Bài giảng XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giảng viên: Phan Trung Hiếu

Định nghĩa xác suất: 31 Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra khách quan của | |:A số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra.. Định nghĩa xác suất: 37 Chú ý Đ

Bài giảng XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

CHƯƠNG 0 ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP.……… …………1

I Tập hợp……… 2

II Các phép toán tập hợp……… … 3

III Các tính chất……… 5

IV Các quy tắc đếm……….……… 5

V Giải tích tổ hợp……… 6

VI Một vài ví dụ tổng hợp……… … 7

CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT……… …….…9

I Hiện tương ngẫu nhiên……… …9

II Phép toán trên các biến cố……… ………… ………… …………10

III Quan hệ giữa các biến cố……… ……… ………… …11

IV Các tính chất của biến cố ……… ……… ……… …13

V Nhóm đầy đủ các biến cố……… ……… ……….13

VI Định nghĩa xác suất……… ……….….14

VII Các công thức tính xác suất……… ……….……18

CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN……….……22

I Định nghĩa……….………… ……….22

II Biến ngẫu nhiên rời rạc……… …… ……… 22

III Biến ngẫu nhiên liên tục……… ……… ….23

IV Hàm phân phối (tích lũy)……… ……… ……… 24

V Các tham số đặc trưng……… ……… … 26

VI Định nghĩa biến ngẫu nhiên n chiều……… ……….……30

VII Biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc……… ……… ………30

VIII Biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục……….……….33

IX Hàm của các biến ngẫu nhiên……… ……… …….33

X Các tham số đặc trưng khác……… ……… ……….35

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT…….…… …37

I Phân phối nhị thức B(n,p)……… 37

II Phân phối siêu bội H(N,M,n)……… ………… ……… …39

III Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M,n)……… ……… ………… 40

IV Phân phối Poisson P(  )……… ……… ……… 40

V Liên hệ giữa B(n,p) và P(  ) ……… …… …….41

VI Phân phối chuẩn N(   )……… ……… ….42 , 2 VII Liên hệ giữa B(n,p) và N(   )……….………….……….………43 , 2 VIII Phân phối đều U(a,b)……… 44

IX Phân mối mũ E(  )……….……45

IV Lý thuyết ước lượng……… ……… ……… 49

V Ước lượng điểm……… ……… … 49

VI Ước lượng khoảng……… ……49

VII Ước lượng trung bình của tổng thể……… ……… ……50

VIII Ước lượng tỉ lệ của tổng thể……….……… …….51

IX Ước lượng phương sai của tổng thể……… ……….….53

X Các bài toán liên quan đến ước lượng trung bình……… …….….53

XI Các bài toán liên quan đến ước lượng tỉ lệ……… ………… ….53

CHƯƠNG 5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ……… ……55

I Các khái niệm……….……… …… 55

II Các loại sai lầm trong kiểm định……… …… 56

III Kiểm định tham số……… ……… ….56

IV So sánh trung bình với một số……… ……… ……… 57

V So sánh tỉ lệ với một số……… ……… 59

VI So sánh hai trung bình………60

VII So sánh hai tỉ lệ……… ………61

DẠNG BÀI THỐNG KÊ.……… ……… ………… ……63

BÀI TẬP CHƯƠNG 0.……… ……… ……… ……72

BÀI TẬP CHƯƠNG 1.……… ……… ……… ……77

BÀI TẬP CHƯƠNG 2.……… ……… ……… ……86

BÀI TẬP CHƯƠNG 3.……… ……… ……… ……96

BÀI TẬP CHƯƠNG 4.……… ……… ………103

BÀI TẬP CHƯƠNG 5.……… ……… ………104

CÁC BẢNG SỐ THÔNG DỤNG.……… ……… … …107

TÀI LIỆU THAM KHẢO.……… ………… ……… … …120

LOG O

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

Chỉ duy nhất 1 lần có phép

-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu

-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

3

Nội dung:

Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp

Chương 1: Đại cương về Xác suất

Chương 2: Biến ngẫu nhiên.

