BÀI GIẢNG VÀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

0.5 F

$4 0.3 F o2E

Trang

Lời nói đầu

PHAN I: LY THUYET XAC SUAT

Chuong 1 BIEN CO NGAU NHIEN VA PHEP TINH XAC SUAT

1.1 Giải tích tổ hợp -ccneeenhhhhhtrrrdttrrtrrrtrrrrrrie 11

1.1.1 Qui tắc đếm (Qui tắc nhân) -+' r++>t 11 1.1.2 Chỉnh hợp - + snnhnhhthhhrrrrrernnettrrtrrrerr 12

In a mm .ố.ốốốố a 14

1.1.4 Chỉnh hợp lặp -snnnnhhhhhtrthhtrnrrreeetreerrree 15 1.1.5 Hoán vị lặp .-: -‹ssằeehehnhnrndtrrnnttthtrtredtht 16 1.1.6 TỔ hợp -ccssnnhnnehhhhhrtetrtrrrrrrrrrerrrrtttterret 18 Định nghĩa xác suất - -ssennnehtrrttttrttrtrrrrrrrrtre 21

1.2.1 Khái niệm về phép thử và biến cố . . - 21

1.2.2 Một số loại biến CỐ -+seesheeennhnrrrtrtttrtrrrt 21- 1.2.3 Định nghĩa xác suất -esŸnnhnhnhrtrrtrtrrrreet 23 1/3 Công thức tính xác suất -scnnneehtrrttrrrrt ¬— 39 1.3.1 Một số loại liên hệ giữa các biến cố - 39

1.3.2 Tinh chất của những phép toán trên các biến cố 42

1.3.3 Công thức cộng xác suất - «se nhenenhe tt 44 1.3.4 Xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất 51

1.3.5 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes - .64

Bài tập - cà ehnhhnhhhrrhrr mnerrrrrrrrrrrrtrrrreretrreennrrr 70 Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1 Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên - 77

2.1.1 Khái niệm vê đại lượng ngẫu nhiên - - 77

2.1.2 Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên 79

.2 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên - 84

2.2.1 Đặc trưng vẻ vị trí —— 85

2.2.2 Đặc trưng về độ phân 10 89 L3 Phan phối có điều kiện và Kỳ vọng có điều kiện 93

3.2.3 Định lý Tổng các phân phối nhị thức độc lập 116 3.2.4 Liên hệ giữa siêu bội và nhị thức 117

Phân phối Poisson - - G HH ng seo 119 3.3.1 Luật phân phối .-c«cc+Ssssceee 119 3.3.2 Các đặc trưng SỐ Q HH nen sec 120

3.3.3 Định lý Tổng các phân phối Poisson độc lập 121

3.3.4 Liên hệ giữa nhị thức và Poisson 124

Phân phối Chuẩn -L -Ă SE S E21 E33 11 31c sec crsz 128

3.4.1 Luật phân phối - - c HS se sea 128 3.4.2 Các đặc trưng SỐ LQ SH reg 130

3.4.3 Luật phân phối Chuẩn đơn giản 131 3.4.4 Liên hệ giữa phân phối Chuẩn tổng quát và

phân phối Chuẩn đơn giản .- 5s s+=25s 134

3.4.5 Định lý Tổng các phân phối chuẩn độc lập 137 3.4.6 Liên hệ giữa nhị thức và chuẩn - 5 139 Phân phối đều - - ĂQ Q1 SH ng xnxx 140 3.5.1 Luật phân phối - - - SG ng sec 140

3.5.2 Các đặc trưng SỐ -LLL QQSQ SH n Hs sen 141 Phân phối mmi - - 4Q S1 HH H H525 re 143

3.6.1 Luật phân phối - - S3 2S SS22£<SE2222ss2 143 3.6.2 Các đặc trưng số - cccccccesse 145

3.6.3 Liên hệ giữa phân phối Poisson và phân phối mũ 145

Phân phối Khi bình phương (Chi_Square) - 5 146 3.7.1 Luật phân phối ST SS SA S2 22x32 146 3.7.2 Các đặc trưng SỐ Q TQ n HS ng re 147

Phân phối Student - - - c con HH HH1 ca 149

3.8.1 Luật phân phối .- TQ nQn S223 ca 149 3.8.2 Các đặc trưng SỐ - LG TQ HH ng 149 Phân phối Fisher_Snedecor 5 S TS csrcc 150 3.9.1 Luật phân phối TQ Họ xe 150 3.9.2 Các đặc trưng số TL TQ TQ n SH nn Hs se, 151

4.1 Luật phân phối của véc-tơ ngẫu nrhiên - -. 158

4.2 Các đặc trưng số của véc-tơ ngẫu nhiên - - 167

4.3 Phản phối chuẩn 2 chiểu -<nnns+ằ 176 4.4 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên - - 181

s0 193

Chương 5 LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 5.1 Các dạng hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên 197

5.2 Luật yếu số lớn - như 203 5.3 Luật mạnh số lớn - + +S vn như 209 5.4 Định lý giới hạn trung tâm - - - - series 210 Bài LậP . nh th nh hư nh nh gà Tư ¬- 213 PHẦN II: THỐNG KÊ TOÁN Chương 6 LÝ THUYẾT MẪU 6.1 Khái niệm vẻ tổng thể và mẫu - s5 s 215 6.2 Các đặc trưng số của tổng thể và mẫu . 223

