SKKN khai thác một số bài toán dãy số viết theo quy luật

Làm cho các em được tìm tòi, khám phá, pháthiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú… Với việc dạy học môn Toán ở bậc THCS, người giáo viên cần hình thành

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 19

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là phải phát huytính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng nănglực tự học, lòng say mê học tập Làm cho các em được tìm tòi, khám phá, pháthiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú…

Với việc dạy học môn Toán ở bậc THCS, người giáo viên cần hình thành

và rèn luyện cho các em khả năng tư duy sáng tạo từ một vấn đề có thể hìnhthành và phát triển thành các vấn đề khác sáng tạo hơn mở rộng hơn Để làmđược điều đó đòi hỏi vào sự linh hoạt, sáng tạo của giáo viên trong cách dạy,cách khai thác bài toán

Ở trường THCS chúng tôi nói riêng và các trường THCS nói chung, hầuhết các giáo viên trong quá trình giảng dạy chưa hình thành được cho học sinh

có các thói quen trên một cách thường xuyên Phần lớn chúng ta chưa khai thácđược nhiều ứng dụng từ một bài toán ở sách giáo khoa, sách bài tập để phát triểnthành một chuỗi các dạng bài toán có liên quan Trong giải Toán đang chủ yếudừng lại ở việc tìm ra kết quả bài toán Điều đó dẫn đến học sinh khó tìm được

sự liên kết và mối quan hệ giữa các kiến thức đã học Dẫn đến khi học sinh bắtđầu giải một bài toán dạng khác có liên quan thì khả năng phân tích, liên hệ tìmkiếm phương pháp để giải quyết vấn đề là còn nhiều hạn chế

Để giúp học sinh hình thành được các kỹ năng và vốn kiến thức cần thiết

để giải quyết được vấn đề trên, tôi đã suy nghĩ, trăn trở cùng với sự tư vấn giúp

đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp Tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và áp dụng đề

tài: “Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật” vào giải toán .

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này để mở rộng kiến thức, nâng cao trình

độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân

1.3 Đối tương nghiên cứu

*Đối tượng nghiên cứu:Toán học là môn đòi hỏi có sự tư duy và sáng tạo,song bài viết này tôi chủ yếu tập trung nghiên cứu các bài toán tính tổng theoquy luật Các bài toán được đưa ra trong đề tài là những bài của SGK, SBT, sáchnâng cao, các bài trong các đề thi học sinh giỏi

*Phạm vi áp dụng: Học sinh các lớp 6,7,8,9 trường THCS chúng tôi

*Thời gian nghiên cứu và hoàn thành đề tài: Từ tháng 10/2017 đến hếttháng 02/2019

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua quá trình giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào 10, dựa vào các đề thi của các tỉnh thành

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Với đề tài “Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật” nhiều sáng

kiến đã làm nhưng điểm mới của sáng kiến này là phân loại các dạng bài tập đưa

ra các bài tập từ dễ đến khó giáo viên và học sinh dễ học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến khinh nghiệm

Theo quan điểm lí luận chung thì một trong những mục đích cần thiết và

cơ bản của phương pháp dạy học tích cực là hình thành thói quen luôn tìm tòi,suy nghĩ khám phá nhằm phát triển tư duy, phát triển khả năng tự học, tự nghiêncứu của người học Từ lí luận và những kiến thức mang tính chất lí thuyết ngườihọc có thể liên hệ và có khả năng vận dụng vào thực tiễn cuộc sống một cách cóhiệu quả

Đối với quá trình dạy học bộ môn toán thì các vấn đề trên lại càng đượcthể hiện rõ nét Để phát huy tính tích cực suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo, đòi hỏingười học phải nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau

Từ phân tích tổng hợp đến tư duy khái quát các vấn đề để từ đó tìm tòi cái riêngtrong cái chung và ngược lại Do đó trong quá trình giảng dạy bộ môn Toánngười giáo viên phải cố gắng phát huy tối đa khả năng vận dụng, khả năng sángtạo của học sinh Một trong những phương pháp tốt để phát huy được các vấn đề

