGK Tính cos, biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng KBC bằng

Tam giác ABC vuông cân tại B mà ACa 2 suy ra ABBCa

Do BCBA , BCSA (vì SAABC) nên BCSAB

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên SB , thì AH SB , AH BC (vì BCSAB) nên

Từ AH SBCAHSC và AKSC nên SCAHK hay SCAGK

Vì SCAGK và SAABC nên góc giữa hai mặt phẳng AGK và ABC chính là góc

giữa hai đường thẳng SC và SA hay   CSA

Theo trên ta có SC SA2AC2 a 3 suy ra cos 3

33

A 2 ab B a b C ab D

2

a b

Lời giải Chọn A

* Do k EC 1 k ED 0

nên điểm E nằm trong đoạn thẳng CD, AEB 90 nên điểm E

nằm trên đường tròn  C tâm I , đường kính AB , gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên

Câu 8 (Sở Điện Biên - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3, BC 4

Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA

bằng 4

(C)

x a

b I

A

B

D

C E

H

Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: AC2 AB2BC2  3242 5

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

K

Xét tam giác KAC vuông tại K ta có: KP AC KA KC 3.4 12

KA KC KP

MB

Câu 9 (Sở Lào Cai - 2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 M N, lần lượt là các điểm di động trên

các cạnh AB AC, sao cho hai mặt phẳng DMN , ABC vuông góc với nhau Đặt AM x AN,  y

Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A xy x  y3 B x y3xy C xy 3 xy D xy3xy

Lời giải Chọn B

Gọi Ilà trung điểm BC; gọi G là trọng tâm tam giác ABC

ABCD là tứ diện đều DGABCvà DMN  ABC  DMN  ABCGMN

2

Câu 10 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 3 - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABClà một điểm nằm trên đoạn thẳng BC Mặt phẳng SAB tạo với SBC một góc 600 và mặt phẳng SAC tạo với SBC một góc  thỏa

1

Lời giải Chọn C

+ Gọi H là hình chiếu của Strên BCvà đặt SH h

+ Kẻ HM vuông góc với AB và HNvuông góc với AC

C B

A S

Câu 11 (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O cạnh 2a Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm của H của OA Góc giữa hai mặt phẳng

SCD và ABCD bằng 450 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và MD

H O A

C

S

B

D E

Câu 12 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019)Cho hình lăng trụ ABC A B C   , đáy ABC là tam giác vuông

tại B, ABa, ACB 300 Mlà trung điểm AC Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng

ABC là trung điểm H của BM Khoảng cách từ C đến mặt phẳng BMB bằng 3

4

a

Tính số đo góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ

A 60 0 B 30 0 C 90 0 D 45 0

Lời giải Chọn A

Câu 13 (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019)Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có cạnh bên AA 2a,

ABACa, góc BAC 1200 Gọi M là trung điểm BB thì côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AC M ) là

Kéo dài BC cắt C M tại D, khi đó giao tuyến của (ABC và () AC M )là AD

Do M là trung điểm của BB suy ra DBBC a2a22a2cos120a 3

2 7cos

3131

2 7

a BK

Câu 14 (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ

nhật Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SA Biết ADa 3,ABa Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng MBD bằng

Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD AD AB a2 3

Δ SAB đều cạnh ABa , gọi H là trung điểm AB SH AB, 3

1

 Δ MAD vuông tại A , 2 2 13

CMBD MBCD MBD MBD

Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABCD có các mặt phẳng SAB, SAD cùng vuông

góc với mặt phẳng ABCD, đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, có AD2AB2BC2a

, SAAC Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:

Cách 1:

Theo bài ra có: SAABCD SA AC ; SAAC nên SA ACa 2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AO ; tia OxAB ; tia Oy AD ; tia Oz AS Khi đó:

Phương trình đường thẳng SB : 0

2

x a t y

Theo giả thiết SAABCDSA AC; SAACa 2

Gọi M là trung điểm của AD Ta có: BM//CDCD//SBM

Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB ACa,

Gọi D là điểm đối xứng với A' qua B'

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật vớiABa, AD2a Hình chiếu vuông góc

của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm Hcủa AD, góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là450

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a

Câu 18 (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019)Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a( tham khảo hình

vẽ bên) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng

H

K

BA

S

C' D'

B' A'

C B

D A

Tương tự ta có: 1

3

A K  A C

Vậy Hai mặt phẳng AB D  và BDCsong song với nhau, vuông góc với đoạn A C và chia

A C thành 3 phần bằng nhau Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng AB D  và BDC bằng

A H A H

Câu 19 (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình chữ nhật tâm O, ABa, BCa 3 Tam giác ASO cân tại S, mặt phẳng SAD

vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa SD và ABCD bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

D A

H

Lời giải Chọn A

Kẻ SH  AD tại H, suy ra SH ABCD, do SASOHAHO nên H thuộc trung trực

3

a HD

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a Hình chiếu của S trên mặt

đáy là trung điểm của H của OA Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 45 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

F I M

O H

D S

C

E K

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và MD

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD BC|| ), BC2a,

ABADDCa, với a 0 Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và BD Biết hai đường thẳng SD và AC vuông góc nhau, M là điểm thuộc đoạn OD (M khác O và D),

MDx, x 0 Mặt phẳng    qua M và song song với hai đường thẳng SD và AC, cắt khối chóp

S ABCD theo một thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện đó là lớn nhất?