6.3 Phân phối của các đặc trưng mẫu - 228

6.4 Mẫu ngẫu nhiên 2 chiểu -SS Set 232 6.5 Thực hành tính các đặc trưng số của mẫu 234

Chương 7 UỚC LƯỢNG ĐẶC TRƯNG TỔNG THỂ 7.1 Ước lượng điểm - + s2 239 7.2 Ước lượng khoảng - + + nhnhnheerheeeerrhhhhhhiớ 247 7.3 Liên hệ giữa các chỉ tiêu của bài toán ước lượng 257

Chương 8 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KẾ 8.1 Kiểm định giả thiết vẻ đặc trưng tổng thể 261

8.2 Kiểm định giả thiết về giá trị của nhiều xác suất 275

8.3 Kiểm định giả thiết vẻ phân phối của tổng thể 278

8.4 Kiểm định giả thiết về tính độc lập . - 283

BAI TAP PHAN THỐNG KỀ TOÁN ©sccc+s+sse+ 286 KET QUẢ GIẢI CÁC BÀI TẬP - 5S S2trneeereerres 294° CAC DE THI TUYEN VÀO CAO HỌC -ccccce 334 BẢNG SỐ THỐNG KÊ .- - nhe 405

_ TÀI LIỆU THAM KHẢO

“Can nhé rang mén khoa học bắt đâu từ uiệc xem xét các trò chơi mau rủi lại hứa hẹn trở thành đốt tượng quan trọng nhất của trí thức loài người Phân lớn những uấn đề quan trọng nhất trong đời sống thực ra chỉ là những bài toán của lú thuuết xác suất”

P.S Laplace (1812)

Các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong xã hội là đan xen nhau giữa cái tất yếu và cái ngẫu nhiên Ví dụ hiện tượng ngày và đêm lặp đi lặp lại là điểu tất yếu do Trái đất quay quanh trục của nó và quay quanh Mặt trời, nhưng SỐ giờ nắng hay mưa tại một địa điểm là một số ngẫu nhiên do

phụ thuộc vào các mùa trong năm, lượng hơi nước và mây thay đổi, Đối với các loài thực vật và động vật thì theo học thuyết

về nguồn gốc các loài của Darwin chính sự đột biến và di truyền (những điều tất yếu) là nguồn gốc tạo ra sự đa dạng,

phong phú và thích nghi của các loài, nhưng sự đột biến sẽ xây ra đối với cá thể nào trong loài và ở đâu, khi nào là những

diéu ngẫu nhiên, Đối với con người thì điều tất yếu là có : sinh, có diệt nhưng tuổi thọ, cũng như sự thành công hay thất bại của mỗi người là một điều ngẫu nhiên phụ thuộc vào môi

trường sống (tự nhiên và xã hội), tu chất của mỗi người,

Vẻ nguyên tắc, nếu chúng ta biết rõ vả biết hết toàn bộ các yếu tố nào và sự tác động của chúng ra sao lên sự vật, hiện tượng cản nghiên cứu thì không còn cái ngẫu nhiên, mà tất cả đếu là tất định

Nhưng theo nguyên lý bất định Heisenberg ta biết rằng trong thế giới vi mô (thế giới nội nguyên tử - thế giới của các hạt quark, electron, proton, những nên tảng cơ bản tạo ra

thế giới này) thì không thể xác định một cách chính xác đồng thời cả vận tốc và vị trí của một hạt Và người ta phải dùng phương trình sóng Schrodinger để mô tả sự tiến triển (theo

thời gian) hành trạng sóng của một hạt trong một nguyên tử

Ỷ.

một xác suất nào đó, chứ không thể tất định

Với thế giới bình thường và vĩ mô thì theo nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và luật nhân quả, ta biết rằng mọi sự vật, hiện tượng đều có liên hệ mật thiết với nhau và cái này là tiên để để làm xuất hiện cái kia (cái nay sinh lam cho cái kia

sinh, cái này diệt làm cho cái kia diệt, trong chuỗi sinh - diệt bất tận của tạo hóa ) Chẳng hạn trong nghiên cứu dự báo thời tiết, các nhà khí tượng học đã thấy rằng: “Một cái đập cánh của một eon bướm ở thành phố Paris có thể gây ra một

cơn mưa ở rừng Amazon” Vì vậy rất khó khăn trong việc xác định đâu là nguyên nhân khởi phát của một sự vật, hiện tượng Và do đó việc biết rõ, biết hết về các sự vật, hiện tượng

là một điểu không thể Có lẽ Tự nhiên đã qui định tính bất khả tri trong sự hiểu biết của con người ?I

Như vậy Tự nhiên đã mang trơng lòng nó bản chất ngẫu nhiên, bất định, bên cạnh các qui luật Tuy nhiên chúng ta

sẽ phải cố gắng tìm ra cái tất yếu trong các sự vật, hiện tượng

ngẫu nhiên, bất định Nói chung công cụ để nghiên cứu các sự

vật, hiện tượng ngẫu nhiên là thống kê các số liệu đã xuất hiện và nghiên cứu chúng để tìm ra những cái tất yếu, có tính

qui luật Chẳng hạn ngày nay với sự trợ giúp của các vệ tỉnh,

các máy vi tính và các số liệu thống kê các nhà khí tượng học

có thể dự báo trong ngắn hạn khá chính xác thời tiết trong

một ngày ở một địa điểm Qua việc nghiên cứu cuộc sống và sự nghiệp của những người thành công (cũng là một đạng thống

kê), các nhà tâm lý học có thể tìm ra các nhân tổ cấu thành

nên sự thành công của một con người chẳng hạn như sự đam

mê tìm tòi, học hồi; Nghị lực và ý chí vươn lên khắc phục mọi khó khăn trở ngại; Khong sg sai lam

