Kinh nghiệm CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức A.. PHẦN MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những dạng toỏn hay và khú đối với học sinh trong quỏ trỡnh học tập cũng như trong cỏc kỳ thi,

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

A PHẦN MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một trong những dạng toỏn hay và khú đối với học sinh

trong quỏ trỡnh học tập cũng như trong cỏc kỳ thi, trước hết là kỳ thi đại học mà

hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua Ngoài ra bất đẳng thức cũng là một

dạng thường gặp trong cỏc kỳ thi học sinh giỏi toỏn ở cỏc cấp: Tỉnh, Quốc gia,

Olympic khu vực và Olympic quốc tế

Để giỳp cỏc em cú thờm một số kinh nghiệm trong quỏ trỡnh học tập nhằm

nắm vững cỏc phương phỏp chứng minh bất đẳng thức đồng thời sử dụng linh

hoạt hơn trong việc giải cỏc bài toỏn về bất đẳng thức, tụi quyết định viết đề tài

này nhằm chia sẽ cựng đồng nghiệp, học sinh và độc giả một số phương phỏp,

kinh nghiệm giải bài toỏn bất đẳng thức

Đề tài gồm 2 phần cơ bản:

Phần I: Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức

Phần II: Bất đẳng thức lượng giỏc trong tam giỏc

Do khuụn khổ của đề tài, ở mỗi phần tụi xin miễn nhắc lại cỏc kiến thức

cơ bản về bất đẳng thức vỡ những kiến thức này được trỡnh bày chi tiết trong

sỏch giỏo khoa trung học phổ thụng, mà chỉ tập trung vào cỏc phương phỏp biến

đổi đồng thời nờu một số vớ dụ minh họa

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

c c b

b b a

a

Giải: Vỡ a,b,c là 3 số dương nờn ta cú

c b a

c a

c

c c b a

b c

b

b c b

c c b

b b a

Mặt khỏc ta cú

c b a

c b a c

c c b a

b a c b

b c b

a

c a

b b a a

Vớ dụ 2: CM xR ta luụn cú

3

2

2 5

8 x x x

x

Giải:

R x x

x x

x x

x x x x x

x x

1 3

1 3

1 2

3 2

3

1 3

1 3

1 2

3 2 4

3 4 2 2 3

2

2 2

4

2 2 4

8 2

5 8

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Do đú

3

2

2 5

8 x x  x

Vớ dụ 3: CMR

N n n

1

3 2

1 2

1

1 1 ) 1

(

N k k

k k

1 1 1

1 1

3

1 2

1 2

1 1 ) 1 (

1

n n

2 5 11

59 13

Giải: TXĐ: xR

Gọi

4 2 3

2 5

x

0 2 4 2 ) 5 3 ( P x2  Px P  (*)

Để (*) cú nghiệm x thỡ

11

59 13 11

59 13

0 10 26 11

0 ) 5 3 )(

2 4 ( 0

2

2 '

P P

P

Vậy

11

59 13 4 2 3

2 5 11

Dấu đt bờn trỏi xảy ra

121

) 59 13 (

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

121

) 59 13 (

Vớ dụ 2: CMR nếu 0<b<a thỡ

b

b a b

a a

f' ( )  1 Theo định lớ Lagrange tồn tại x0 với b<x0<a sao cho

a b

a f b f x

f





 ( ) ( ))

(

' 0

b

a x

b a b

a

b a

ln ln 1

0 0

1 1 1

f(x) là một hàm số liờn tục và cú đạo hàm trờn R

Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 và f’(x) là một hàm bậc 3 nờn tồn tại y1,y2,y3 sao cho

d y c y

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

) (

2 ) (

4

) (

4

1 3 3 2 2

1

3 2 1

cd bd bc ad ac ab y

y y y y

y

bcd abd acd abc y

3 3 2 2

y y y y y

3 abcabdacdbcd  abacad bcbdcd



IV Phương phỏp quy nạp

Phương phỏp này được ỏp dụng khi BĐT phụ thuộc 1 tham số nN, với

cỏc bước chứng minh như sau:

1 2

1 2

6

5 4

3 2

n

Giải: + Khi n=2 ta cú   

7

1 8

3

+ Giả sử BĐT đỳng với n=k tức là

1 3

1 2

1 2

6

5 4

3 2

20 4 19

) 4 8 4 )(

1 3 ( ) 4 3 )(

1 4 4

(

) 2 2 (

1 3 4 3 ).

