ĐÀO HOÀNG DŨNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 2016 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng 1 Chương 1 Biến cố và xác suất Tính xác suất bằng định nghĩa Mối quan hệ giữa các biến cố 1 Một người gọi điện th[.]
Trang 1BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
- 2016 -
Trang 21
Chương 1
Biến cố và xác suất
Tính xác suất bằng định nghĩa Mối quan hệ giữa các biến cố
1 Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quyên mất ba chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau Tìm xác suất để người đó quay một lần được đúng số điện thoại của bạn
2 Một công ty cần tuyển ba nhân viên Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12 nữ Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 30 người là như nhau
a) Tính xác suất để 3 người trúng tuyển đều là nam
b) Tính xác suất để cả 3 người trúng tuyển đều là nữ
c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển
3 Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy Tính xác suất để có 3 người vào quầy số 1
4 Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga Có 5 hành khách bước lên tàu Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách mới bước lên tàu
5 Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người không quen biết nhau ở ngoài đường (giả thiết những người này đều không sinh vào năm nhuận) thì họ:
a) Có ngày sinh nhật khác nhau
b) Có ngày sinh nhật trùng nhau
6 Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ Tính xác suất để: a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ
b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ
7 Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án Gọi A k là biến cố công ty đó thắng thầu dự án k
(k 1, 2) Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:
a) Công ty chỉ thắng thầu một dự án
b) Công ty không thắng thầu dự án nào
8 Ba người cùng bắn vào một mục tiêu Gọi A k là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu (k 1, 2,3) Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:
a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu
b) Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
c) Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu
d) Có người bắn trúng mục tiêu
Trang 32
Công thức cộng, công thức nhân xác suất
9 Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số
a) Tính xác suất để được vé không có chứ số 1 hoặc không có chữ số 5
b) Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ
10 Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau Xác suất nhận cùng một điểm số nào đó ở cả 3 môn đều như nhau Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là 0,65, xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343 Tính xác suất để sinh viên thi 3 môn được ít nhất là 28 điểm Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có điểm lẻ
11 Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không mua lô hàng Tính xác suất lô hàng được mua
12 Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau Xác suất để các bộ phận bị hỏng lần lượt là 0,1; 0,3 và 0,2 Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng
b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng
13 Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3% Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm:
a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư mới được phế phẩm
b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 0,9
14 Một sinh viên phải thi 6 môn kết thúc học kì Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi môn
là 0,8 và độc lập nhau Tính xác suất để trong học kì này người đó:
a) Được 5 môn trên 5 điểm
b) Được ít nhất 4 môn trên 5 điểm
15 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là 0,01
a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0,99
16 A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộc trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất
1 nửa tổng số ván
Trang 43
17 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10 viên đạn vào cùng một bia Xác suất bắn trúng đích mỗi lần của 2 xạ thủ tương ứng là 0,7 và 0,8 Tính xác suất:
a) Bia bị trúng đạn
b) Bia bị trúng 2 viên đạn
18 Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty Xác suất trúng tuyển của mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7 Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập
a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển
b) Biết rằng có hai người trúng tuyển Tính xác suất để hai người đó là A và B
19 Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở công ty, có 50% dùng thẻ A, 40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10% dùng thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một người ở công ty đó, thì:
a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên
b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A
20 Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần Xác suất để lần đầu bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9, còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng chỉ là 0,4 Tìm xác suất để:
a) Cả ba lần đều bán được hàng
b) Có đúng hai lần bán được hàng
Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes
21 Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,85 Từ một kho chứa 1
3 sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất
22 Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả Người ta rút ngẫu nhiên trong các tờ còn lại một tờ thì được tờ tiền thật Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đi trước đó là tờ tiền thật
23 Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra Xác suất để người A phát hiện ra
tờ này giả là 0,7 Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận
Trang 54
định như thế là 0,8 Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để người B cũng nhận định như thế là 0,4
a) Tính xác suất để chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất để
A phát hiện ra nó là giả
24 Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao
a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm
b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro
là bao nhiêu?
25 Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất để câu được cá ở những chỗ
đó tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7 Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cá Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất
26 Xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5 Ba người này cùng bắn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn Tính xác suất bắn trúng của mỗi người
27 Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau Người ta lấy ngẫu nhiên 1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây
là loại rượu nào Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 0,8 Có 3 người kết luận chai rượu thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B Vậy chai rượu được chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?