Xác suất - Thống kê chính là bộ môn khoa học cho phép tìm ra những cái tất yếu, có tính qui luật của các sự vật, hiện

- tượng ngẫu nhiên Ngày nay Xác suất - Thống kê có ý nghĩa và tam tng dung rất rộng trong các lĩnh vực thuộc khoa học tự nhiên cũng như thuộc khoa học xã hội Trong hầu hết các

trường Đại học, Xác suất - Thống kê là một bộ môn bắt buộc

học để bước đầu cho các em học sinh làm quen với nó

Mặc dù hiện nay có rất nhiều giáo trình cũng như tài liệu

tham khảo về Xác suất - Thống kê, theo các quan điểm nghiêng

về lý thuyết hay nghiêng vẻ ứng dụng Nhưng với mong muốn có

thêm một tài liệu nữa để giúp cho việc phổ cập cũng như làm

phong phú thêm về kiến thức Xác suất - Thống kê, nay tôi

mạnh dạn biên soạn tài liệu này Tài liệu chủ yếu phục vụ cho

sinh viên các ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh nên các

bài toán và: ví dụ được biên soạn theo phương hướng ứng dụng

đó Ngoài ra, do các sinh viên kinh tế sẽ được học môn Kinh tế

lượng, là bộ môn nghiên cứu vẻ Hỏi qui, nên chương Hồi qui và Tương quan sẽ không được trình bày ở tài liệu này Mặt khác,

để giúp cho các thí sinh dự thi vào Cao học thuộc khối các ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh, tôi cũng đã tập hợp một

số để thi và bài giải của các năm trước đây

Mặc dù có nhiễu cố gắng song việc biên soạn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong bạn đọc lượng thứ và góp ý để

lần tái bản sau tài liệu sẽ được hoàn chỉnh hơn

Nguyễn Thành Cả

CHƯƠNG !_ BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ

PHÉP TÍNH XÁC SUẤT

1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1.1 QUI TẮC ĐẾM (QUI TẮC NHÂN)

1 QUI TẮC

Một công việc bao gồm k giai đoạn (k bước công việc):

Có nị cách hoàn thành giai đoạn 1,

nạ cách hoàn thành giai đoạn 2,

nụ cách hoàn thành giai đoạn k

Khi đó số cách khác nhau để hoàn thành công việc là:

k

n= [In; = nạns Ttự i=l

Từ A đến B có nị = 2 đường đi (cách đi)

Từ B đến C có nạ = 3 đường đi (cách đi)

= từ A đến C mà phải qua B có n = n¡n; = 2x3 = 6 đường đi

(cach di):

(1,1; (1,3); (1,3); (2,1); (2,8); (2,3)

b) Từ 3 chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu con số hàng chục gồm 2 chữ số khác nhau (Lức là mỗi chữ số chỉ xuất

Công việc lập con số hàng chục chia làm 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chọn con số hàng chục, có n¡ = 3 cách, từ 3 chữ

được gọi là 1 chỉnh hợp chập m của n phản tử (Mỗi phân tử

trong tập hợp chỉ xuất hiện tối đa 1 lần trong chỉnh hợp _

không lặp) m < n

Với n! = 1x2x xn (Đọc là n giai thừa)

a) SO con số hàng chục gồm 2 chữ số khác nhau được lập

nên từ 3 chữ số 1,2,3 (Mỗi chữ số chỉ xuất hiện tối đa 1 lần)

là số chỉnh hợp chập m = 2 của n = 3 phần tử:

! A; =—”“—=3x2=6con SỐ (8-2)! :

b) Số cách sắp xếp m quyển sách vào n ngăn kéo, theo 1 thứ

tự nào đó, mỗi ngăn kéo có tối da 1 quyển sách, là số chỉnh

hợp chập m cúa n phần tử (Lấy m ngăn kéo trong n ngăn kéo

được lấy có hoàn lại / lặp lại từ tập hợp trên và sắp theo 1

thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp lặp chập m của n

phản tử (Mỗi phản tử trong tập hợp có thể xuất hiện nhiều

Lên trong chỉnh hợp lặp) m có thể lớn hơn n

Việc lập 1 chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử chia làm

m giai đoạn, mỗi giai đoạn chọn ra 1 phần tử từ tập hợp n phân tử đã cho (có n cách)

Số con số hàng trăm phải tìm là số chỉnh hợp lặp chập 3

phần tử của 2 phần tử: Bộ =2? =8con số

(111; 112; 121; 211; 122; 212; 221; 222}

b) Số cách sắp xếp m quyển sách vào n ngăn kéo lớn (mỗi

ngăn kéo có thể chứa nhiều quyển sách và có thể chứa hết toàn bộ m quyển) là số chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử:

B”™ = nh

Chú ý: Nếu mỗi ngăn kéo chỉ chứa tối đa là 1 quyển sách

— Số chỉnh hợp (không lặp) chập m của n phần tử: A” c) Số cách sắp xếp m người vào n toa tàu (mỗi toa tàu có thể chứa nhiều người và có thể chứa hết toàn bộ m người) là số chỉnh hợp lặp chập m của n phân tử: By =n™

1.1.5 HOAN VI LAP

1 DINH NGHIA

Nếu trong 1 tập hợp gồm n phản tử có m phần tử giống

nhau thì mỗi hoán vị của n phần tử đó được gọi là một hoán

Số hoán vị của n phần tử khác nhau là n!