1 2

(

4 3

1 1

) 1 ( 3

1 2

2

1 2 1 3

1

2 2

k

k k k

k k

k

k k

k k

k k

k

k k

Đến đõy ta thấy (*) đỳng với n=k+1

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Vậy theo giả thiết quy nạp (*) đỳng vớin 2

Vớ dụ 2: Cho x>0 CMR với n 1 ta cú

!

! 3

! 2 1

3 2

n

x x

x x e

! 2 1

3 2

k

x x

x x e

! 3

! 2 1

1 3

x x e

k x

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta cú:

0

!

! 3

! 2 1

3 2

x x e

k x

Như vậy ta cú

 x

y k

y y

y y e

k y

, 0

!

! 3

! 2 1

3 2

+Vậy theo nguyờn lớ quy nạp ta cú BĐT đỳng với n  1

V Sử dụng phương phỏp lượng giỏc húa

Để sử dụng phương phỏp lượng giỏc húa, trước hết học sinh phải nắm

vững cỏc tớnh chất, cụng thức và cỏc phộp biến đổi lượng giỏc Trờn cơ sở đú,

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

trong một số bài toỏn nếu đặt cỏc giỏ trị ẩn thớch hợp qua cỏc hàm số lượng giỏc

thỡ rất thuận tiện

Vớ dụ 1: CMR x, y ta cú:

4

1 1

( ) 1 (

) 1

)(

( 4

1

2

) 2 2 2

2 2 2

y x y

x

Ta cú:

dpcm A

b

tg tg

tg tg tg

tg y

x

y x y

x A

)22sin(

)22sin(

2

1

)cos(

)cos(

)sin(

)sin(

)sinsin

cos)(cos

cossin

cos(sin

)1

()1

(

).1

)(

(1

()1(

)1

)(

(

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 )

2 2

2

2 2 2

1 (

) 1 )(

( 2

xy y

2 2

d c

b a

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Vớ dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực bất kỡ CM

2 2 2

2 2

2

2 )

( )

Chỳ ý: Phương phỏp vectơ được ỏp dụng trong cỏc trường hợp ta cú thể biểu

diễn cỏc thành phần của bđt thành đồ dài cỏc vectơ tuy nhiờn nú chỉ ỏp dụng

thường thi khi khụng cú sự ràng buộc nào của cỏc biờn cũn nếu cú sự ràng buộc

thỡ ta thường dựng phương phỏp tọa độ

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Ta cú

1 ) 1 ( ) 1 ( )

1

(

1 1 60 sin 2

1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 60

x

x z z y y x

S S

2 2

2 2

3 2 3

Giải: Dựng hỡnh như hỡnh vẽ sao cho:

OA=a ; OB=b ; OC=c

0 0

2 2

2 2

3 2 3

) ( 2 1

2 2

2 2

d c d

c

b a b

a

) 1 2 ( ) ( ) ( )

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

2 CMR x ta cú

3 1 ) 1 3 ( 2 1 ) 1 3 ( 2 1 2

0 2

0 8 2

x y

y x

y x

4 1 1

a

2 1 2

Vớ dụ 1 : Cho a, b, c là 3 số dương tựy ý

CMRxR ta cú

x x x x x

x

c b a b

ca a

bc c

x

x x x

x

x x x

x

a bc

ab ca c

ab b

ca

c ab

ca bc b

ca a

bc

b ca

bc ab a

bc c

ab

2

2

2

2

2

2

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Cộng vế theo vế ta cú ta cú đpcm

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x=0

Vớ dụ 2 : Với a, b, c dương CM

ca bc ab a

c c

b b

3

2 3

3

2 3

3

2 2

2 2

2 2

c ca a

c ca a

c

b bc c

b bc

c

b

a ab b

a ab

3 3 3

c b a ca bc ab a

c c

b b

a        

Mặt khỏc ta cú

ca bc ab c b a

a c c b b a bc

ac ab c b a

2 2

2 2

2 2

0 ) ( ) ( ) ( 2 1

Thay vào (1) suy ra đpcm Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

c Một số dạng toỏn cơ bản sử dụng BĐT Cauchy tổng quỏt để c/m

1) Cho n số thực dương a1,a2, ,a n thừa món

0 (

1

1 1

2 1

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Giải: ỏp dụng BĐT Cauchy cho mm1m2  m n số ta cú:

