Chuyên đề ôn thi hình học không gian 2015

và khoảng cách Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chópS ABC... Tính thể tích khối chóp S ABCD.. Bài giải tham khảo  Do SABvuông cân tại cóSI là trung tuyến SIcũng

1

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

A

C

B

R

2

R

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

b

c

a

A

b

c

a

p – nửa chu vi

r – bán kính đường tròn nội

tiếp

ABC

4

abc

R

2

ABC

A

b

c

a

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

bc

ac

ab

A

H M

 BC2 AB2 AC2 Pitago

 AH BC. AB AC .

 AB2 BH BC AC , 2 CH CB .

, AH HB HC.



2

BC AM

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2

2

2

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

3 4

S

 Chiều cao tam giác đều: 3

2

h

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

A

N

K

M

2 2

/ /

AMN ABC

AM AN MN

AB AC BC

k

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

A

N

M

B

1 2

ABC

A

B

C

a

h

2 3 4 3 2

ABC

a S

a h

C

D

a

O

2

2

HV

(cạnh)2 đều

(cạnh) đều

3

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

S Hình Thang 1

2.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản

dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích

đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng d // mp( ) với d ( )

 Chứng minh: d // 'd và d' ( )

 Chứng minh: d ( ) và // ( )

b/ Chứng minh mp( ) // mp

 Chứng minh mp( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp

 Chứng minh mp( ) và mp cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp( ), có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

// //

( )

2 Quan Hệ Vuông Góc

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp( )

A

D

2

S

A

B

D

2

H Thoi

 Chứng minh: // '

'

 Chứng minh:

//

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3:

P

d

 Chứng minh d và d'

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc

 Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900

 Chứng minh d

d (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với

mp kia)

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

3/ Góc Và Khoảng Cách

a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

' ( , ) ( ', ') '

b/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng mp

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp( )) 



d

'

d



a

b

'

a

'

b

5

c/ Góc giữa hai mp và mp

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u ,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

( ); ( , )a b

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

,

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp

chứa d' và song song với d

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ,

lần lượt chứa dvà d'



u

M

d

'

d

M

M

H

'

d

A

B

C H O

A

D S

4/ Hinh Chóp Đều

a/ Định nghĩa

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nhận xét:

Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó:

ĐáyABC là tam giác đều

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

AB

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

ĐáyABCDlà hình vuông

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO SBO SCO SDO

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

7

A

B

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với

đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên

vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên

SA ABC thì chiều cao làSA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt

đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam

giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy ABCD thì

chiều cao của hình chóp là chiều cao của SAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai

mặt bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên

SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD thì chiều cao là SA

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh

và tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCDthì có đường cao làSO

6/ Thể Tích Khối Đa Diện

1/ Thể tích khối chóp: 1

3

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng trụ: V B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên

C

D

S

O

C

A

B

B’

A

B

C

A’

B’

C’

a

b

c

a

S

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V a b c .

Thể tích khối lập phương: V a 3

4/ Tỉ số thể tích:

' ' '

.

S A B C

S ABC

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

3

h

Với B B h, ', là diện tích hai đáy và chiều

cao

B BÀI TẬP MẪU

Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

0

vớimp ABC Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABC

1 3

* Trong đó: SA a 2

* Tìm S ABC?

Trong ABC vuông tạiB , ta có:

0 0

.sin 30 sin 30

2 3

2

a

AC

AC

2

S

B

30

0

a

9

Tính khoảng cách từA đếnmp SBC

3

S ABC

SBC

V

V d A SBC S d A SBC

S

* Tìm SBC ?

SBC

2

6

* Thế 4 , 6 vào 5

3

2

3 8 21

24 7 7

d A SBC

Thí dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a BC, 2a

Hai mp SAB và mp SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

Bài giải tham khảo



Hình chiếu củaSC lên mp ABCD là AC

0

S

 Mà: . 1

3

 TìmSA ?

Trong SAC vuông tạiA:

tanSCA SA SA AC tanSCA

AC

2 2.tan 600 2 (2 ) 32 15 2

 Ta lại có: S ABCD AB BC a a.2 2a2 3

ABCD

a

Thí dụ 3 Hình chóp S ABC có BC 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C SAB, là tam giác

vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB

a/ Chứng minh rằng, đường thẳngSI mp ABC

b/ Biếtmp SAC hợp vớimp ABC một góc600 Tính thể tích khối chóp S ABC

Bài giải tham khảo

 Do SABvuông cân tại cóSI là trung tuyến SIcũng

đồng thời là đường cao SI AB

 Ta có:

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chópS ABC

 GọiK là trung điểm của đoạnAC

SK vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong

 Trong ABC vuông tạiC có KI là đường trung bình

//

KI BC

S

C

I

K

60 0

2a

11

1 3

 TìmSI ?