Chương 3: Một số phân phối xác suất quan

[1] Bài giảng trên lớp.

[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,

Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.

Các tài liệu tham khảo khác.

Chương 0:

ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

-Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không

có định nghĩa

I Tập hợp:

-Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau

cho ta hình ảnh của tập hợp Các đối tượng này

trở thành phần tửcủa tập hợp

Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong

giờ môn XSTK tại phòng A…

 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn

(đếm được, thấy được cụ thể)

Chú ý: Phương pháp liệt kê

- Không quan tâm thứ tự liệt kê

- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không lặp lại

Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai

môn thể thao là cầu lông và bóng bàn Có 5

bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký

chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai

môn Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể

thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể

A là tập con của B, ký hiệu:

A chứa trong B B chứa A

A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng

A… mà có số tuổi lớn hơn 80} A  

Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8

quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa

khác nhau Một học sinh được chọn 1 quyển

Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ

mi khác nhau Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để

mặc?

Giải

chọn 1 bộ đồ

Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:

Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:

Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh

chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán Nhà trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người

dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và

1 học sinh chuyên Toán Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?

12 18 216  cách

Tóm lại:

-Khi thực hiện một công việc có nhiều phương

án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong

công việc Khi đó, ta dùng quy tắc cộng

-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua

nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng

n A

Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2

người, một người lau bảng, một người quét lớpcho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người?

2

3 5

A cách

Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau Hỏi có mấy

cách:

a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường?

b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên tường?

3 5

C cách

VI Một vài ví dụ tổng hợp:

37

Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1

chiếc ghế dài có 5 chỗ Có bao nhiêu cách xếp:

a) Năm người vào ghế?

b) Sao cho C ngồi chính giữa?

c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế?

c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế:

B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách.

Vậy có: 2! 3! cách.

38

Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác

nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau.

Giải

Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4!cách.

Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách.

Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6!cách.

Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách.

C cách

63

Ví dụ 7: Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút

máy khác nhau Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy để tặng cho 3 sinh viên, mỗi em mộtcuốn sách và một cây bút máy Hỏi có mấy cách?

Giải

B1: Chọn 3 trong 10 cuốn sách để tặng cho 3 em:

B2: Chọn 3 trong 7 cây bút để tặng cho 3 em:

3 10

A cách

3 7

Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có

20 nam Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán

sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên

học tập, 1 ủy viên đời sống nếu:

A cách

3 29

10.A cách

3 10

20 C 4! cách

4 10

A cách

4 4

30 10

A A cách

LOG O

Chương 1:

ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

2

Hiện tượng tất định:

I Hiện tượng ngẫu nhiên:

Hiện tượng ngẫu nhiên:

là những hiện tượng

mà khi thực hiệntrong cùng một điều

của lý thuyết xác suất

-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu

nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”

1.1 Phép thử (T ):

sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không

thể dự đoán trước được

thí nghiệm, phép đo, sự quan

Ví dụ: T: tung một con súc sắc

T: mua 1 tờ vé số

T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy

4

kết quả có thể xảy ra của phép thử.

1.2 Không gian mẫu ( ):

Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi

T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi

1.3 Biến cố: là tập con của không gian mẫu

Thường được ký hiệu là A, B, C,…

Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của

biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra)

 : biến cố không thể (không bao giờ xảy

 A xảy ra thì suy ra B xảy ra

: biến cố A kéo theo biến cố B

ngày”

“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”

0:

D

Trong các biến cố trên, biến cố

nào kéo theo biến cố B?



A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau” A T Đ.

Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” C A B  

Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.

A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”

Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “SV A và SV B đều đậu” C AB 

B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”

C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”

d A A Ae) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.