đó trong quá trình dạy học bộ môn Toán đó là rèn cho học sinh khai thác các bàitập điển hình ở sách giáo khoa, sách bài tập sách nâng cao để từ đó vận dụnggiải các bài toán khó hơn, phức tạp hơn ở nhiều dạng Toán khác nhau

Các bài toán dãy số viết theo quy luật được trình bày dưới dạng như mộtcông thức toán học có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến tínhdãy số theo quy luật Mặt khác các bài toán dãy số viết theo quy luậtcũng mở rahướng giải quyết khác cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phươngtrình Chính vì thế các bài toán dãy số viết theo quy luật đã làm giàu các dạngbài tập, làm phong phú thêm các cách giải cho một bài toán, gây được hứng thúcho học sinh trong việc giải toán, hình thành cho học sinh những ý tưởng hay,trau dồi tư duy và đầu óc sáng tạo cho học sinh Các bài toán dãy số viết theoquy luật tạo cơ hội cho giáo viên dạy toán một phong cách nghiên cứu khoa học

có hiệu quả, góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong thời kỳ mới

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong nhiều năm dạy học và dạy toán, dạy thêm, ôn thi vào 10, ôn thi họcsinh giỏi các lớp, bản thân tôi cũng thấy lúng túng khi găp các bài tập dãy sốtính theo quy luật không phân rõ được các dạng bài tập và phương pháp giải do

đó nên trong quá trình giảng dạy không gây được hứng thú học tập cho học sinh

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoạc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

A KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC LŨY THỪA CỦA

S = ( 3)2005 1 =3 2005 1

44

Qua bài tập 1 và bài tập 2 ở trên ta áp dụng công thức của bài tập tổngquát để tính tổng thì ta chỉ nhân tổng đó với đúng cơ số của nó rồi thực hiệnphép trừ

hai tổng để triệt tiêu

Dạng 2: Bài tập tính tổng các lũy thừa với số mũ cách đều

Khi dãy số tính tổng mà lũy thừa với số mũ cách đều ta có cách tính sau

2 ) T¬ng tù nh trªn ta nh©n hai vÕ cña B víi 72

72B=73+75+77+79+ +799

B =7+73+75+77+79 + + 799

Vậy B = ( 7101 – 7) : 48

Bài 5: Tớnh tổng

B=1–23+26–29+ +296- 299

Tổng B ta thấy quy luật là cộng rồi trừ cỏc số ,cỏc số mũ cũng cỏch nhau

3 đơn vị để triệt tiờu ta nhõn B với 23 rồi cộng cho B

Từ bài tập 5 ta rỳt ra tổng quỏt như sau

P = 1 - ad + a2d – a3d + a2nd với a , n N; a 1

a

(2 n 1) d 1

Ta nhõn cả hai vế của P với ad Rồi cộng vế với vế ta được P = a d 1 (2)

Cụng thức (2) cũng được vận dụng cỏch tớnh như cụng thức (1) là nhõn

một số thớch hợp rồi cộng hai tổng để triệt tiờu

Dựa vào cụng thức (1) ta cú thể làm được nhiều dạng bài tập cú cỏc nội sau

Bài 6 : Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 29

Hóy so sỏnh S với 5 22

Muốn sú sỏch được S với 5 22 Ta cần tớnh tổng S ỏp dụng vào cụng thức

(1) sau đú dựng phộp so sỏnh của lũy thừa để đỏnh giỏ

Giải: Ta cú 2A = 2 + 22 + 23 + + 210

Khi đó : 2A – A = (2 + 22 + 23 + + 210 ) – (1 + 2 + 22 + + 29 )

Suy ra A=210–1 =22.28=4.28<5.28

Mà 210 –1< 210

Bài 7: Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + + 399 Tỡm số tự nhiờn n biết rằng 2A +3 = 3n

Đờ tớnh được số tự nhiờn n trước hết ta đi tớnh tổng A theo cụng thức (1)

rồi dựa vào lũy thừa cựng cơ số để tớnh + 3100

nhiều tớnh tổng cỏc lũy thừa

B KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC PHÂN SỐ TÍNH THEO

QUY LUẬT

I Lí THUYẾT

Bài tập dạng tổng quỏt

Cho hai phân số: 1n và n1 1 (n Z, n 0)

Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng

Như vậy: Hai tổng A và B là hai cách viết khác nhau cách tính là như nhau Giải

B 301 421 561 1321

111 1

5.6 6.7 7.811.121

51616171718 111

12115 121 1260 5 607Bây giờ ta xét bài toán tương tự sau:

* Khi tử của các phân số trong tổng vẫn không thay đổi nhưng không

bằng hiệu hai thừa số trong mẫu, các hiệu hai thừa số ở mẫu bằng nhau, thừa sốcuối mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu tiếp theo, chẳng hạnta có bài toán sau

Hướng dẫn : Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và

đưa về dạng bài 1, bài 2

ta được các mẫu mới là 20; 30; 42; ;240 Ta thấy 20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 =6.7; Theo đúng quy luật của bài toán 2 và 3 ở trên

Với bài toán này thoạt nhìn thì không thấy quy luật như bài tập 1, bài tập

2 Với tư duy của bài tập 2 tử của phân số là 4 chính là hiệu 2 thừa số ở mẫu, vậy thừa số ở mẫu phải là 35 và 31 Tương tự với các phân số còn lại thừa số ở mẫu lần lượt là 35và 41, 41 và 50, 50 và 57

Khi đó ta nhân cả tử và mẫu với 5 ta được mẫu mới lần lượt là: 35 31; 35 41,

41 50, 50 57

7.31 7.41 10.41 10.57 35.31 35.41 50.41 50.57

= 5( 351411 411 501 501 571) = 5( 351 571) = 2249

Câu b, c tương tự câu a.

* Với cách suy nghĩ theo quy luật của dạng bài toán như ở trên, bây giờ ta xét bài toán khó hơn

Do mẫu số là tích của các số tự nhiên cách nhau 3 đơn vị nên tử của mỗi phân sốphải là: 2.3 = 6

* Cũng với cách suy luận như trên, ta thấy mẫu số của mỗi phân số là tích của 4

số tự nhiên liên tiếp thì tử số của mỗi phân số phải là 3 lần khoảng cách các số ởmẫu

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Trở lại với công thức

Nếu thay n bởi x thì ta có

Áp dung công này ta có thể làm được bài tập sau

Bài 12 Rút gọn( Sách nâng cao phát triển toán 8)

Từ đó ta có thể giải quyết bài toán sau:

Bài 13: Rút gọn(Bài tập sách 23 chuyên đề toán sơ cấp)

A=1 1 2000 1 20 5 1

Ngoài các bài toán tính tổng và rút gọn áp dụng công thức

1 1 1 ( n Z , n 0)ta giải các bài toán có nội dung khác nhưng khó

Việc áp dụng công thức trên trong giải toán được sử dụng rất nhiều Chẳng hạn bài toán sau:

Bài 16 Cho biết a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

< 21.4 , 512 < 41.6 tương tự so sanh dần dần ta rút ra được dãy số theo quy luật Tổng B cũng làm tương tự

Hướng dẫn : Các tổng trên mẫu là những giai thừa, đưa mẫu về tích của các số

tự nhiên rồi cũng so sánh như bài tập 18

Dạng 5 Dạng toán giải phương trình.

Bài 21: Tìm số tự nhiên x, biết:

+ + ++……+ = (*)

Bài toán là yêu cầu tìm số tự nhiên x từ một đẳng thức, vế trái của đẳngthức là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu là các số tự nhiên khác nhau,phân số cuối cùng của dãy có mẫu là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếpgiống như ở tổng B của bài toán 1; vế phải của đẳng thức là một phân số có tửnhỏ hơn mẫu một đơn vị

Trước hết hãy để ý các mẫu số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;………nhưvậy mẫu của mỗi phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số tựnhiên liên tiếp Dãy cộng trên chính là tổng B ở bài toán1 Từ đó suy ra cáchgiải

Giải:

Bài 22: Tìm số tự nhiên x, bi ết:

Giống như bài toán 23 , bài toán 24 cũng yêu cầu ta tìm x, nhưng vế trái của(**) khác vế trái của (*) ở chỗ phân số cuối cùng lại có tử bằng 2 còn mẫu sốvẫn là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp Vấn đề là làm thế nào để đưa đượccác phân số ở vế trái của (**) thành các phân số như vế trái của (*)?