N M

H O A

C

S

B

D E

Trong mp SBD  kẻ đường thẳng qua M song song với SD , cắt cạnh SB tại H

Trong mp ABCD  kẻ đường thẳng qua M song song với AC , cắt các cạnh DA và DC lần

lượt tại E và F

Trong mp SDA  kẻ đường thẳng qua E song song với SD , cắt cạnh SA tại I

Trong mp SDC  kẻ đường thẳng qua F song song với SD , cắt cạnh SC tại G

Khi đó thiết diện của khối chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng    là ngũ giác EFGHI

Dễ thấy ABCD là nửa lục giác đều có tâm là trung điểm K của BC Do đó ADCK và

ABND là hình thoi nên ACKD Mặt khác ACSD nên ACSKD ACSK Lại có SKBC (vì  SBC đều), suy ra SK ABCDSKKD

Ta có IG là giao tuyến của    với SAC, mà AC||   , suy ra IG AC ||

Mặt khác HM ||SD và SDAC, suy ra HM IG và HM EF và IGFE là hình chữ nhật Diện tích thiết diện EFGHI bằng 1

2

EFGI HGI

sS S IG NM  IG HN

Ta có AKK D ADa nên AKD đều

Mà BD AK AC, KD nên O là trọng tâm tam giác ADK Suy ra 2 3 3

33

33

a x

Câu 22 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ

nhật, ABa, BCa 3, SAa và SA vuông góc với đáy ABCD Tính sin, với  là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng SBC

ABCD là hình chữ nhật nên BD2a, ta có AD/ /SBC nên suy ra

Câu 23 Cho hình chóp S ABC. có SASBSCa, ASB 60, BSC  90, và CSA  120 Tính khoảng

cách d giữa hai đường thẳng AC và SB

Ta có SAB đều nên ABa, SBC vuông cân nên BCa 2

Trong SAC có AC2 SA2SC22SA SC cos120 ACa 3  ABC vuông tại B Gọi H là trung điểm của AC thì SHABC (do SASBSC)

Dựng hình bình hành ABEC , vẽ HM BE tại M , HKSM tại K



6

22

2 3

112

Câu 24 (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019)Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ', ABCD là hình vuông

có cạnh bằng 1, A A ' 2 Gọi  P là mặt phẳng chứa CD' và tạo với mặt phẳng BDD B' ' một góc

 nhỏ nhất; cos bằng

Lời giải Chọn D

Gọi OACBDCOB D DB' ' 

Gọi  Q là mặt phẳng bất kì chứa CD' và cắt B D DB theo giao tuyến ' '  d Gọi H là hình

chiếu của O trên d, suy ra góc giữa  Q và B D BD là ' '  CHO 0 CHO 90

Câu 25 (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình

bình hành và SASBSC11, SAB 30, SBC 60 và SCA 45 Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?

2

Lời giải Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB, vẽ HECD tại E, HKSE tại K

Ta có SBC đều nên BC 11, SAC vuông cân tại S nên AC 11 2

Trong SAB, AB2SA2SB22SA SB .cos120AB11 3



11 11 6

Câu 26 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC AD, ,

vuông góc với nhau đôi một và AD2AC3ABa Gọi  là đường thẳng chứa trong mặt (BCD)sao cho khoảng cách từ điểm A đến  là nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng 

và AD là d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

K

Hiển nhiên, khoảng cách giữa & AD là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng nên

Câu 27 (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1)Cho lặng trụ đứng ABC A B C    có diện tích

tam giác ABC bằng 2 3 Gọi M ,N ,P lần lượt thuộc các cạnh AA,BB,CC, diện tích tam giác

MNP bằng 4 Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và MNP

Câu 28 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tứ diện SABC có SASBSC1

Mặt phẳng    thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện và cắt SA SB SC, , lần lượt tại A B C1, 1, 1.Tìm giá trị lớn nhất của

C' B'

A'

Do G là trọng tâm tứ diện nên   1 1 1

ABCD là hình thang cân AD//BC, BC2a, ABADDCa với a 0 Mặt bên SBC

là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và BD Biết SD vuông góc AC M là một điểm

thuộc đoạn OD; MD x với x 0; M khác O và D Mặt phẳng    qua M và song song với hai đường thẳng SD và AC cắt khối chóp S ABCD theo một thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện là lớn nhất?

Qua M dựng đường thẳng song song với SD cắt SB tại N

Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt DA DC, lần lượt tại P Q,

Từ P Q, dựng các đường thẳng song song với SD cắt SA SC, lần lượt tại T R,

Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng    là ngũ giác PQRNT

a x

D A

T

R

P O