ÔN THI HÌNH HỌC THPT

Khi đó giá trị sincủa góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng Hình vẽ minh họa Vì hình chóp S ABCD.. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm Hcủa AD , góc gi

Câu 1 (Đề chính thức 2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông

A B C D    và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO2MI (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  MCD    và  MAB  bằng

Lời giải Chọn D

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau :

Câu 2 (Đề chính thức 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, và

OA OB a, OC2a Gọi M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và

a

C 22

N

M O

A

C

B

Do ABC A B C ' ' ' là lăng trụ đều nên nó là lăng trụ đứng và có đáy là tam giác đều Ta lấy thêm các trung điểm của AB AC lần lượt là các điểm , , E L Gọi H K lần lượt là trung điểm của ,' ,

A N CL Khi đó thực hiện phép chiếu vuông góc tam giác MNP lên mặt phẳng ACC A' ' ta được tam giác KNH

5

5 34

KHN MNP

S S

Câu 4 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 1 - 2019)Cho hı ̀nh lăng trụ đứng ABC A B C   có đáy ABC là tam

giác vuông tại A Gọi E là trung điểm của AB Cho biết AB2a, BC  13 a, CC 4a Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B  và CE bằng

E

H

K L

Gọi F là trung điểm AA

Ta có CEF//A B nên dCE A B,  dA B CEF ,  dA CEF,  dA CEF,  

Kẻ AICE AH; FI thì AH CEF hay d A CEF ,  AH



5



Lời giải Chọn B

Gọi M là trung điểm của BC Do tam giác ABC đều nên AM BCvà

3sin 60

Gọi H, Klần lượt là hình chiếu của Atrên SM SB,

Vì SAABCSAAB SA, AM Trong các tam giác vuông SAB , SAM , ta có:

2

a AK

5

a AH

Giả sử cạnh hình lập phương bằng a Ta có A C' ABB A' 'A'

BCAB BCBB BC ABB A B

 là hình chiếu vuông góc của C lên mp ABB A' ' '

a a

+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD

Vậy góc giữa hai mặt phẳng A BD và '  C BD bằng '  600

Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình hộp chữ nhật ABCD A B C D để tìm góc giữa ' ' ' 'hai mặt phẳng A BD và '  C BD ' 

A

Câu 8 (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC

vuông tại B, BCa Hai mặt phẳng SCA và SCB hợp với nhau một góc 60o và  o

BSC 45 Tính cosin của góc ASB

Xét ABC kẻ BH vuông góc với AC tại H

Xét SAC kẻ HK vuông góc với SC tại K

Lời giải Chọn C

Trong tam giác ABC với BCa CA, b AB,     c a b c 26cm

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

132

c C R

Câu 10 (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a

, SOABCD và SOa Khoảng cách giữa SC và AB bằng:

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD,

a a

Câu 11 (Chuyên Sơn La - Lần 1 - 2019)Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a, tâm O Gọi M và N lần lượt là trung điểm cạnh SA và BC, biết rằng 6

2

a

MN  Khi đó giá trị sincủa góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng

Hình vẽ minh họa

Vì hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SOABCD

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AD và AB Khi đó SBD / / MQP

Suy ra góc giữa đường thẳng MN và MQP là NMQ

Xét tam giác MQN vuông tại Q có 6

Câu 12 (THPT Quảng Xướng 1 - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019)Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC

là tam giác cân với, ABACa, BAC  120

và cạnh bên BB a Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB I , với I là trung điểm CC?

Cách 1

Gọi D là giao điểm giữa B I và BC

M là trung điểm BC, suy ra AM BC và sin 30

IC BB nên C là trung điểm BD

Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC

BC AB AC  ABAC  a , BD 2 3

ABC là tam giác cân BAC 120 nên ACD 150

Áp dụng định lý côsin cho tam giác ACD

Do ABC  AB I AD Kẻ BH AD

Suy ra  ABC , AB I  B HB Lại có: 1 2 3

Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác AB I

Gọi  là góc giữa ABC và AB I  cos ABC

AB I

S S

Bình luận: Bài này có thể sử dụng tọa độ để giải!

Câu 13 (THPT Quảng Xướng 1 - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình chữ

nhật vớiABa, AD2a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm Hcủa AD

, góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là 0

45 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH

H

K

BA

S

Do SH ABCD nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là góc  0

Câu 14 (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019)Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên

bằng a 5 Gọi  P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC Gọi   là góc tạo bởi mp P  và

Hai mặt phẳng AHKM và ABCD có A là điểm chung thứ nhất và lần lượt chứa hai

đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua A và song song với

Ta có SO SD2OD2 a 3 nên tan 2 6

33

Câu 15 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A

và Bvới ABBCa, AD2a, SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SAa Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

Kẻ AH vuông góc với DI tại H , do SADI

nên DI mp SAH mp SAH mp SDI SH

Trong mp SAH , kẻ APSH  P suy ra d A SDI ;  AP

Ta có, trong mp ABCD :AH/ /CDa 2

Trong tam giác: SAH vuông tại A , có AP là đường cao

Câu 16 (Hội 8 trường Chuyên DBSH - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp tam giác đều S ABC có mặt đáy là tam giác