Nếu trong n phân tử đó có m phản tứ giống nhau thì tất

cả các cách sắp thứ tự của m phần tử giống nhau này (có ml

cách) kết hợp với 1 cách sắp thứ tự của (n-m) phần tử còn lại

đêu cho cùng 1 kết quả là 1 hoán vị lặp

Như vậy, công việc xác định 1 hoán vị của n phần tử (có

n! cach) bao gồm 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Xác định 1 hoán vị lặp m của n phần tử (có

Một cách sắp xếp để tạo thành 1 con số hàng ngàn có thể xem là 1 hoán vị lặp với m = 3, n = 4

!

Ta có: P„(3) = 5i =4 con số khác nhau

(1112; 1121; 1211; 2111)

4 TỔNG QUÁT

Trong n phân tử có mị phân tử giống nhau thuộc nhóm

A¡, mạ phần tứ giống nhau thuộc nHóm Ao, ., m, phan tif

giống nhau thuộc nhóm A, Sao cho: mị + mạ + + my =n Khi đó số hoán vị của n phần tử này là:

nỉ P.(m,,m.,, ,m,)=

m,!m,! m,!

Ví dụ: Có 5 phiếu khác nhau bao gồm 2 phiếu ghi chữ số 1, 3

phiếu ghi chữ số 2 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 phiếu

trên để tạo thành dãy các con số hàng chục ngàn khác

nhau?

Giai đoạn 2: Lập hoán vị của các phần tử nằm trong tố hợp

do (co mi! cach)

Theo qui tắc đếm, ta có: A” = Crm!

Việc chọn ra 2 người từ 4 người để làm công tác trực

nhật không quan tâm đến thứ tự của người được chọn nên đó

Việc lấy ra 3 bóng để kiểm tra chỉ quan tâm xem có mấy

bóng tốt, mấy bóng hỏng, chứ không quan tâm đến thứ tự các bóng đó, nên là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử

101

=> cd Ci, = =

3171 = 120 cách lấy khác nhau

4 NHỊ THỨC NEWTON

a+b=a! +b! =Ca'b? +Cia°b’

(a+b)? =a? + 2ab+b? = C9a°b° + Cja'b! + Cza°b”

(a +b)? =a? +3a2b + 3a1bề + b3 = C0a”b + Cja?b! + C7a'b? + C;a“bŸ

(a+b) = Cea nfo +Cla n- 1p} + Của n- 2h? 4 + Cla" 'b! ++ Cha°b”

1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1.2.1 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1 PHÉP THỬ là một thí nghiệm/thực nghiệm để nghiên cứu

một đối tượng hay một hiện tượng nào đó

Các phép thứ thường do một nhóm điều kiện nào đó xác

định Cứ mỗi khi làm cho các điều kiện này được thỏa mãn

là ta đã thực hiện phép thứ Nhóm diéu kiện xác định phép thử phải rõ ràng, ổn định trong suốt quá trình nghiên cứu và

phải lặp lại bao nhiêu lần cũng được

2 BIẾN CỔ là kết cục hay sự kiện xảy ra khi thực hiện phép thử

1 BIẾN CỐ CHẮC CHẮN (Kí hiệu là ©) là biến cố nhất định

xảy ra mỗi khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Với phép thử là gieo 1 con xúc xắc thì biến cố xuất

hiện mặt có số chấm < 6 là biến cố chắc chắn

2 BIẾN CỐ KHÔNG THỂ (Kí hiệu là Ø) là biến cố nhất định

không xảy ra mỗi khi thực hiện phép thử Hay việc không thể

xảy ra nó là biến cố chắc chắn

Ví dụ: Với phép thử là gieo l con xúc xắc thì biến cố xuất

hiện mặt có số chấm = O là biến cố không thể

3 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN (Kí hiệu bằng các chữ cái A; B; )

là biến cố có thể xảy ra mà cũng có thể không xảy ra mỗi khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Với phép thử là gieo 1 con xúc xắc thì biến cố xuất hiện mặt có số chấm = 1 là biến cố ngẫu nhiên vì khi gieo con xúc xắc có thể xuất hiện mặt 1 chấm mà cũng có thể không

4 BIẾN CỐ KÉO THEO: Biến cố A được gọi là kéo theo biến

cố B (Kí hiệu là A © B; hay A -— B; hay Ac B) nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra (la còn nói A là “thuận lợi” hay “thích hợp” cho B xảy ra)

Ví dụ: Với phép thử là gieo 1 con xúc xắc thì biến cố xuất hiện mặt 1 chấm là kéo theo biến cố xuất hiện mặt số lẻ

5 BIẾN CỐ TƯƠNG ĐƯƠNG: Biến cố A được gọi là tương

đương với biến cố B (Ki hiéu la A > B; hay A + B; hay A =B) khi và chỉ khi A c Buờ BcA

Ví dụ: Với phép thử là gieo 1 con xúc xắc thì biến cố xuất hiện mặt 2; hay 4: hoặc G chấm là tương đương với biến cố xuất hiện mặt số chẵn < 6