A và B được gọi là đối lập nhau

 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra

 A và B đều không xảy ra

đều xảy ra không đối nhau.A và B

 đối nhau xung khắc

S “Sinh viên i thi đậu” (i=1,2)

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo

a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”

:

i S

1 2

A S S

b) B: “Không có ai thi đậu” B S S 1 2

e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu” E S S 1 2

f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu” F S S  1 2 S S1 2

d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu” D S S  1 2S S1 2

g) G: “Có sinh viên thi đậu” G S  1 S2

h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”

T: “Lấy được viên trắng”

Đ: “Lấy được viên đỏ”

X: “Lấy được viên xanh”

T, Đ, X là một nhóm đầy đủ

VI Định nghĩa xác suất:

31

Xác suất của một biến cố là một con số đặc

trưng cho khả năng xảy ra khách quan của

| |:A số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra

| |: số các kết quả có thể xảy ra của phép thử

nữ Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp Tính xác

suất để người được chọn là nam

Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có

6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra

3 bi Tính xác suất để:

a) 3 bi lấy ra là 3 bi xanh.b) 3 bi lấy ra có đúng 1 bi xanh.c) 3 bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ

V Định nghĩa xác suất:

37

Chú ý (Điều kiện của định nghĩa cổ điển):

 Các kết quả trong không gian mẫu phải

đồng khả năng xảy ra

 Không gian mẫu phải hữu hạn





38

6.2 Định nghĩa theo thống kê:

-Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số

Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút

thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi

Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì

xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng:

91 0,91

Số lần ngửa

Tần suất Buffon 4040 2048 0,5069

Pearson 12000 6019 0,5016

Pearson 24000 12012 0,5005

0, 5 0,5

( ) 0,5  

P N

41

6.3 Định nghĩa theo hình học:

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian

mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành

một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài,

Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền 

A: điểm M thuộc miềnS  

( )

P A  độ đo của S

độ đo của 

42

Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình

tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm

6.4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:

-Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác

suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong

thực tế nó không xảy ra trong một phép thử

-Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác

suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong

B: “Chọn được bạn giỏi Toán”

A: “Chọn được bạn giỏi Văn”

P( | )=? A BT: chọn ngẫu nhiên 1 bạn   | | 10

Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy

ra hay không xảy ra của biến cố này không

làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia

Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2

bi đỏ và 8 bi xanh Lấy lần lượt 2 bi

a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ?

b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ?

52

Giải Lấy mẫu

có hoàn lại

Lấy mẫu không hoàn lại

Lần 1 lấy ra quan sát

sau đó lấy tiếp lần 2

Lần 1 lấy ra quan sát rồi để ra ngoài luôn, sau đó lấy tiếplần 2

53

Lấy mẫu

có hoàn lại

Lấy mẫu không hoàn lại a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”

( ) 

P Đ1

102

( )

P

+ Đ2 |Đ1

92

Nhận xét:

VII Các công thức tính xác suất:

55

7.1 Công thức cộng xác suất:

(  )  ( )  ( )  ( )

P A B P A P B P AB

 Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc thì

Tổng quát: Nếu A1,A2,…,An đôi một xung

bi xanh Hộp II có 8 bi đỏ và 4 bi xanh Từ mỗi

hộp lấy ngẫu nhiên ra 1 bi Tính xác suất để:

a) Lấy được 2 bi đỏ

b) Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh

Giải

Đ1: “Lấy được bi đỏ từ hộp I”

Đ2: “Lấy được bi đỏ từ hộp II”

X1: “Lấy được bi xanh từ hộp I”

X2: “Lấy được bi xanh từ hộp II”

58

a) A: “Lấy được 2 bi đỏ” AĐ1 Đ2( ) 

P A P( Đ1.Đ2) P( ).Đ1 P( )Đ2 (Vì Đ1 và Đ2độc lập)

12

212

8

 1 9



18

11 0,6111.

60

Ví dụ 2:Một chiếc máy có 2 động cơ I và II

hoạt động độc lập với nhau Xác suất để động

cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7

Tính xác suất để:

a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt

b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt

c) Có động cơ chạy tốt

d) Có 1 động cơ chạy tốt

55% và cả hai loại là 30% Chọn ngẫu nhiên 1

khách hàng của ngân hàng Tính xác suất người

đó:

a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng.

b) Chỉ sử dụng loại thẻ M.

c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng.

d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng.