) 1 (

2 1 2

2 1

m n m m n

n

n

a a a m a m a

m a

Lại ỏp dụng cho m số dương ta cú

) 2 (

2 1

2 1 2

2 1

1

n m m n

n

n

a a a

m a

m a

m a

a

m a

m a

1

1

2 2 1

1 2 2

2 1 1

m a

m a

m m a m a

m a m

Tương tự cho cỏc phõn thức cũn lại cuối cựng cộng cỏc bđt dạng như (*)

lại vế theo vế ta cú

n n

n n

n

k k

m m a m a

m a m a

m a

m

a

1

1

1

1 2

1 2

1 1 2

2 2

2 1 1 1

2 CMR

3 abc

c b a a

c c

b b

a    Tổng quỏt

n

n n k

k k

a a a

a a

a a

a a

a a

2 1 2

1 2

1 2

0 ,

b a

b a

Tỡm MIN

ab ab

a b

a b

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Với quy ước ai=0 thỡ bi=0

Chứng minh:

+Nếu 2 2

2 2

a    =0 suy ra BĐT luụn luụn đỳng

+Nếu 2 2

2 2

a    >0 Xột tam thức

)

)(

( )

(

0 0

)

(

)

( )

( 2 )

( )

(

) (

) (

) (

)

(

2 2

2 2 1 2 2

2 2 1 2 2

2 1 1

'

2 2

2 2 1 2

2 1 1 2 2 2

2 2 1

2 2

2 2 2 1 1

n n

n n

n n

n n

n n

b b

b a a

a b

a b

a b a

R x x

f

b b

b x b a b

a b a x

a a

a x

f

b x a b

x a b

x a x

2 1 2

1 3

1 2 2

x y

1 3

2 1 2

y

x y x

Vớ dụ 2: a) Cho n số thực a1,a2, ,a n và n số dương b1,b2, ,b n

n n n

n

b b

b

a a

a b

a b

a b

2 2

1 2

2

2 2 1

2 1

b) CMR

0 , 1 2 1

1 2

2 2

Giải: a) Áp dụng BĐT BCS cho 2 bộ số dương

a b

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

)

(

)

(

)

(

2 1

2 2

1 2

2

2 2 1

2 1

2 1 2

2

2 2 1

2 1 2 2

1

n n n

n

n n

n n

b b

b

a a

a b

a b

a b

a

b b

b b

a b

a b

a a

a a

2 1

1 2

2 2

2 2

2

ab b a a b

b a ab

b a

b a b

Vớ dụ 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c là 3 số dương

) (a b c a

c c

) (

) (

c b a a

c c

b b

a

a

c c

b b

a ca bc ab a

c ca c

b bc b

a ab c

b bc b

b a C b

a A

0

) (

Ta tỡm cỏch c/m B khụng lớn hơn tổng T của một số phần tử của chuỗi

thỡ BT  A (cỏch ngắt chuỗi dương)

b) Nếu đưa được B về dạng

(*) )

y x C y

x B

Ta tỡm cỏch đỏnh giỏ mỗi số hạng của chuỗi (*) khụng lớn hơn cỏc biểu

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Vớ dụ 1: Nếu x  1 và n nguyờn, n>1 thỡ

n n n

x

x) ( 1 ) 2 1

n i

n n

n n

n

x x

C x

x x

x

1

) 1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( 2

Vỡ x  1 nờn ( 1  )  ( 1  )  0   1 , 2 ,  1

n i

x

x

x) ( 1 ) 1

(

Vớ dụ 2: CMR m nguyờn dương, m2 ta cú:

) 1 ( 1 1

1 1

1 (

1 )

1 ( 3

) 1 2 )(

1 2 ( )

1 (

) 1 2 ( 1

1 2

3 3 1 4

2 3

2 2

2 2

2 2

m

m m

m m

m m m

m

m m

đpcm

Vớ dụ 3: Nếu n là số tự nhiờn lớn hơn 1 CM

n n

1 

Giải: Vỡ  1 n  1

n

n Đặt n n  1 x(x 0 ) Lỳc đú ta cú

n

n n

x

n

x n x x n n n

x x

n n nx x

n

n

n n

2 1

2 1

1

2 2

2

) 1 ( 1

2

) 1 ( 1

2 Sử dụng phương phỏp phõn chia

a) Nếu hàm số biến thiờn phức tạp trong tập xỏc định ta chia tập xỏc định D

thành cỏc tập con D1, D2,….sao cho việc tỡm cực trị của hàm số trờn cỏc tập con

dễ dàng hơn

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

b) Nếu tớnh chất của hàm thay đổi cả trờn cỏc tập con thỡ ta phõn tớch hàm

thành tổng của cỏc hàm đơn giản hơn để tỡm cực trị của cỏc hàm thành phần

Vớ dụ 1: Tỡm Max của F(x,y)  x2002y( 4 x y) với x,y là cỏc số thực thừa món

y x y x

12002

501

x x

'

