b Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức B có giá trị nguyên.. Từ N vẽ NE vuông góc AB, NF vuông góc AC E thuộc AB, F thuộc AC.. Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam giác
Trang 1ĐỀ THI VÀO 10
Câu 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức 21 2 1
1
B
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức B có giá trị nguyên.
Câu 2:(1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau: 3 3
x y
x y
+ =
− =
Câu 3:(2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 −2x− =3 0
b) Cho phương trình bậc hai: x2 −2x n+ =0 (n là tham số).
Tìm n để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 và thoả mãn: 2 2
1 2 8
x + =x
Câu 4:(1,0 điểm) Cho các số thực x, y thoả mãn: x y+ =2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q x= +3 y3 +x2 +y2
Câu 5:(3,5 điểm) Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, N là điểm bất kì trên cạnh
BC (N khác B, C) Từ N vẽ NE vuông góc AB, NF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC) a) Chứng minh: A, E, N, H, F cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi O là trung điểm của AN Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam giác đều,
từ đó suy ra OH ⊥EF
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi N chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a
HÕT
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013
Khóa ngày 04 - 07 - 2012
Môn: TOÁN
1a
Cho biểu thức 21 2 1
1
B
1 2 1
1
x x B
x x
+ + −
=
( 3 1)
x
x x
=
3
1
x
=
1b
3
1
B
x
=
− với x≠0 và x≠1 0,25
B có giá trị nguyên khi x - 1 là ước nguyên của 3 0,25
1 1 0 (lo¹i)
1 1 2
1 3 4
− = − ⇔ = −
− = − ⇔ =
⇒
− = ⇔ =
− = ⇔ =
0,25
Vậy biểu thức B có giá trị nguyên khi x = -2, x = 2 và x = 4 0,25
3 3 (I)
+ =
− =
x y
x y
Cộng từng vế hai phương trình của (I) ta được:
5x=10 0,5 ⇔ =x 2 0,25
Do đó, ta có ( ) 2 2
I
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y; ) (= 2; 3− ) 0,25
Lưu ý: Học sinh chỉ viết kết quả thì cho 0,75 điểm
3a
Phương trình: x2 −2x− =3 0
Ta có a b c− + = − − − =1 ( )2 3 0. 0,5 Phương trình có hai nghiệm x1= −1;x2=3 0,5
Lưu ý: Học sinh chỉ viết kết quả thì cho 0,5 điểm
3b Phương trình x2 −2x n+ =0 có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi 0,25
Trang 3( )2 ' 0 1 n 0 n 1
∆ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤
Theo định li Viet x1 + =x2 2, x x1 2 =n 0,25
2 2
2
x x 8 x x 2x x 8
2 2n 8
n 2 (tho¶ m· n)
⇔ = −
0,25
0,25
Vậy với n= −2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 và thoả mãn:
2 2
1 2 8
x + =x
Ta có ( )3 ( ) ( )2
Q= +x y − xy x y+ + +x y − xy
12 8 ( = − xy do x y+ =2)
( )
2
12 8 2
8 16 12
0,25
0,25
( )2
8 x 1 4 4, x
=4
Q khi và chỉ khi
2 ( 1) 0
1 2
x
x y
x y
− =
⇔ = =
+ =
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 4 khi x y= =1
0,25
Hình vẽ
0,5
A
H N
E
F O
I
Trang 4Ta có: NE AB⊥ ,NF AC⊥ , AH BC⊥ 0,25
Nên: E, H, F cùng nhìn đoạn AN dưới một góc vuông 0,5
Vậy A, E, N, H, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AN 0,25
5b
Xét đường tròn đường kính AN, tâm O
Ta có OE = OH = OF nên ∆EOH, ∆HOF cân tại O 0,25
Suy ra ∆EOH, HOF∆ đều ⇒OE EH HF FO = = = 0,25
Do đó tứ giác OEHF là hình thoi ⇒OH EF⊥ 0,25
5c
Gọi I là giao điểm của OH và EF
Mà ≥ = 3
2
a
Vậy giá trị nhỏ nhất EF là 3
4
a
khi N trùng H 0,25