Chú ý: Biến cố kéo theo và biến cố tương đương, chính xác

nên hiểu là quan hệ kéo theo và quan hệ tương đương trên

các biến cố

6 BIẾN CỐ SƠ CẤP: Biến cố A được gọi là biến cố sơ cấp nếu không có một biến cố nào khác kéo theo nó

Ta có thể hình dung các biến cố sơ cấp là những “phan”

nhỏ nhất trong các biến cố có thể xảy ra mỗi khi thực hiện

phép thử, và không có biến cố nào bao trong nó nữa

Tập hợp các biến cố sơ cấp có thể xảy ra khi thực hiện

phép thứ được gọi là Không gian mẫu

Vi dụ: Với phép thử là gieo 1 con xúc xắc thì các biến cố xuất

hiện mặt ¡ chấm, với ¡ =1,2, ,6 là các biến cố sơ cấp Còn

các biến cố xuất hiện mặt số lẻ, mặt số chắn không là các

biến cố sơ cấp

7 BIẾN CỐ ĐỒNG KHẢ NĂNG: Trong một số trường hợp, do tính chất đối xứng của nhóm điều kiện xác định phép thử mà

có một số biến cố có khả năng xảy ra như nhau Ta gọi các

biến cố đó là các biến cố đồng khả năng

Ví dụ: Với phép thử là gieo 1 con xúc xắc

a) Trường hợp con xúc xắc đông chất và cân đối

* Gọi A; là biến cố xuất hiện mặt ¡ chấm, với L=12, ,6 Khi

đó A,, ¡=1,2, ,6 là các biến cố sơ cấp và cũng là các biến

cố đông khả năng (Các khả năng xuất hiện đều là 1/6)

* Gọi A là biến cố xuất hiện mặt số lẻ, B là biến cố xuất hiện mặt số chẩn Khi đó A, B tuy không phải là các biến cố sơ cấp nhưng đó là các biến cố đồng khả năng (Các khả năng xuất hiện đều là 1/2)

b) Trường hợp con xúc xắc không đồng chất, chẳng hạn mặt

6 chấm có lát chì, khi đó A,, ¡ = 1,2, ,6 là các biến cổ sơ

cấp nhưng không đồng khả năng (Vì có mặt 1 chấm có khả

năng xuất hiện nhiều hơn các mặt khác)

1.2.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1 ĐỊNH NGHĨA THEO LỐI ĐỒNG KHẢ NĂNG (cổ DIEN)

a) Định nghĩa: Giả sử phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra Trong đó có m biến cố sơ cấp đồng

khả năng thuận lợi cho biến cố A Khi đó xác suất xây ra

biến cố A (Kí hiệu là P(A)) được định nghĩa bằng công thức:

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt sấp Khi gieo 1 déng xu,

ta có n = 2 biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra (mặt

sấp, mặt ngửa), trong đó có m = 1 biến cố sơ cấp đồng khả

năng thuận lợi cho A (mặt sấp) Vậy P(A) = 1/2

Ví dụ 2 Phép thứ là gieo l con xúc xắc Tính xác suất xuất

hiện mat chan

Giai:

Gọi A; là biến cố xuất hiện mặt ¡ chấm, ¡ = 1,2, ,6 => số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi gieo 1 con

xúc xắc là n = 6

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn Ta có m = 3 biến cố

sơ cấp đồng khả năng thuận Idi cho A 1a: Ag, Ag, Ac-

Vay P(A) = 3/6 = 1/2

Ví dụ 3 Một túi đựng 3 viên bi có trọng lượng, kích cỡ như

nhau, trong đó có 2 viên bi màu đỏ Phép thứ là đưa tay vào túi lấy ra 2 viên bi bất kỳ Tính xác suất lấy được 1 viên bi

đỏ

Bằng cách đánh số thứ tự các viên bi, ta có thể giả sử

viên bí thứ 1 và thứ 2 có màu đỏ

Gọi A;¡ là biến cố lấy được viên bi thi i, i = 1,2,3 Do

không quan tâm đến thứ tự nên số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi lấy 2 viên bi bất kỳ là n = 3:

((A„4;}› {A, Ag}; tAz4;))

Trong đó số biến cố sơ cấp đồng khả năng thuận lợi cho

A (Biến cố lấy được 1 viên bi màu đỏ) là m = 2:

Rút ra 5 lá bài từ bộ bài 52 lá Ta không quan tâm đến

thứ tự của các lá bài, nên đó là 1 tổ hợp chập 5 của 52 phản

tử => sé biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là n= Cop

Gọi A là biến cố trong 5ð lá rút ra có 2 lá cơ

Việc rút ra 5 lá bài sao cho có 2 lá cơ chia thành 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Rút 2 lá cơ từ 13 lá cơ (Không kể thứ tự) có C?

Ví dụ 5 Xếp ngẫu nhiên 8 sinh viên, trong đó có 4 nam va 4

nữ, ngồi vào 1 cái bàn đài có 8 ghế Tĩnh xác suất các biến cố:

( Ngồi 2 đầu bàn là 2 sinh viên nam

(ii) Ngồi 2 đầu bàn là 1 nam, lnữ

(ii) Nam, nữ ngồi xen kẽ

Giải:

Xếp 8 người ngôi vào 8 ghế (có kế thứ tự) là 1 hoán vị của 8 phân tử số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể

xảy ra là: n = 8!

(i) Gọi A là biến cố ngồi 2 đầu bàn là 2 sinh viên nam

Việc tạo ra biến cố A chia thành 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chọn ra 2 nam từ 4 nam và xếp vào 2 đầu bàn,

do có kể đến thứ tự nên có A? cách

Giai đoạn 2: Xếp 6 người còn lại vào 6 ghế ở giữa, có 6! cách

= số biến cố sơ cấp đông khả năng thuận lợi cho A là:

mM, = A?.6!

mạ A761 3

= PA) n 8! 14

(ii) Goi B 1a bién c6é ngéi 2 dau bản là 1 nam, 1 nữ

Việc tạo ra biến cố B chia thành 4 giai đoạn: Giai đoạn 1: Chọn ra 1 nam từ 4 nam và xếp vào 1 đầu ban,

có 4 cách

Giai đoạn 2: Chọn ra ] nữ từ 4 nữ và xếp vào đâu bàn còn

lại có 4 cách

Giai đoạn 3: Hoan vị nam, nữ ở 2 đầu bàn, có 2! cách

Giai đoạn 4: Xếp 6 người còn lại vào 6 ghế ở giữa, có 6! cách

= số biến cố sơ cấp đồng khả năng thuận lợi cho B là:

n„ = 4x 4x2!< 61

mẹ _4x4x2!‹6! 4

P(B) = Bp SXF eixO 4

(iii) Goi C la bién cé nam, nv ngéi xen ké

Việc tạo ra biến cố C chia thành 3 giai doan:

Giai đoạn 1: Xếp nam vào vị trí chấn, nữ vào vị trí lẻ hay xếp

nam vào vị trí lẻ, nữ vào vị trí chẵn, có 2! cách

Giai đoạn 2: Xếp 4 nam vào 4 vị Lrí của nam, có 4! cách Giai đoạn 3: Xếp 4 nữ vào 4 vị trí của nữ, có 4! cách.

= số biến cố sơ cấp đồng khả năng thuận lợi cho C la:

(i) Ca 5 sinh viên vào cùng 1 quán

(ii) 2 sinh viên vào cùng ] quán và 3 sinh viên còn lại vào các

quán còn lại

Giải:

5 sinh viên độc lập đi vào 3 quản, rõ ràng có chú ý đến

thứ tự và có thể nhiều người vào cùng 1 quán, nên là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 3 phần tử = số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là: n = 3°

(i) Goi A là biến cố cả 5 sinh viên cùng vào 1 quán Ta có số

biến cố sơ cấp đông khả năng thuận lợi cho A là: my, = 3 (Ca

5 sinh viên cùng vào quán 1; quán 2 hay quán 3)

3 1 1 P(A) =A 2-2 =a

= PA) n 3g 3 81

() Gọi B là biến cố 2 sinh viên vào cùng 1 quán và 3 sinh viên còn lại vào 2 quán còn lại

Việc tạo ra biến cổ B bao gồm 3 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chọn 2 sinh viên trong 5 sinh viên, không kể

2 3

> p(B) = BG X3x2" _ 80

c) Các tính chất cơ bản của xác suất:

( Với mọi biến cố A, ta có: 0< P(A) <1

Vì 0<m<n=>0<””° -P(A) <1

n

(i) P2) =1 Vì mọi biến cố sơ cấp đồng khả năng đều thuận

lợi cho biến cố chắc chắn, nên m=n > Ø(Q) = ““=# -¡

non

{iii) P(@) =0 Vì không có biến cố sơ cấp nảo thuận lợi cho biến cố không thể, nên m =0 = P(Ø)=”?2 „2 —o

non (iv) ACB => P(A)<P(B) Vì nếu A được xác định bởi k biến

cố sơ cấp đồng khả năng thì è<j- là số biến cố sơ cấp đồng khả năng xác định B (Biến cố thuận lợi cho A thì

e Chỉ xét được cho hệ n hữu hạn các biến cố sơ cấp

e Việc xác định “đồng khả năng" không phải bao giờ cũng thực hiện được

2 ĐỊNH NGHIA THEO LOI THONG KE

a) Định nghĩa: Giả sử ta lặp đi lặp lại phép thử n lần, ta thấy biến cố A xảy ra m lần, khi đó m được gọi là tẳn số (tằn số tuyệt đối) của biến cố A

f(A) =~ được gọi là tân suất (tần số tương đối) của biến h

cố A.

Xác suất xảy ra biến cố A được định nghĩa như sau:

P(A) = lim f(A) = p

n~+0

b) Ví dụ: Trong thống kê dân số, người ta thấy xác suất bé trai sinh ra là O,B13 Vậy Tự nhiên đã bố trí các bé gái hiếm hơn các bé trai khi mới chào đời

c) Các tính chất cơ bản của xác suất:

( Với mọi biến cố A, ta có: 0< P(A) <1

Vì 0<m<n=0<“^ =ƒ(A)<1>P(A) =pe| 0,1]

n

(ii) P(O)=1 Vì biến cố chắc chắn Q luôn luôn xảy ra mỗi

khi thực hiện phép thử nên m = n

=ƒ()=“*“= “=1=P(Q) =1

non (ii) P(Ø) =0 Vì biến cố không thể Ø luôn luôn không xảy ra mỗi khi thực hiện phép thử nên m = 0

= ƒ(Ø)= - Ở =0 = P(Ø) =0

(iv) ACB = P(A) < P(B)

Giá sử thực hiện phép thử n lần, ta có tân số xảy ra A là

k thì k</- la tan số xảy ra B (vì A xảy ra thì B cũng xảy ra)

=P(A)= lim Ê < lim = P(B)

nnn noon

e_ Đối với phép thử không thể xác định được các biến cố

"đồng khả năng" - chẳng hạn con xúc xắc không cân đối hay không đồng chất Ta phải dùng tân suất và định nghĩa theo lối thống kê để tìm xác suất một biến

cổ nào đó

e Nhược điểm của định nghĩa theo lối Thống kê là phải

thực hiện một số khá lớn các phép thử mới tìm được xác suất mà điều này thường tốn thời gian, công sức

và Liền bạc

3 ĐỊNH NGHĨA THEO LỐI HÌNH HỌC

Giả sử ta có một miền O (chẳng hạn một tờ giấy) Ta đưa

ra các định nghĩa sau đây:

e Ca mién Q xem như biến cố chắc chắn

s._ ] điểm của miễn Q xem như 1 biến cố sơ cấp

e Mỗi miền con bất kỳ AcO xem như một biến cố ngẫu nhiên

e Tập rỗng Ø, không có điểm nào, xem như biến cố

Xét phép thif la ném vao mién Q mét chat diém, chang

hạn một hạt cát bé xíu, ném sao cho đừng ra ngoài Q va

khả năng rơi vào bất kỳ chỗ nào trên O@ cũng như nhau Ném trúng biến cố nào, miền con A nào đó, thì xem như biến

cố đó xảy ra Một cách tự nhiên, ta định nghĩa xác suất xảy

Các tính chất cơ bản của xác suất:

( Với mọi biến cố A, ta có: 0< P(A) <1

Vi Ac 25 05S(A) < (0) > PIA) = 24 e [9.7]

S(Q) (i) P(Q)=1 Vi PQ) = 2 21

SQ)

5(®) _

P(2)-=0 Vì P(G) =

(ii) P(Ø) ì P(Ø)= se

(iv) AcB = P(A) < P(B)

AcBo"VWceA>CeB", ttic la có S(A) - S(H)

Như vậy biến cố có xác suất bằng O vẫn có thé xay ra

Ta nói: Biến cố có xác suất bằng O là biến cố “Hầu không thể”

Nghĩa là phải hiểu:

Nếu B là biến cố không thể thì P(B) = 0

P(B) =

Còn nếu P(B) = O thi B là biến cố hầu không thể (Tức là B

chắc chắn”

Nghĩa là phải hiểu:

Nếu B là biến cố chắc chắn thì P(B) =

Còn nếu P(B) = 1 thì B là biến cố hâu chắc chắn (Tức là B

vẫn có thể không xảy ra)

Trong thực tế có thể lấy ví dụ:

Gọi B là biến cổ gặp được người có chiểu cao > 2m Theo

thống kê dân số ta có thể cho rằng P(B) = 0 Tuy nhiên vào

một ngày nào đó ta vẫn có thể gặp được người có chiêu cao >

2m (và khả năng xảy ra B càng lớn khi ta gặp càng nhiều người - tức là thực hiện phép thử càng nhiều lần)

Chú ý: Với BeO, ta có: P(B) = 0 Ta dé ý rằng nếu thực hiện

phép thử càng nhiều lần (ném chất điểm càng nhiều lần) thì

khả năng trúng điểm B càng lớn (Tức là biến cố B có khả

năng xảy ra càng cao) Nhưng nếu thực hiện phép thử 1 hay

1 vài lần thì trong thực tế có thể coi như B không xảy ra

Từ đây ta có:

Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xúc suất rất nhỏ (+ 0) thì trong thực tế có thể coi như biến cố đó không

xảu ra khi thực hiện 1 phép thử

Như vậy xác suất và một quyết định thống kê nên được

xem là một quy tắc hành động chứ không phải là một sự

chứng minh lôgic Nhờ vậy chúng ta mới dám di lai bang may

bay, vì tin rằng nó không bị rơi - Tức là xác suất bị rơi ~ 0

Dù rằng trong thực tế máy bay có thể bị rơi vì nhiễu lý do

chẳng hạn như gặp thời tiết cực xấu; bị hỏng hóc trong động

cơ; các thiết bị điện tử bị mất điểu khiển; bị tên lửa bắn nhằm; bị va chạm với máy bay khác; bị khủng bố; tổ lái bị

đột tử;

Trong thực tế, mức xác suất nào được xem là rất nhỏ ?

Điều này tùy thuộc vào ý nghĩa hệ quả khi biến cố xảy ra

Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi trong mỗi lần cất

cánh là 0,01 thì xác suất này chưa thể xem là rất nhỏ, vì hệ quả của việc máy bay rơi quá lớn, nên không thể chấp nhận

cứ 100 lần cất cánh thì có khoảng 1 lần rơi ! Nhưng nếu xác

suất một chuyến xe khởi hành chậm là 0,01 thì có thể xem

xác suất này là rất nhỏ Vì lý do trên nên mức xác suất rất

nhỏ này được gọi là mức ú nghĩa Nếu biến cố xảy ra có hậu

quả cảng lớn thì mức ý nghĩa nên lấy càng nhỏ, tức là khả nang xảy ra biến cố đó càng thấp

Nếu ø là mức ý nghĩa thì B = 1: là độ tỉn cậu Dựa theo nguyên lý xác suất nhỏ ta nói rằng: "Biến cố A có xác suất

rất nhỏ (tức là: P(A) < œ) sẽ không xảy ra trên ‘thie Lế - trong

1 phép thử” Độ tin cậy của kết luận trên là ÿ, vì tính đúng đắn của kết luận chỉ xảy ra trong 100.B(%) trường hợp, có: œ=7-B khả năng kết luận không đúng - tức là biến cố A vẫn xảy ra

Lập luận tương tự như trên, ta có:

Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác suốt rất lớn

(~ 1) thì trong thực tế có thể coi như biến cố đó chắc chắn

xảu ra khi thực hiện 1 phép thử

Nếu P(A) = 0,99999 thì xem như hoàn toàn chính xác là

A xảy ra

Nếu P(A) = 0,999 thì xem như chính xác là A xảy ra

Nếu P(A) = 0,99 thì xem như rất chắc chắn là A xảy ra Nếu P(A) = 0,95 thì xem như chắc chắn là A xảy ra.