1 ) ( 4003 2

'  x

Vậy MinF(x)  1 x2001 , 2002

Vớ dụ 3: Tỡm MinAx(yz) z(x y) trong đú x, y, z là cỏc số thực thừa món

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

2 0

) (xyz 2  x2y2z2 A1 A1 

z y x

z y x

x

z x

y

(2)

12(1)

a c z c b

c b y b a

b a x

5 ) ( ) ( ) (

) 1 ( 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

a c c b

c b b a

b a

a c

a c c

b

c b b

a

b a

4

1 )

( ) ( )

b

bc b

a

ab

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Cộng (2) và (3) rồi biến đổi ta cú:

4

9 ) ( ) ( )

3 3 3

3 3 3

3 3

a c c b

c b b

a

b a

Với một số mối quan hệ như trờn ta cú nhiều bđt Vỡ vậy trong c/m cần

sử dụng khộo lộo quan hệ đú

Phần II: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

I Sự liờn quan giữa cỏc bất đẳng thức trong tam giỏc:

Trong quỏ trỡnh chứng minh cỏc BĐT trong tam giỏc, bằng cỏc phộp biến

đổi tương đương ta cú thể tỡm được mối quan hệ mật thiết từ những bất đẳng

thức cú vẽ hoàn toàn khỏc nhau

Vớ dụ 1: Xột BĐT

8 ) )(

)(

(pa pb pc  abc (1) trong đú a ,,b c là độ dài 3 cạnh 1 tam giỏc ; plà nửa chu vi

CM: Theo BĐT Cauchy ta cú

4 4

) (

) )(

(

4 4

) (

) )(

(

4 4

) (

) )(

(

2 2

2 2

2 2

b a p c p a p c p

a c p b p c p b p

c b p a p b p a p

8 4

8

8 ) )(

)(

( )

1

(

2

r R

abc p R

abc pr abc

p S

abc p c p b p a p p

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

) ( 2 2

1 1 2

3 1 cos cos

cos

2

sin 2

sin 2 sin 4 2

cos 2

cos 2 cos 4

sin sin sin 2 sin

sin sin

sin sin sin

2

2 sin

sin

sin

2

sin sin sin 2 sin

B A

R

r

C B A C

B A

C B A C

B A

C B A R

r

r c b a C B A

R

pr C B A R C

cosA B C là BĐT cơ bản)

Tiếp tục biến đổi theo hướng khỏc :

) 3 (

8 4

8 )

1

(

2

2 2

c b a R

abc

abc p R

abc abc

p S

sin sin

sin sin

cos

1 2

sin 2

sin 2 sin 8

2

cos 2

cos 2 cos sin

sin sin )

A

C B A

C B A C

B A

Suy ra đpcm

Tiếp tục biến đổi (1) :

) 5 ( 4

1 4

1 1 1 1

1 )

3 ( )

1

(

2 2

2 2

2 2

R

S h h h h h h

R S

h h h h h h R ab ca bc

R abc

c b a

a c c b b a

a c c b b a

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

(6) là BĐT liờn quan đến bỏn kớnh đường trũn bàng tiếp và đường cao

Từ cỏc biến đổi ta thấy cỏc BĐT sau là tương đương :

8 ) )(

C B

A C

) (

2 a b b c c a

a c c b b

Túm lại, giữa cỏc BĐT tam giỏc trụng rất khỏc nhau nhưng lại cú một mối

quan hệ tương đương hoặc hệ quả

Để dễ nhớ và CM cỏc BĐT ta thường đi từ một hệ thức hoặc một BĐT

quen thuộc rồi biến đổi về cỏc BĐT mới, từ đú suy ra cỏch CM BĐT đú khi gặp

Vớ dụ 2: Ta cú 2 hệ thức trong tam giỏc

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

) 1 (

A tg

C tg

C tg

B tg

B tg

A

tg

tgAtgBtgC tgC

tgB tgA

Từ (1) ta cú thể suy ra cỏc BĐT

3 3



) 6 ( 9 )

5

(

) 5 ( 9 3

)

4

(

2 2

tgAtgB C

tg B tg A

tg

C Btg Atg tg tgCtgA

tgBtgC tgAtgB

Vậy từ (1) cú được (3),(4),(5),(6)