đều cạnh a Gọi M N, lần lượt là trung điểm AB BC, và P là điểm thuộc tia đối của SC sao cho 3

SC SP Biết rằng trong các mặt cầu đi qua ba điểm AMN thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AMNP

có bán kính nhỏ nhất Tính chiều cao của hình chóp S ABC đã cho

Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN là trung điểm Icủa đoạn AC Tâm O

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AMNPnằm trên đường thẳng Ix vuông góc với mặt phẳng

I M

B

A

C

O S

Giải tam giác vuông SGO ta tìm được:

Câu 17 (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

tâm O, cạnh avà SOABCD, SA2a 2 Gọi M , Nlần lượt là trung điểm SA, BC Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của AO  MH   ABCD   HN là hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng ABCD  Góc giữa đường thẳng  MN và mặt phẳng ABCDlà góc MNH Tam giác SAO vuông tại O, có SO SA2AO2

2 282

a a

2152

N H

M

O A

D

B

C S

Câu 18 (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy

ABCDlà hình chữ nhật với ACa 5và BCa 2 Tính khoảng cách giữa SD và BC

Câu 19 (Sở GD Thanh Hóa - 2019)Cho hình chóp đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung

điểm của SC Tính góc  giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD

A 60 B 30 C 45 D 90

Lời giải Chọn C

Xác định góc 

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Ta có: MBDABCDBD

Tam giác MBD là tam giác cân đỉnh M , do 3

2

a

BM  DM  (chúng đều là đường cao của

tam giác đều) Do đó: MOBD tại O , OCBD tại O , MOMBD, OC  ABCD Vậy góc  giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD là góc MOC

Câu 20 (Sở GD Thanh Hóa - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác ABC

đểu, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác

ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng ABCD góc 30o Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng

a HK

Câu 21 (Chuyên Thái Bình - Lần 4 - 2019) Cho tứ diện ABCD có ACD  BCD,

ACADBCBDa, CD2x Giá trị của x để hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau là:

+ Gọi I J lần lượt là trung điểm của ; CD AB ,

ABC  ABD DJ CJ, 90 hay DJCJ

+ ACD cân tại A, I là trung điểm CD AI CD mà ACD  BCDAI BCD + AIC vuông tại I AI2 AC2IC2 a2x2

Câu 22 (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019)Cho hình chóp S ABC. có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau

và SASCa, SB2a Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. Góc giữa hai mặt phẳng SBO và SBC bằng

A 30 B 45 C 60 D 90

Lời giải Chọn B

Vì hình chóp S ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau nên SBSAC

Gọi M là đỉnh của hình vuông SAMC nên M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC nên

M thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chópB SAC

Mặt khác SAMC là hình vuông nên  SBO , SBC SC SM, 45

Câu 23 (Sở GD Quảng Nam - 2019)Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB2 3a, BCa, 3

2

a AA  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B C bằng

Lấy E đối xứng với B qua C  B C //C E

2

BE BA EA

a CI

a CH

4

a

d B C AC  

Câu 24 (Sở Hà Tĩnh - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, SAABCD, SA 3AB Gọi

 là góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD, giá trị cos bằng

Gọi O là giao điểm của AC và BD , kẻ OISC, ta có BDAC, BDSA

tan

330

10

AB BO

Câu 25 (THPT Ninh Bình - Bạc Liêu - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABa

, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAD bằng

A 60 B 30 C 90 D 45

Lời giải Chọn D

Câu 26 (THPT Nho Quan A - Ninh Bình - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh bằng 10 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SC 10 5 Gọi M N, lần lượt

là trung điểm của SA và CD Tính khoảng cách d giữa BD và MN

A d 3 5 B d  5 C d 5 D d 10

Lời giải Chọn B

Gọi P là trung điểm của BC BD//NPBD //MNP

Câu 27 (Sở Lào Cai - 2019)Khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích V  3a3 Mặt bên SAB

đều cạnh a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành Tính theo a

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD,

Lời giải Chọn D

+ Gọi E là trung điểm của AB. Khi đó SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao

 1

3.S ABCD.