28 Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, tỉ lệ hộ làm ăn không có lãi là 5% Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn không có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 88% Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%
a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó không trả nợ ngân hàng đúng hạn là bao nhiêu
b) Một hộ nuôi tôm đã không trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn không có lãi là bao nhiêu
29 Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được
độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% còn đối với phế phẩm là 1% Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm
Trang 65
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm
30 Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2 Nếu được máy 1 chấp nhận thì mới được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới được đưa ra thị trường Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là 0,8 Biết rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập
a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường
b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm không được đưa ra thị trường Tính xác suất để sản phẩm đó bị loại là do máy 2
31 Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng Từ mỗi túi rút ra ngẫu nhiên một nhẫn Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba
Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn Tính xác suất để ta rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba
HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ
3
4 150
243
6 a) b)
9 a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5”
( ) ( ) ( ) 2
10 10
P AB P A P B P A B
b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ” Cần tính P(CD) 1 P(C D)
10 0,002415
13 a) ≈ 0,0274
b) P(“ít nhất một phế phẩm”) = 1 - P(“không có phế phẩm nào”) < 0,9
Đ/s: ít nhất 76 lần
16 Cần tìm p để P(“A thắng chung cuộc trong bốn ván”) > P(“A thắng chung cuộc
trong sáu ván”)
18 a) Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người A, B và C trún tuyển K= “có 2 người trúng tuyển”
Trang 76
Xs cần tính là P K( ) P ABC ABCABC, đ/s: 0,452
b) Xs cần tính là ( | ) ( ) ( )
P AB K
113
23 Gọi A, B lần lượt là các biến cố người A, B phát hiện tiền giả Từ giả thiết có: P(A) = 0,7,
P(B|A) = 0,8, P B A( | ) 0, 4.
a) Cần tính P(ABAB)
b) Gọi K = “ít nhất một trong hai người phát hiện tờ tiền là giả”, cần tính
( | )
P A K
,tương tự ý b bài 18
24 Chọn ngẫu nhiên một người Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọn thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố
Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”
a) Tính P(A) bằng công thức xs đầy đủ Tính được P(A) = 0,135 Suy ra, tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm là 13,5%
b) Xác suất cần tính là P(H1| ̅), sử dụng công thức Bayes để tính
25 Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ
3 tương ứng Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố
Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo công thức xs đầy
đủ, các xs P(A|Hi) có thể tính theo công thức Becnulli
Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng công thức Bayes để tính xs này
26 Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba
bắn trúng mục tiêu A = “con nai bị trúng một viên đạn” = H H H1 2 3H H H1 2 3H H H1 2 3 Cần tính các xác suất P(H1|A), P(H2|A) và P(H3|A)
27 Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K =
“3 người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B” XS cần tính là
P(A|K), tính xs này theo công thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B)
Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai” và (K|B) = “3 người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B) có thể tính theo công thức Becnulli
Đ/s: ( | ) 16
17
Trang 87
31 Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1 bạc”
Suy ra,H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ các biến cố
Gọi A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba” Tính P(A) theo công thức xs đầy đủ
Trang 98
Chương 2
Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
1 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong thời gian t các bộ
phận bị hỏng tương ứng là 0,15; 0,1; 0,13 Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t
a) Lập bảng phân phối xác suất của X
b) Viết biểu thức hàm phân phối của X
c) Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị có không quá một bộ phận bị hỏng
d) Tìm E X V X m( ), ( ), và m0
2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất như sau:
Tìm x x1, 2 và p1 biết E(X) 2, 7 và V X( )0, 21 (x2 x1)
3 Ba máy ATM 1, 2, 3 có xác suất không cho giao dịch tại cùng một thời điểm lần lượt là 0,02; 0,03; 0,05 Tại thời điểm đó, mỗi máy được một người rút tiền Tính số máy không cho giao dịch tin chắc nhất trong ba máy trên vào thời điểm đó, biết rằng ba máy ATM này hoạt động độc lập
4 Trong 100 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng Tìm số tiền lãi kì vọng của một người khi mua một vé xổ số, biết giá vé là 10 000 đồng
5 Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm
a) Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra
b) Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng toán của nó nhỏ hơn 1
6 Một hộp có 10 sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm Gọi X là số phế phẩm có trong hộp X có bảng phân phối xác suất như sau:
Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 sản phẩm Gọi Y là số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra Tìm quy luật phân phối xác suất của Y
Trang 109
7 Tại một cửa hàng, lượng hàng bán được trong ngày về một loại thực phẩm có bảng phân phối xác suất như sau:
Lượng bán (kg) 30 31 32 33 34 35 36
Xác suất 0,05 0,1 0,2 0,3 0,15 0,12 0,08
Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán ra với giá 25 ngàn đồng song nếu
bị ế thì cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng mới bán hết Để lợi nhuận trung bình là
lớn nhất thì mỗi ngày cửa hàng nên đặt mua bao nhiêu kg thực phẩm
8 Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:
Phương án 1: Trả 7 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện
Phương án 2: Trả 1 triệu đồng nếu thu kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện
Luật sư đã chọn phương án 2 Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của công ty tối thiểu là bao nhiêu
HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, như vậy theo đánh giá của luật sự thì:
E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 2”) E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 1”)
9 Theo thống kê, một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa với xác suất 0,995 Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với giá là 100 ngàn đồng Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 10 triệu đồng Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu
10 Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức thi như sau:
Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5
điểm
Hình thức thứ hai: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếu
không thì dừng Trả lời đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được
10 điểm
Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm Giả sử xác suất trả lời đúng mỗi câu đều là 0,8; việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau Theo bạn, nên chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn
11 Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:
( ) n k k(1 )n k, ( 0,1, 2, , )
P X k C p p k n
Tìm m0 (mốt) của X
12 Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:
( ) , ( 0,1, 2, )
!
k
k