Trong SKI vuông tạiI , ta có:

0

1 tan tan tan 60 3 2

2

SI

 TìmS ABC ?

2

ABC

2 1

.

S ABC

a

Thí dụ 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình

chiếu vuông góc của A'xuốngmp ABC là trung điểm của AB Mặt

bên AA C C tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này ' '

Bài giải tham khảo

 GọiH M I, , lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AB AC AM, ,

 V ABC A B C ' ' ' B h S ABC 'A H 1

 Do ABC đều nên:

2 3 2 3

2

ABC

 TìmA H' ?

DoIH là đường trung bình trong đều AMB,

đồng thời BMlà trung tuyến nên cũng là đường

cao

'

C’

C

M

I

H

a

Mà: 0

Trong A HI' vuông tạiH , ta có:

o

 Thay 2 , 3 vào

' ' '

ABC A B C

Thí dụ 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông

tại A AC, a ACB, 600 Đường chéo BC'của mặt bên BC C C tạo với mặt ' '

phẳng mp AA C C một góc ' ' 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo a

Bài giải tham khảo

vuông góc của BC lên ( ACC A )

Từ đó, góc giữaBC và ( ACC A là ) 0

30

BC A

 Trong tam giác vuôngABC: AB AC.tan 600 a 3

 Trong tam giác vuôngABC': AC AB.cot300 a 3 3 3a

 Trong tam giác vuông ACC':

' ' (3 ) 2 2

CC AC AC a a a

V B h AB AC CC a a a a (đvdt)

Thí dụ 6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng600

Tính thể tích của hình chóp S ABCD

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABCD

 GọiO là tâm của mặt đáy thìSO mp ABCD

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là

trung điểm đoạnCD

B’

B’

a 600

30 o

S

13

(góc giữa mặt(SCD)và mặt đáy)

1 3

S ABCD ABCD

 TìmSO ?

Trong SMOvuông tạiO, ta có: tanSMO SO

OM

0

tan tan 60 3 2

2

BC

 Mặt khác: S ABCD BC2 2a 2 4a2 3

ABCD

a

C BÀI TẬP

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại ,B AB a SA, ABC ,

góc giữa mp SBC vàmp ABC bằng300 GọiM là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp S ABM theo a

3

ĐS:

3

3 2

36

S ABM M SAB

a

Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD GọiM N P, , lần lượt là trung điểm củaSB BC CD, , Tính thể tích khối tứ diệnCMNP

HD: GọiH là trung điểm

củaADthìSH AD

//

1

3

S

H

A

B

M

N

P

K

15

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B –

2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật

vớiAB a AD, a 2,SA avà SA vuông góc với

mặt phẳng đáy GọiM N, lần lượt là trung điểm

củaAD SC, vàI là giao điểm của BMvàAC Tính thể

tích khối tứ diệnANIB

HD: GọiOlà tâm của của đáyABCD

 Trong SAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:

//

.

1 3

 Tìm S AIB ?

DoI là trọng tâm ABDnên

2

AI AO

AD a

.

N AIB

V

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB' a, góc giữa đường thẳng BB' và

mp ABC bằng 600, tam giácABCvuông tạiC và góc BAC 600 Hình chiếu

vuông góc của điểmB' lên mp ABC trùng với trọng tâm của ABC Tính thể tích của khối tứ diệnA ABC' theo a

HD:

GọiM N, là trung điểm củaAB AC, Khi đó,Glà trọng tâm của ABC

Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC là GnênB G' ABC BB ABC; B BG' 600

' ' 1

V S B G AC BC B G

C

D

M

I

S

A

B

M

N

I

O

A’

B’

C’

A

B

C

G

N

M

TìmB G' ?

Trong B BG' vuông tạiGvà có B BG' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh làBB' a

3

a

 TìmAB BC, ?

ĐặtAB 2x Trong ABC vuông tạiC cóBAC 600nên nó

cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC

2

AB

a

Trong BNC vuông tạiC : BN2 NC2 BC 2

2 2

3

2 13

a AC

a BC

 Thế 2 , 3 vào

3 '

A ABC

V

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách đều

A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

HD:

Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’ ABC

HD:

60 0

B

M

G

17

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,

0

60

ACB Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300 a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A '

b) Tính độ dài đoạn AC’

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC

HD:

Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng 1 GọiM N, lần lượt là trung điểm củaABvà CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngA C' vàMN

4

d MN AC

Bài 9 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại ,B SA mp ABC Biết rằng:

,

AB a AC 2a , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng600 Tính thể tích khối chópS ABC theoa

2

a

Bài 10 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại ,B SA ABC Cho

2

AC a , SB 3a Tính thể tích của khối chóp S ABC

3

a

V