32

Vậy khoảng cách giữa SA và CD bằng 6a

Câu 28 (Sở GD Cần Thơ - Mã 122 - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA2 a Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB Khoảng cách từ

G đến mặt phẳng (SBC) bằng

A 3 57

.19

a

B 2 57

.19

a

C 2 57

.57

a

D 57

.57

a

Lời giải Chọn C

S ABC ABC

a AH

Câu 29 (Sở GD Cần Thơ - Mã 124 - 2019)Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

tại A, AA ACa và ABa 3 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 'A BC bằng )

Câu 30 (Sở GD Đồng Tháp - 2019)Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy ABCD là hình chữ nhật có AB2a

, AD4a, SAABCD và cạnh SC tạo với đáy góc o

60 Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho DNa Khoảng cách giữa MN và SB là

C

B A

Chọn A

Hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD là AC

 góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là góc giữa SC và AC và bằng góc  SCA 60o

a h

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của O lên SM

3

a OH

Câu 32 (THPT Đô Lương 3 - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng uông góc với mặt phẳng đáy Tính sinh của góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng SBC, với M là trung điểm của BC

Gọi H là trung điểm của SB thì AHSB 1

Do SAB  ABCD, SAB  ABCDAB và BC AB nên

Câu 33 (THPT Đô Lương 3 - Nghệ An - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a

Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60 Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng SCD và ABCD

Gọi H E lần lượt là trung điểm của , AB CD ,

C

A

D

B S

 15

tan

2

SH SEH

HE

Câu 34 (Chuyên Nguyễn Du - ĐakLak - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a, hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) trùng với trung điểm H của AB Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)bằng 0

180 AIB Nhận thấy ABC là tam giác đều nên ABI không thể là tam giác đều Vì thế

Câu 35 (Chu Văn An - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Cho hình chóp S ABCDcó đáy là hình thoi cạnh là 2a ,

3

3

4 a

Lời giải Chọn B

Câu 36 (Kim Liên - Hà Nội - Lần 3 - 2019)Cho hình chóp tam giác đều S ABC có SA2 ,a AB3a GọiM

là trung điểm SC Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB

Gọi N là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, H là hình chiếu của Glên SN

60 o

F N

M H

A

D

C

B S

E

Câu 37 (Sở Kiên Giang - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tạiA và B,ABADa

, BC 2a Cạnh bên SB vuông góc với đáy và SBa 7, M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AMvà SC

Vì AB ADBM MCa và BAD ABC900 nên ABMD là hình vuông, AMCD là hình

Gọi EABCDBClà đường trung bình của ADEAE2a ADE vuông cân tại

Câu 39 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - Lần 4 - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại A Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Số đo của góc giữa đường thẳng SA và ABC bằng

.Gọi M là trung điểm BC Vì tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên đường cao của hình chóp hSM

Khi đó MA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng đáy Do đó SA ABC,  SA MA, SAM

Câu 40 (Sở Cà Mau - 2019)Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có cạnh bên bằng a 2 và đáy ABC là tam

giác vuông tại A, ABa AC, a 3 Ký hiệu  là góc tạo bởi hai mặt phẳng A BC'  và BCC B' ' Tính tan

A

C S

Câu 42 (Vũng Tàu - Lần 2 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là

hình chữ nhật có AD3a, AC5a, góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 45 Khi đó côsin giữa góc của đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng

Tam giác SAB vuông tại A  12 12 12

AH  SA  AB

125

Câu 43 (Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt - Kiên Giang - L2 - 2019)Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC' là hình chóp

tam giác đều Góc giữa cạnh bên AA' và đáy bằng 600 Góc giữa BB C C' ' và ABCbằng

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; H , H' lần lượt là trung điểm của đoạn BC, B C' '

Do A ABC' là hình chóp tam giác đều nên ta có A G' ABCvà ABC đều

Và có góc giữa cạnh bên AA và đáy bằng ' 600, mà AG là hình chiếu vuông góc của AA trên '

mp đáy ABC  góc giữa A A'và mpABC là góc giữa AA' và AG, là góc giữa AA' và

AH, bằng 0

60

 Góc giữa BB C C' ' và ABC bằng góc giữa AA và AH , bằng ' 600

Câu 44 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - L3-2019)Cho hình lập phương ABCD MNPQ cạnh bằng a Tính

Gọi O là giao điểm của CQ và DP , E là giao điểm AD và NO Kẻ AH NO H, NO

a a

a

E O

C

D N

Gọi M là trung điểm CD thì AM BM , do ACD  BCD ta được AM BM

Gọi N là trung điểm của AB thì CN AB DN, AB suy ra       0

Câu 46 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - L2 - 2019)Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1, gọi M là

trung điểm AD và N trên cạnh BC sao cho BN2NC Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN

Gọi H là tâm tam giác ABC khi đó AHABC Có BN2NCNH/ /CD

N M

Gọi I là trung điểmCD , từ M kẻ đường thẳng / / CD cắt AI tại E.

Gọi K là trung điểm HI , J là hình chiếu của K lên HE

Khi đó d MN CD , d I EMHN ,  2d K EMHN ,  2KJ

.7

.7

Lời giải Chọn B

Gọi cạnh của đáy ABa2

2

34

2

O M

K

d 

Câu 48 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam

giác vuông tại B, AB3a, BC 4a, mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC Biết

HC  nên d B SAC ,  4d H ,SAC 

Trong mặt phẳng ABC, kẻ HK AC ; SH AC ACSHK; ACSAC

SAC SHK

  và SAC  SHKSK

Trong mặt phẳng SHK , kẻ HI SK thì HI SAC HI d H ,SAC 

Tam giác CKH và tam giác CBA đồng dạng nên HK CH

I

30