A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”

A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”

5

19

C C

Chú ý:

 Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật

và không hoàn lại Lấy cùng lúc k vật.

Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của

các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế

nào khi một biến cố đã xảy ra.

72

Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng

sản xuất ra một loại sản phẩm Sản phẩm củaphân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhà máy Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%

Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50% Tỷ lệphế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là 5%, 4% và 10% Lấy 1 sản phẩm của nhà máy

a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm?

b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm Tính xác suất để

nó do phân xưởng II sản xuất?

(phế phẩm)

74

A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I”

B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II”

C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”

H: “Lấy được phế phẩm”

P(A) =0,4 P(B) =0,1 P(C) =0,5

P(H|A) = 0,05 P(H|B) = 0,04 P(H|C) = 0,1

a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 1 bi Tính xác suất lấy được bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 2 bi Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi đỏ

c) Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2,

sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi Tính xác suất trong 2

bi lấy ra có bi đỏ

d) Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2,

sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi Tính xác suất lấyđược 2 bi đỏ

1 11

8 11

C

C 

1 10

1 14

10 14

C

C 

1 2

24

55

C C

1 2

1 1

10 4

2 14

91

C C

24 1 40 1

55 2 91 2 2192

0, 4379.

5005

   

LOG O

Chương 2:

BIẾN NGẪU NHIÊN

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

 X, Y, Z, : Biến ngẫu nhiên

 x, y, z, : Giá trị của biến ngẫu nhiên.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc Gọi X là số

chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc

X =

 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3

II Biến ngẫu nhiên rời rạc:

Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của

nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (có thể

liệt kê được các giá trị của nó)

 Tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì

ngưng Gọi X là số lần tung X =

2.1 Bảng phân phối xác suất:

Ký hiệu:

X x i:BNN X nhận giá trị x i.P(X ) :

p   x Xác suất để X nhận giá trị x i.Giả sử X x x 1 , , , 2 x n  ( x 1 x 2  x n)

Bảng phân phối xác suất của X:

bi lấy ra

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Tínhc) Tính

Giải

X: số bi xanh trong 2 bi lấy ra

X =

P(0 X 2), P(0 X 2), P(0 X 2).     P(X 1), P(X 1). 

a)

{0, 1, 2}



2 4

1

2.15

C

C 

2 10

1 6

1

4 8.15

C C

2 10

2

6 1.3

15

8 khi 1

15

1 khi 23

0 khi 0,1, 2

x x x x

15 x 8

khi 1

15 x 1

III Biến ngẫu nhiên liên tục:

Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó

có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số(không thể liệt kê các giá trị của nó)

Ví dụ:

 Nhiệt độ trong ngày ở TP.HCM

 Thời gian chờ xe buýt tại trạm

 Lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM

Nhận xét:

 Khi X là BNN liên tục thì X có thể lấy vô số

giá trị nên ta không thể lập bảng phân phối xác

suất cho nó

 Thay cho việc liệt kê các giá trị của X, ta chỉ

ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó.

 Thay cho các xác suất, ta đưa ra khái niệm

sau:

14

Hàm mật độ (xác suất):

f(x) là hàm mật độ của BNN liên tục X nếu nó

thỏa 2 điều kiện sau:

( ) 0, ( ) 1

Hàm phân phối của BNN X, ký hiệu là F(x),

là hàm được xác định như sau

, 1

x x

b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của

nó kéo dài ít nhất 400 giờ Tính tỉ lệ thiết bị loại A

c) Tính tỉ lệ thiết bị có tuổi thọ từ 90 giờ đến

200 giờ

2

0 khi 100( ) 100

khi 100

x

f x

x x





100

V Các tham số đặc trưng:

25

5.1 Mode (Giá trị tin chắc nhất): Mod(X) là

giá trị của X mà tại đó xác suất lớn nhất

f x  x x

3( ) (1 )2

28

3( ) 0 (1 ) 0 1

5.2 Median (Trung vị): là điểm chia đôi

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Chú ý: Med(X) có thể nhận nhiều giá trị khác

