DS c4 bat dang thuc

Tính chất của bất đẳng thức.. Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.  Hướng dẫn giải Chọn C.. Vì avà b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn

Trang 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ 1 BẤT ĐẲNG THỨC



Điều kiện

Nội dung

Cợng hai vế với sớ bất kì ab a c  b c (1)

Nhân hai vế mợt sớ dương: c 0 ab acbc (2 )a

mợt sớ âm: c 0 ab acbc (2 )b

Cợng vế theo vế các BĐT cùng chiều a b a c b d

 

   







(3)

0

a b

  



 



(4)

Nâng lũy thừa với

 

Nghịch đảo

Nếu a, b cùng dấu: ab 0 1 1

a b

Nếu a, b trái dấu: ab 0 1 1

a b

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)

  a 0; b 0 thì ta cĩ: .

2

a b

ab



 Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi ab.

  a 0; b 0; c 0 thì ta cĩ: 3

3

a b c

abc

 

 Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi a b c.

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACƠPXKI (CAUCHY SCHWARZ)

 x y a b; ; ;   thì:









Dấu " "  xảy ra khi x y, ( ; a b 0).

 x y z a b c; ; ; ; ;   thì:









Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y z

a b c ( ; ; a b c 0).

 x y;   và a 0, b 0 thì x2 y2 (x y)2



 Dấu " "  xảy ra khi x y

a b

 x y z; ;   và a 0, b 0, c 0 thì x2 y2 z2 (x y z)2

 

  Dấu " " x y z

Câu 1. Cho bất đẳng thức a b a b Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

4

Chương

Trang 2

A.a b B.ab 0 C.ab 0 D.ab 0.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Tính chất của bất đẳng thức

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x23x với x  là:

A. 9

4

2

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có:

0

x x



 



 

Câu 3. Cho biểu thức f x  1 x2 Kết luận nào sau đây đúng?

A.Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. 

B.Hàm số f x chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. 

C Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 

D Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 

Ta có: f x  và   0 f 1 0; f x  và   1 f  0 1

Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng   0và giá trị lớn nhấtbằng 1

Câu 4. Cho hàm số   12

1

f x

x



 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. f x có giá trị nhỏ nhất là   0, giá trị lớn nhất bằng 1

B. f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. 

C. f x có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2  

D. f x không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 

Ta có: 0 f x    1; x và f  0 1 Vậy f x không có giá trị nhỏ nhất, giá 

trị lớn nhất bằng 1

Câu 5. Cho biết hai số avà b có tổng bằng3 Khi đó, tích hai số a và b

A có giá trị nhỏ nhất là9

4 B có giá trị lớn nhất là 9

4

C có giá trị lớn nhất là 3

2 D không có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Vì avà b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích

ab

Câu 6. Cho ba số a; b; cthoả mãn đồng thời: a b c  0; b c a  0; c a b  0 Để

ba số a; b; clà ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ?

A Cần có cả , ,a b c  0 B Cần có cả , ,a b c  0

C Chỉ cần một trong ba số , ,a b c dươngD Không cần thêm điều kiện gì.

Trang 3

A Hình vuông có diện tích nhỏ nhất.

B Hình vuông có diện tích lớn nhất.

C Không xác định được hình có diện tích lớn nhất.

D Cả A, B, C đều sai.

Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si

Câu 8. Tìm mệnh đề đúng?

A.a b  ac bc B.a b 1 1

a b

C.a b và c d  ac bd D.a b  ac bc c , 0

Câu 9. Suy luận nào sau đây đúng?

A. a b

c d









c d











a b

c d

C. a b

c d









0

a b

c d

 





  ac bd

Câu 10 Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?

A a b

c d











a c b d

0

a b

c d





 



a b

d c

C. 0

0

a b

c d





 



ac bd

c d











a c b d

Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A a b 1 1

a b

  B.a b  ac bc C. a b

c d









  ac bd D Cả A, B, C đều

sai

Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. a b

c d









  a c b d   B. a b

c d









  ac bd

C. a b

c d









  a c b d   D.ac bc  a b c 0

Câu 13. Cho biểu thức Pa a vớia 0 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A.Giá trị nhỏ nhất của P là 1

4 B.Giá trị lớn nhất của P là 1

4

Trang 4

C.Giá trị lớn nhất của P là 1

2 D P đạt giá trị lớn nhất tại 1

4

a 

2

Pa a  a  a   a  

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số   2 2

f x

x x



A.11

11

Ta có:

2

x  x x     x

f x

x x

  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8

11

Câu 15. Cho f x  x x2 Kết luận nào sau đây là đúng?