Xuất phỏt từ (2) ta cú:

) 9 ( 3 3

1 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2

2 2 3

) 8 ( 1 2 2 2 3

1 2 2

2 )

7

(

) 7 ( 3 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2

3 2 2 2

3 2

2 2

2 2

B tg

A tg

A tg

C tg

C tg

B tg

B tg

A tg

C tg

B tg

A tg

C tg

B tg

A tg

C tg

B tg

A tg

C tg

B tg

A tg

A tg

C tg

C tg

B tg

B tg

A tg

C tg

B tg

A

tg

Từ (3) và (9)

2 2 2

27tg A tg B tg C tgC

II Những phương phỏp chứng minh chọn lọc cỏc BĐT tam giỏc

Việc lựa chọn phương phỏp để chứng minh cỏc BĐT cơ bản quen thuộc

trong tam giỏc giỳp rỳt ngắn thời gian làm bài

Vớ dụ 1 : CM BĐT:

2

3 3 sin sin

sin A B C  (1) Giải : (1) được CM theo nhiều phương phỏp, sau đõy là phương phỏp ngắn gọn:

Ta cú

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

2

3 3 1 2

1 3

2 6

2

cos 2

1 3

2 2

1 2 sin 1 2 cos 3 3

2

2 sin 1 2 cos 3 3

2 2

sin 2

cos 2 cos 2 sin sin

sin

2 2

C

C C

C B

A C

C B

A

2

3 cos cos

cos 2 1 8

3 3 3

sin cos

1 4

1

2

1

3 3

sin ) cos 1 ( 2

1 sin cos ) cos(

2

1 sin sin sin

2 2

C C

C C B

A C

B A

8

1 cos cos

Ta cú

8

1 ) cos cos

1 ( 4

1

2

1

cos ) cos 1 ( 2

1 cos cos 2

cos 2

1 cos cos cos

C C C

C B

A C

B A

Vớ dụ 5 : CM

2

3 2

sin 2

sin 2 sin A B  C 

Ta cú

4 sin 2 1 4

cos 4 sin 2 2

sin 2

sin 2

sin A B C  AB AB  2 AB

2

3 2

3 2

1 4 sin 2 4

sin 2 1 4

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

C KẾT LUẬN

Trờn đõy là một số kinh nghiệm đỳc rỳt trong quỏ trỡnh giảng dạy hơn 30

năm qua, đặc biệt là trong quỏ trỡnh bồi dưỡng học sinh giỏi Từ những vấn đề

trỡnh bày trờn đõy cú thể rỳt ra kết luận rằng: việc nghiờn cứu giải cỏc bài toỏn

về bất đẳng thức đối với học sinh phải là một quỏ trỡnh thường xuyờn và đặc biệt

là phải được nghiờn cứu chu đỏo ngay từ những kiến thức cơ bản ở lớp 10

Trong đú phương phỏp chứng minh BĐT theo suốt chương trỡnh từ lớp 10 và

được hoàn thiện ở lớp 12 là tỡm cực trị và GTLN, GTNN của hàm số BĐT

lượng giỏc trong tam giỏc là một sự vận dụng của BĐT và cỏc hệ thức lượng

trong tam giỏc nhưng lại ẩn chứa những phộp biến đổi rất tinh vi mà ớt người cú

thể thấy được

Mặc dự cú thể cũn nhiều hạn chế nhưng tụi hy vọng rằng đề tài này sẽ

đúng gúp rất tốt cho cỏc bạn đồng nghiệp và học sinh cú thể tỡm hiểu sõu sắc

hơn về bất đẳng thức nhằm nõng cao hiệu quả trong giảng dạy và học tập Tụi

rất mong nhận được ý kiến đúng gúp của độc giả

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bộ sỏch giỏo khoa hợp nhất năm 2000

2 Bộ sỏch giỏo khoa-Ban khoa học tự nhiờn-Bộ sỏch thứ nhất-NXBGD

2003

3 Phương phỏp tỡm GTLN và GTNN của Phan Huy Khải

4 Tài liệu bồi dưỡng giỏo viờn THPT chuyờn Bất đẳng thức và cỏc vấn đề

liờn quan của Trần Nam Dung, Nguyễn Văn Mậu

5 Bất đẳng thức: suy luận và khỏm phỏ - Phạm Văn Thuận Lờ Vĩ

6 500 Bất đẳng thức của Cao Minh Quang

7 Sỏng tạo bất đẳng thức - Phạm Kim Hựng