Giải

0 khi 02

khi 0 115

x

x x

Ta có:

(1) 0, 4 0, 5

(1) 0, 5 (2)(2) 0, 7 0, 5

E( X a b Y c ) a E(X) b E(Y) c a b c const; , , :

E(XY) E(X).E(Y) nếu X và Y độc lập

 Nếu thì

1

( )E(Y)

( ) ( )

n

i i i

- E(X) là giá trị trung bình (theo xác suất) mà

X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm củaphân phối xác suất của X

-Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần

chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta chọn phương án sao cho năng

suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao.

35

Ví dụ 1: Một hộp đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng

khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1kg, 2 quả nặng

2kg, 3 quả nặng 3kg Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả

Tìm trọng lượng trung bình của một quả cầu.

b) Tìm kì vọng của 5 2

Y X

X

 

2E(X) xf x dx ( ) dx 2 ln | | x 2 ln 2.

E(X ) . n n

n

i i i

Var(X) E(X )   E(X)

Var( X) k k Var(X), k const:

Var(X k ) Var(X),  k const:

-Dùng để đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng Nghĩa là:

phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn

Ví dụ 1: Năng suất của 2 máy tương ứng là các

biến ngẫu nhiên X, Y (sản phẩm/phút) có phân

phối xác suất

Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, ta

nên chọn mua máy nào?

  , nghĩa là năng suất của X ổn định

hơn của Y Vậy, chọn máy X.

Ví dụ 2: Trọng lượng X(kg) của một loại sản

phẩm là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:

Tính trọng lượng trung bình và độ lệch tiêu

chuẩn của X

2

3( 1) khi [2, 3]

3E(X) ( ) ( 1) 2, 5781( )

b) Tìm số viên trúng tin chắc nhất, số viên trúng

trung bình và phương sai của số viên trúng

c) Tính xác suất có ít nhất 1 viên trúng

46

Giải a) Gọi X là số viên trúng  X  :

i

T Xạ thủ thứ i bắn trúng i  1, 2,3.

P(X 0)   P(X 1)  ?

1 2 3 1 2 3 1 2 3P( T T T  T T T T T T  )

?0,024.



?

1 2 3P( ) 0,336 T T T 

P(X 2)  ?

0, 452



1 2 3 1 2 3 1 2 3P( T T T  T T T T T T  )

VI Định nghĩa BNN n chiều:

Biến ngẫu nhiên n chiều là một bộ gồm n biến

V = (X,Y): biến ngẫu nhiên 2 chiều

V = (X, Y, Z): biến ngẫu nhiên 3 chiều

50

Ví dụ 2: Một máy sản xuất một loại sản phẩm

Nếu kích thước của sản phẩm được đo bằng

chiều dài X và chiều rộng Y, thì ta có biếnngẫu nhiên 2 chiều: V = (X, Y) Nếu tính thêm

cả chiều cao Z nữa thì ta có biến ngẫu nhiên 3 chiều: W = (X, Y, Z)

Ví dụ 3: Xét một công ty tư nhân với hai chỉtiêu là doanh thu và chi phí quảng cáo Gọi

X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo thì

V = (X, Y) tạo nên một biến ngẫu nhiên 2 chiều

VII BNN 2 chiều rời rạc:

7.1 Bảng phân phối xác suất của V = (X,Y) (Bảng phân phối xác suất đồng thời của X

7.2 Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y):

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của

V=(X,Y) Khi đó, hàm mật độ đồng thời là:

khi ( , ) ( , ) ( , )

Ví dụ 1: Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có

bảng phân phối xác suất như sau

X 1 2 3

P 1/4 1/3 5/12

Y -2 -1

P 1/3 2/3a) Hãy lập bảng phân phối đồng thời của X và Y

b) Tìm hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y)

4 3 12

1 2 1 P(X 1).P(Y 1)

4 3 6

1 1 1 P(X 2).P(Y 2)