Ta giải như sau:

Xét phân số Ta có : = 2 = 2( - )

Như vậy ta cũng phải biến đổi các phân số ; ; ; ; … thành các phân số cũng có tửbằng 2 và mẫu của mỗi phân số vẫn là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Để ý, ta có: = ; = = ; = = ; = = ;….(Áp dụng tính chất cơ bản của phân

số) Đến đây ta dễ dàng suy ra cách giải như bài toán 23

Bài 23 Giải các phương trình

( x 2) 2 0 x 2 ( không thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

x1 = 7 (thoả mãn điều kiện )

x2=3 (không thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm này chủ yếu được áp dụng trong quá trình dạy cácgiờ luyện tập, giờ tự chọn, bồi dưỡng học sinh và chấm chữa bài cho học sinh đểkịp rèn luyện kỹ năng làm bài cho học sinh Trong năm học vừa qua tôi áp dụng

đề tài này cho ôn thi học sinh giỏi lớp 6 và dạy thêm toán 6 và dạy học toán 6,toán 8, tôi đã nhận thấy có những hiệu quả nhất định.

Trong quá trình nỗ lực nghiên cứu và hoàn thiện đề tài, với những nộidung mà tôi đã triển khai áp dụng tôi nghĩ rằng, vận dụng và khai thác các ứngdụng từ một bài toán ở SGK, SBT là vấn đề rất bổ ích và cần thiết Qua đó giúphọc sinh phát huy được tính tích cực, chủ động, tìm tòi, sáng tạo trong học tập,đồng thời tạo cho các em yêu thích và say mê bộ môn Toán

Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài khi áp dụng vào thực tiễn, tôi tiếnhành tổ chức khảo sát đối với 22 học sinh lớp 6 trường THCS chúng tôi năm học2017-2018 trước khi áp dụng đề tài vào sau khi áp dụng xong đề tài Bài tậpđược ra theo các mức độ của học sinh Kết quả thu được như sau

1 Việc cung cấp cho học sinh một cách hệ thống nội dung và phương phápứng dụng các dạng bài tập trên, hình thành cho học sinh thói quen học một bàitoán dạng tổng quát từ đó biết áp dụng và khai thác bài toán dưới các dạng bàitập

2 Nhiều bài toán sau khi vận dụng hai bài toán tổng quát trên có một lờigiải đẹp đã tạo cho học sinh sự hứng thú khi giải toán, giúp các em tìm thấyniềm vui trong học toán, thấy được cái mới, cái hay trong toán

3 Với những học sinh trước đây rất sợ học toán thì đã tự tin hơn, chủđộng, tích cực hơn trong những giờ học toán, nhất là các buổi ôn thi học sinhgiỏi, dạy thêm các em rất thích thú khi gặp các đề có liên quan đến các bài toántính theo quy luật,góp phần nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huytính tích cực của học sinh

Qua trao đổi với các đồng nghiệp ở trường, dạy thử nghiệm chuyên đề này

ở các tiết dạy thêm các lớp và các buổi ôn thi học sinh giỏi ở các lớp, học sinhtiếp thu tốt, 100% học sinh vận dụng thành thạo các dạng bài tập theo từng trình

độ của học sinh

Trong quá trình giảng dạy rất mong có những chuyên đề của phòng GD

mở về bồi dưỡng học sinh giỏi để các giáo viên được học hỏi nhau và nâng caotrình độ chuyên môn nghiệp vụ

Tôi xin chân thành cảm ơn !

viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 6 tập 2

2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6

3 Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6

4 Nâng cao và phát triển toán 7

5 Nâng cao và phát triển toán 8

6 Nâng cao và phát triển toán 9

7 Đề thi học sinh giỏi các khối 6,7,8,9 của các tỉnh thành

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP

SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG

Xếp loại:

TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG

Chủ tịch

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY

Xếp loại:

TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG

GD&ĐT Chủ tịch

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA

Xếp loại:

TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT

Chủ tịch

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CẨM THỦY

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ

VIẾT THEO QUY LUẬT

Người thực hiện: Hoàng Thị Huệ

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Sơn

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019