A. f x có giá trị nhỏ nhất bằng  1

4 B. f x có giá trị lớn nhất bằng   1

2

C. f x có giá trị nhỏ nhất bằng   1

4

 D. f x có giá trị lớn nhất bằng   1

4

 

2

f x  x x  x  x    x  

f    

Câu 16. Bất đẳng thức m n 2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A.n m 12 m n 120 B.m2n2 2mn

C.m n 2m n 0 D.m n 2 2mn

m n 2 4mn  m22mn n 2 4mn  m2n2 2mn

Câu 17. Với mọi ,a b  , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?0

A.a b 0 B.a2 ab b 2  0 C.a2ab b 2  0 D.a b 0

b b b b b

a ab b a  a    a     b

Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy  , bất đẳng thức nào sau đây đúng?36

A.x y 2 xy 12 B.x y 2xy72 C.4xy x 2y2 D.

2

36 2

x y

xy



Hướng dẫn giải Chọn A.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có:

x y  xy  

Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x y 12, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 5

A. xy 6 B.

2

36 2

x y

xy   

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có:

6 2

x y

xy   

Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy  Giá trị nhỏ nhất của 2 A x 2y2

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x và 2 y2 Ta có:

 2

A x y  x y  xy  Đẳng thức xảy ra x y 2

Câu 21. Cho a b 0 và 1 2

1

a x

a a





1

b y

b b





  Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

a

x  a và 1 1

1

b

y  b

   

1

a b

Do a b 0 nên a  1 1 và b  1 1 suy ra:

   

1

a b     

1

Vậy 1 1 0

x y 

x y

  do x 0 và y  nên 0 1 1 x y

x  y  

Câu 22. Với , , ,a b c d  Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?0

A a 1 a a c



C a c a a c c

b d b b d d



 D Có ít nhất hai trong ba mệnh đề

trên là sai

 

a b c

a a c

b b c b b c





Câu 23. Hai số ,a b thoả bất đẳng thức

2

a b a b 

  thì

A a b B a b C a b D a b

2

a b a b 

   2a22b2 a b 2  a b 2 0  a b

Trang 6

Câu 24. Cho ,a b  Chứng minh 0 a b 2

b a  Một học sinh làm như sau:

I) a b 2

2 1

a b ab



II)  1  a2b2 2ab  a2b2 2ab0  (a b )2 0

III) và a b 2 0đúng a b, 0nên a b 2

b a  Cách làm trên :

C Sai ở III) D Cả I), II), III) đều đúng.

Câu 25. Cho , ,a b c  Xét các bất đẳng thức sau:0

I) a b 2

b a  II) a b c 3

b c a   III) a b 1 1 4

a b

Bất đẳng thức nào đúng?

A Chỉ I) đúng B Chỉ II) đúng C Chỉ III) đúng D Cả ba đều

đúng

Ta có: a b 2 a b 2  I

b a  b a   đúng; a b c 33 a b c 3  II

b c a   b c a   đúng;

2

a b ab



 







a b 1 1 4

a b

   (III) đúng

Câu 26. Cho các bất đẳng thức: a b 2  I

b a  , a b c 3  II

b c a   , 1 1 1 9 III

a b c  a b c  (với , ,a b c  ) Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?0

A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng. D , ,I II III đều đúng

Ta có: a b 2 a b 2  I

b a  b a   đúng; a b c 33 a b c 3  II

b c a   b c a   đúng;

3 3

a b c abc









  



a b c 1 1 1 9

a b c

a b c a b c

   III đúng

Câu 27. Cho , ,a b c  Xét các bất đẳng thức:0

I) a b c  33 abc II)a b c 1 1 1 9

a b c

  III)a b b c c a       9 Bất đẳng thức nào đúng:

A Chỉ I) và II) đúng B Chỉ I) và III) đúng.

 a b c  33abc   I đúng;

Trang 7

3 3

a b c abc











  



a b c 1 1 1 9

a b c

a b c  a b c   đúng;

 a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca  a b b c c a       8abc  III sai

Câu 28. Cho , ,a b c  Xét các bất đẳng thức:0

b c a

a b c

III) a b c abc   Bất đẳng thức nào đúng?