1 2 2 P(X 2).P(Y 1)

3 3 9

5 1 5 P(X 3).P(Y 2)

12 3 36

5 2 5 P(X 3).P(Y 1)

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của

V=(X,Y) Khi đó, để lâp bảng phân phối của

X, của Y như sau:

Bước 1: Nhìn vào bảng phân phối của V, ta sẽ

biết được các giá trị mà X, Y nhận được

Bước 2: Tính các xác suất tương ứng.

| |

| | | | | | | | +

62

Ví dụ 2: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời

của V=(X,Y) như sau

Y

X 0 1-1 0,1 0,06

0 0,3 0,18

1 0,2 0,16a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, của Y?

7.4 Phân phối có điều kiện:

P(X | Y):Xác suất để X xảy ra khi biết Y đã xảy ra

P(X , Y ) P(X | )

P( ) P(X , Y ) P(Y | )

P(X |Y=y j ) P(X=x1|Y=y j ) … P(X=x m|Y=y j)

Bảng phân phối có điều kiện của Y khi X=x i:

P(Y | X=x i ) P(Y=y1|X=x i ) … P(Y=y n|X=x i)

Ví dụ 3: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời

của X và Y như sau

P(X 1, Y 0) P(Y 0)

 



 P(X 2, Y 0) P(Y 0)

 



 P(X 3, Y 0) P(Y 0)

 





0,15 1/ 2 0,3 0,1

1 / 3 0,3 0,05 1/ 6 0,3 0,15 0,1 0, 05 0, 3   

X 1 2 3P(X | Y=0) 1/2 1/3 1/6Vậy, bảng PP có điều kiện của X khi Y = 0 là

VIII BNN 2 chiều liên tục:

Sinh viên tự nghiên cứu

Bảng phân phối xác suất của Y = f(X):

Cho bảng phân phối xác suất của X

X x1 x2 … x n

P p1 p2 … p n Cần tìm bảng phân phối xác suất của Y = f(X)?

2

Y X - 2X 3. 

P(X 1)   P(Y 3)  

biến ngẫu nhiên X và Y.

Bảng phân phối xác suất của Z = f(X,Y):

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y

Cần tìm bảng phân phối xác suất của Z= f(X,Y)?

75

Bước 1: Tìm các giá trị cho Z:

Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Z:

2 1 0

3 2 1P(Z 0) 

Ví dụ 3: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên

độc lập có bảng phân phối xác suất sau

Lập bảng phân phối xác suất của Z=X.Y

10.1 Kì vọng của biến ngẫu nhiên 2 chiều:

Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y) Kì vọngcủa V là

10.2 Kì vọng của hàm 1 biến ngẫu nhiên

Y=f(X) với X rời rạc :

10.3 Kì vọng của hàm 2 biến ngẫu nhiên

Z=f(X,Y) với (X,Y) rời rạc:

Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y) Ta gọi

hệ số tương quan của V là

X Y

cov(X, Y) (X, Y)

Ví dụ: Thống kê dân số của một vùng theo 2 chỉ tiêu:

giới tính (X), học vấn (Y) được kết quả cho trong bảng

Đại học 2 Nam: 0 0,1 0,25 0,16

Nữ: 1 0,15 0,22 0,12

a) Lập bảng phân phối xác suất của học vấn, của giới tính

b) Học vấn có độc lập với giới tính không?

c) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 1 người thì người đó

LOG O

Chương 3:

MỘT SỐ QUY LUẬT

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

2

-Thực hiện phép thử n lần độc lập nhau -Trong mỗi lần thử, ta quan tâm đến 1 biến cố A nào đó (xảy ra hay không xảy ra) với

luôn là hằng số không đổi, không phụ thuộc vào phép thử

I Phân phối nhị thức B(n,p):

( )

p P A 

X {0,1,2, , }  n

X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ ( , ) B n p

Gọi X: số lần biến cố A xảy ra Khi đó:

Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu Xác suất nảy mầm của

mỗi hạt là 0,8 Tính xác suất để trong 10 hạt: