Chủ đề nâng cao: Biến đổi biểu thức

Vậy trong trờng hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên... e, Tìm các giá trị nguyên của x để G nhận giá trị nguyên.. e, Tìm các giá trị nguyên của x đ

Chủ đề nâng cao Một sô bài toán về biến đổi biểu thức

rút gọn biểu thức Tiết 1: Hoạt động 1, 2

Tiết 2: Hoạt động 3, 4

Tiết 3: Hoạt động 5, 6, 7

Hoạt động 1: Bài tập rút gọn dựa vào các hằng đẳng thức

a, ( ) (2 )2

? Biểu thức trên đợc cho ở dạng nào

? Cách giải quyết

b, ( )2

c, 5− 9 4 5−

e, G = 4+ 7 − 4− 7

= 2 − 2 + 2 3 +

= 2 - 2 + 2 +3 ( vì 2 > 2)

= 5

- Tổng các căn bậc hai

- Dùng hằng đẳng thức biến đổi biểu thức về dạng tổng các căn thức đồng dạng

= 2 3 2 + − 3

= 2 3 2 + − 3 ( vì 2 > 3 )

= 3 2 +

= 5 2 − − 5

= 5 −( 5 2 − ) ( vì 5 > 2 )

= 5 − 5 2 +

= 2

= 6 2 4 2 3+ − − 6 2 4 2 3− +

= 6 2 3 1 + − − 6 2 3 1 − +

= 6 2 3 2 + − − 6 2 3 2 − − ( vì 3 > 1 )

= ( ) (2 )2

= 3 1 + − 3 1 −

= 3 1 + − 3 1 +

= 2

? Biểu thức này có gì khác các biểu

thức ở trên

? Làm thế nào để biến đổi biểu thức

về dạng hằng đẳng thức 2

? Tính giá trị biểu thức G

- không thể biến đổi ngay về dạng hằng đẳng thức

- Nhân cả hai vế của biểu thức với

= ( ) (2 )2

= 7 1 + − 7 1 −

= 7 1 + −( 7 1 − ) ( vì 7 > 1 )

= 7 1 + − 7 1 +

= 2

⇒ G = 2 2

2 = Hoạt động 2: Bài tập rút gọn không phải quy đồng mẫu

? Rút gọn biểu thức

a, A = 3 6

4

x

−

−

b, D = 9 (4 2)( 3)

x x

−

= 3

2

x

x+

3

x

−

( )2

3

x

−

=5 3

3

x x

−

− Hoạt động 3: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có hai mẫu, thông thờng

mẫu chung là tích của hai mẫu

? Rút gọn biểu thức

A

với a≥ 0; a≠ 9

( )2

2

a

−

:

B

= − − ữ    − − − ữữ 

với a> 0; a≠ 1; a≠ 4

a

−

= 4 36

a a

+

−

= ( )

a a

+

−

= 9

9

a a

+

−

( ) ( ( ) ( )( ) )

:

= ( 11) (: 12)( 4 1)

= ( 1 1).( 1)(3 2)

a a

−

= 2

3

a a

−

Hoạt động 4: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có hai mẫu, thông thờng

mẫu chung một trong hai mẫu

? Rút gọn biểu thức

1

x

x

với x> 0; x≠ 1

9

x

với x> 0; x≠ 9

A=

x

A = (. 11) (: 1)(1 2 1)

A =

.

1 1

x x

+

−

B =

B = ( ) (3 3 )(3 )9 3: 1( ( 3) 3)

B = (33 )(3 9) :3 (1 3) 3

B = (3 3 )(39 ) (: 2 43)

.

=

Hoạt động 5: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có ba mẫu, thông thờng

mẫu chung một trong ba mẫu

? Rút gọn biểu thức

x

A

+

với x≥ 0; x≠ 4

C

với a≥ 0 và a≠ 16

A

=

A

=

2

A

A

x

=

−

2 4

2 4

C

2 4

2 4

C

2

2 4

C

=

2 4

C

=

2 4

C

=

( 12 32 4)( ) ( 3 4(2 4)( ) ) 3 2

a a

C

a

−

−

+

Hoạt động 6: Củng cố

? Các bớc rút gọn biểu thức * Các bớc rút gọn:

- Nêu ĐKXĐ

? Khi rút gọn biểu thức cần chú ý

điều gì

- Tìm MTC

- Quy đồng

- Cộng ( trừ) các phân thức cùng mẫu

- Rút gọn kết quả

* Chú ý: Đổi dấu của hạng tử nếu trớc ngoặc

có dấu trừ

Hoạt động 7: Hớng dẫn về nhà

? Rút gọn biểu thức

: 4

D

x

= + ữ ữ  − ữữ

−

với x> 0; x≠ 4

F

với x≥ 0 và 1

9

x≠

Đáp án:

4 3

x D

x

=

−

3 2

x F x

−

= +

Các bài toán liên quan Tiết 4: Hoạt động 1, 2

Tiết 5: Hoạt động 3, 4

Tiết 6: Hoạt động 5, 6

Hoạt động 1: Bài toán tìm điều kiện xác định

? Phơng pháp làm bài toán này

Cho biểu thức

3

D

? Với giá trị nào của x thì biểu thức có

nghĩa

? Giải điều kiện các mẫu thức khác 0

* Cách làm:

- Giải điều kiện các mẫu thức khác 0

- Giải điều kiện các căn thức có nghĩa Kết hợp 2 điều kiện trên đó chính là điều kiện xác định của biểu thức

Ta có:

x− ≠ ⇔ x ≠ ⇔ ≠x

2

x+ x+ ≠ ⇔ x+  + ≠

với mọi x≥ 0

? Giải điều kiện các căn thức có nghĩa

? Vậy giá trị nào của x thì biểu thức có

nghĩa

? Tìm ĐKX Đ của biểu thức

A

x − ≠ ⇔ x ≠ ⇔ ≠x

Ta có:

x có nghĩa ⇔ ≥x 0

Vậy ĐKX Đ là x≥ 0;x≠ 1

Giải điều kiện các mẫu thức khác 0

2 a− ≠ ⇔ 6 0 a ≠ ⇔ ≠ 3 a 9

2 a+ ≠ 6 0 với mọi a≥ 0

Giải điều kiện các căn thức có nghĩa

a có nghĩa ⇔ ≥a 0

Vậy ĐKX Đ là a≥ 0; a≠ 9 Hoạt động 2: Bài tập Tính giá trị biểu thức

? Phơng pháp làm bài tập này

? Tính giá trị biểu thức 1

1

B x

= + với

9

10

x=

? Tính giá trị biểu thức P x 4 x 4

x

= với x= − 4 2 3

* Cách làm:

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn

- Rút gọn kết quả

- Kết luận

Thay 9

10

x= vào biểu thức ta đợc

10 3 10

1 10

+ + Vậy khi 9

10

x= thì B= − 10 3 10

Ta có

( )2

Thay x= − 4 2 3 vào biểu thức P ta đợc:

2 2

3 1

=

−

4 2 3 4 3 1 4

3 1

=

−

4 2 3 4 3 4 4

3 1

− (vì 3 1> )

3 3 5

Vậy khi x= − 4 2 3 thì P= 3 3 5 +

Hoạt động 3: Bài tập liên quan đến giải phơng trình

? Các bớc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu

? Cho biểu thức 3

x B

x

−

= + v ới x≥0; 9

x≠ Tìm x để 5

6

5 6

6

x x

+

ĐK: x≥ 0; x≠ 9

5 2

x

25 4

x

⇔ = (TMĐK)

Vậy 5

6

4

x

⇔ = Hoạt động 4: Bài tập liên quan đến giải bất phơng trình

Cho biểu thức 1

3

x F x

+

=

−

v ới x≥ 0; x≠ 9

? Tìm x để F < 1

Cho biểu thức 3

3

B x

−

= + v ới x≥0

? Tìm x để 1

2

B<−

Ta có F < 1 1 1

3

x x

+

⇔ <

−

1

1 0 3

x x

+

⇔ − <

−

0 3

x

−

4 0 3

x

⇔ <

−

3 0

x

⇔ − < vì 4 > 0 9

x

⇔ <

Kết hợp điều kiện Vậy: 0 ≤ <x 9

Ta có 1

2

2 3

x

⇔ <

+

2 3

x

⇔ >

+

3 6

x

⇔ + < vì x+ > 3 0 v ới mọix≥ 0

9

x

⇔ <

Kết hợp điều kiện Vậy: 0 ≤ <x 9

Hoạt động 5: Bài tập tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên Tìm số nguyên của x để biểu thức

1

3

x

A

x

+

=

− có giá trị nguyên

? Một biểu thức có giá trị nguyên khi nào Tử thức có thể chia hết cho mẫu thức

Ta biến đổi:

1

A

Để 1 4

3

x

+

− nhận giá trị nguyên thì

4 3

x− phải có giá trị nguyên

Do x nguyên nên x là số vô tỉ hoặc là

số nguyên

• Với x là số vô tỉ thì x− 3 là số vô tỉ nên 4

3

x− không thể là số nguyên Vậy trong trờng hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên

• Với x là số nguyên thì x− 3 là

số nguyên nên để 4

3

x− là số nguyên ta phải có x− 3 là ớc của 4

Mặt khác theo định nghĩa xăn bậc hai thì 0

x≥ và x≥ 0

Vậy giá trị nguyên cần tìm phải không

âm và thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và

3

x− là ớc của 4

Ta thấy 4 có các ớc số là ± ± ± 1; 2; 4

Với ớc là 4, ta có x− 3= 4⇒ =x 49 Với ớc là - 4, ta có x− 3= - 4, không tồn tại x

Với ớc là 2, ta có x− 3= 2⇒ =x 25 Với ớc là - 2, ta có x− 3= - 2⇒ =x 1 Với ớc là 1, ta có x− 3= 1⇒ =x 16 Với ớc là - 1, ta có x− 3= - 1⇒ =x 4 Vậy các giá trị nguyên cần tìm của x là

x ∈ {1; 4;16;25; 49}

Hoạt động 6: Hớng dẫn về nhà

Bài 1: Cho biểu thức

4

G

x

−

với x≥ 0 và x≠ 4

a, Rút gọn biểu thức G

b, Tính giá trị của biểu thức G khi x =

121

c, Tìm giá trị của x để 1

2

G>

d, Tìm giá trị của x để G= 3

e, Tìm các giá trị nguyên của x để G

nhận giá trị nguyên

Bài 2: Cho biểu thức

F

với x≥ 0 và 1

9

x≠

a, Rút gọn biểu thức F

b, Tính giá trị của biểu thức F khi x =

121

c, Tìm giá trị của x để 1

2

F> .

d, Tìm giá trị của x để 5

6

F=

e, Tìm các giá trị nguyên của x để F nhận

giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức

x A

+

0

x≥ ; x≠ 4

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị của biểu thức A khi x =

121

c, Tìm giá trị của x để 6

5

A>

d, Tìm giá trị của x để 3

2

A=

e, Tìm các giá trị nguyên của x để A

nhận giá trị nguyên

Đáp số:

Bài 1:

a, 3

2

x G

x

= +

b, 33

13

G=

25

x> và x≠ 4

d, Không có giá trị của x thỏa mãn

e, x = 0, x = 1, x = 16

Bài 2:

2

x F x

−

= +

b, 8

13

F =

c, x > 25

d, x = 784

e, x = 9

Bài 3:

2

x A x

+

=

−

b, 4

3

A=

c, 0 ≤ <x 289 và x≠ 4

d, x = 64

e, x =1, x = 9, x = 25