C Chỉ I) và II) đúng D Cả ba đều đúng.

  1 a 1 b 1 c 8 a b c 8

đúng

1

2 b

b

a  a ; 1 c 2 c

2

b c

2

4 ac

c a

2

4 ab

a b

a b c

3 abc a b c abc     abc  3 abc3 3 III sai

Câu 29. Cho , ,x y z  và xét ba bất đẳng thức(I) 0 x3y3z33xyz; (II) 1 1 1 9

x yz x y z  ; (III) x y z 3

y z x  Bất đẳng thức nào là đúng?

A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng C Chỉ III đúng.

D Cả ba đều đúng.

 

x y z  x y z  xyz I đúng;

3

3 3

x y z xyz











  



1 1 1

9

x y z

x yz x y z   sai;

 

3

x y z x y z

III

y zx y z x   đúng

Câu 30. Cho ,a b  và 0 ab a b  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b 4 B a b 4 C a b 4 D a b 4

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:  

2

4

a b

ab 

Do đó: ab a b    2

4

a b



   a b 2 4a b   0 a b a b     4 0

Trang 8

4 0

a b

    (vì a b 0)  a b 4

Câu 31. Cho a b c d   và xa b c d    , ya c b d     , za d b c     Mệnh đề

nào sau đây là đúng?

A x y z  B y x z  C z x y  D x z y 

Ta có: x y a b c d      a c b d     a c d  b c d   a b d   c b d  

a c b bd cd d a b c

Suy ra: x y

Tương tự: x z a c d b      0 x z ; y z a b d c      0 y z

Câu 32. Với m, n 0, bất đẳng thức: mn m n   m3n3 tương đương với bất đẳng thức

A.   2 2

0

m n m n  B.   2 2 

0

m n m n mn 

C.m n m n    2 0 D Tất cả đều sai.

  3 3 2 3 2 3 0

mn m n m n  m n m mn  n 

m m n n m n

      m n  2 m n  0

Câu 33. Bất đẳng thức: a2b2c2d2 e2 a b c d e    , , , , a b c d tương đương với

bất đẳng thức nào sau đây?

A.

0

B.

0

a a a a

b c d e

C.

0

D.a b 2a c 2a d 2a d 20

a b c d e a b c d e  

0

a a a a

b c d e

Câu 34. Cho , x y  Tìm bất đẳng thức sai?0

x y  x y

C.

 2

xy x y D.x y 2 2x2y2

x y 1 1 4 1 1 4



Trang 9

Câu 35. Chox2y2 1, gọi S x y  Khi đó ta có

Ta có: 1x2y2 2xy  2xy1

Mặt khác: S2 x y 2 x22xy y 2 2   2 S 2

Câu 36. Cho ,x y là hai số thực thay đổi sao cho x y 2 Gọim x 2y2 Khi đó ta có:

A giá trị nhỏ nhất của m là 2 B.giá trị nhỏ nhất của m là 4

C giá trị lớn nhất của m là 2 D.giá trị lớn nhất của m là 4

Ta có: x y  2 y 2 x

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2

Câu 37. Với mỗi x 2, trong các biểu thức: 2

x, 2

1

x  , 2

1

x  , 1

2

x 

, 2

x

giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

A.2

1

2

x

x x x và 1

x x 

Mặt khác:

 

   

 

x

 

2

x x



Câu 38. Giá trị nhỏ nhất của hàm số   2

x

f x

x

 

 với x  1 là

f x

Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng   5

2

Câu 39. Cho x 2 Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x 2

x



A. 1

2

2 2

x

x x x x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1

2 2

Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2x 1

x

  với x  0 là

Trang 10

A 2 B. 1

Ta có: f x  2x 1 2 2 x 1 2 2

Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng   2 2

Câu 41. Với , ,a b c  Biểu thức 0 P a b c

b c c a a b

2

P

2P

b c c a a b

x y z x y z  suy ra:

2

b c c a a b      a b c 

P   P ; đẳng thức xảy ra khi a b c 

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	1,19 MB