Néu P(A) = 0,9 thì xem như có chiêu hướng chắc chắn là

A xảy ra

Thông thường trong hoạt động kinh tế nói riêng và trong

xã hội nói chung người ta hay sử dụng mức ý nghĩa 1% hay 5%, và tương ứng với nó là độ tin cậy 99% hay 95%

Ví dụ 1: (Bài toán hai người gặp nhau)

A và B hẹn gặp nhau tại một quán cafe trong khoảng thời

gian từ 8 giờ đến 9 giờ Mỗi người có thể đến chỗ hẹn bất kỳ

thời điểm nào trong khoảng thời gian trên và giao hẹn người

nao đến trước sẽ chờ người kia, quá 20 phút thì đi Tính xác suất 2 người gặp được nhau

ysxt+20, nếu y>x

Biểu diễn (x,y) trong hệ trục tọa độ vuông góc với đơn vị

Miễn biểu diễn của |z- z| <20 (miễn G=G,\t¿G;, - miễn

2 người gặp được nhau) là vùng có gạch chéo trên đồ thị Còn

miễn biểu diễn của: O < x < 60, 0 < y < 60 (miền Q - miễn 2 © người có thể đến chỗ hẹn) là vùng hình vuông có cạnh là 60

Ta có: §(Q) =60? = 360, S(G) = 602 -2x ; - 402 = 200

Suy ra xác suất hai người gặp được nhau là:

_P(@)- 5G) - 200 _2„ 0,5556

Vi du 2: (Bai toan tao hình tam giác)

Lấy 2 điểm bất kỳ trên 1 đoạn thẳng có chiểu dài là 1

(chẳng hạn đơn vị là mét) 2 điểm này chia đoạn thẳng thành

3 phân Tìm xác suất dựng được 1 tam giác từ 3 phản đoạn

thẳng thu được

Giải:

Kí hiệu đoạn thẳng đã cho là đoạn L9 i) trên trục số

Goi x, y lần lượt là chiều dài của 2 điểm được chọn Ta co; 0< x<1,0<y<l

Biểu diễn (x,y) lên hệ trục tọa độ vuông góc, ta thay (x,y)

là điểm bất kỳ trên hình vuông có cạnh là 1 (miễn ©)

=8()=1

Để tạo thành 1 tam giác thì điểu kiện cần và đủ là chiểu

đài mỗi cạnh phải nhỏ hơn tổng chiều dài 2 cạnh kia

* Trường hợp x < y Khi đó chiều dài các đoạn như sau:

* Trường hợp y < x Lập luận tương tự, ta có (x,y) tạo thành

một tam giác phải nằm trong miễn Ag

Tóm lại biến cố (x,y) tạo thành 1 tam giác phải thuộc miền A = A,t2A; (Miễn gạch chéo trên đồ thị)

=44)= 74797

Ví dụ 3: (Bài toán Buffon)

Trên một mặt phẳng (vô hạn) ta vẽ một họ (cũng vô hạn) các đường song song Khoảng cách giữa 2 đường nằm cạnh

nhau là h Trên mặt phẳng này ta vẽ một đoạn thẳng bất kỳ

có chiểu dài h (hay tung một đoạn thẳng - một cây đũa chẳng hạn, có chiều dài là h) Hay tính xác suất để đoạn thẳng cắt ít nhất 1 trong các đường thẳng của họ đó

Đặt y là khoảng cách từ điểm mút trên của đoạn thẳng

đến đường thẳng gần nhất ở phía dưới (Hình trên)

x là góc giữa đoạn thẳng với tia song song với các

đường thẳng của ho, được ké từ điểm mút trên của đoạn thẳng

Để đoạn thẳng cắt ít nhất 1 trong các đường thẳng của

họ, điều kiện cần và đủ là: y=h hay y<h.sinx

Phép thử: Vẽ đoạn thẳng bất kỳ có chiều dài h © Chọn diém (x,y) ngẫu nhiên trên hình chữ nhật: 0<x<x, 0<y<h

Các điểm (x,y) thỏa điểu kiện y<h.sinx la miễn A (Miễn

Trường hợp y = h (với x= > khi đó đoạn thẳng cất họ tại

2 điểm - Ta có diện tích là 0O

Tr

S(A) = fa sin xdx = —h.cos x" = 2h

0 S(A) _ 2h 2

(A) = s(Q) nth ot

4 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO LỐI TIÊN ĐỀ

I_ Tập hợp O z Ø

I_ Họ c# là o- dai số các tập con của ©, có nghĩa là:

1 QEecA

2 NéuAe ce thi A=Q\Ac ek

3 Nếu A¡, Aa, củ € A thi Ua, ect

[Ú^)- Š P(A)

Ae c# thì A được gọi là biến cố, P(A) được gọi là xác suất

của A Bộ (Q,cZ, P) được gọi là không gian xác suất

Định nghĩa xác suất theo lối tiên để, còn gọi là “Định

nghĩa xác suất bằng cách kể ra các tính chất của nó”, do

Kolmogorov (nhà toán học Nga) đưa ra vào năm 1933, đã tạo nên một cuộc “cách mạng” trong môn Xác suất Tuy nhiên ta không đi sâu vào định nghĩa này

5 Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT

Đây là con số đo khả năng xảy ra của một biến cố, nó đo

mức độ tin chắc hay mức đô thường xuuên xảu ra của 1 biến cố

trong phép thử

Chang han 2 xạ thủ A và B cùng bắn bia Xác suất trúng

bia của A lớn hơn B thì có nghĩa là A thường xuyên bắn trúng