Tính chất; + Biến đờng thẳng thành một đờng thẳng song song hoặc trùng với đờng thẳng đã cho.. Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm, của một hình qua một phép tịnh tiến.. *Phơng pháp: để dự
Trang 1Chuyên đề: Phép tịnh tiến A.Kiến thức cần nhớ
1.Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho véctơ v.Phép biến hình biến 1 điểm M thành điểm M/ sao cho MM/ v
đợc gọi là phép tịnh tiến theo véctơ v.
-Kí hiệu: T v
Nh vậy: M/ T v M( ) MM/ v
2 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trọng mặt phẳng toạ độ cho / / /
( ; ); ( ; )
v a b M x y
M x y T v M
, ta có:
/ /
x x a
y y a
3 Tính chất;
+) Biến đờng thẳng thành một đờng thẳng song song hoặc trùng với đờng thẳng đã cho
+) Biến tia thành tia
+)Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
+)Biến tam giác thành tam giác bằng nó
+)Biến góc thành góc bằng nó
+)Biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính
B.Các dạng toán cơ bản.
Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm, của một hình qua một phép tịnh tiến.
*Phơng pháp: sử dụng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.
qua BC.
a.Tìm ảnh của điểm O là phép tịnh tiến theo véc tơ AH
.
.
.
Giải:
a) +)Vẽ đờng kính BB / của (O) ta có:
/
/ //
B A AB
B A CH
CH AB
(1)
/
AH BC
AH B C
B C BC
(2) +) Từ (1) và (2) AHCB / là hình bình hành AH B C/
(3) +)Gọi I là giao điểm của OO / với BC OI CB và I là trung điểm của BC.
Do đó: 2OI B C/ OO/ B C/
(4) +)Từ (3) và (4) OO/ AH
Trang 2Do đó,
/ ( )
AH
T O O
hay O / là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo AH
b) Theo câu a, OO/ AH
AHO/ O là hình bình hành.
HO/ AO
/ ( )
AO
hay O / là ảnh của H qua phép tịnh tiếnthéo véc tơ AO
c) Phép tịnh tiến theo véc tơ AO
biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O 1 ) có bán kính bằng bán kính đờng tròn (O)
và tâm O 1 xác định nh sau: OO 1 AO
O 1 là điểm đối xứng của A qua O.
Giải
+)Gọi M/(x/;y/) là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ v
/
/ /
5 2 7
(7; 7)
x
M y
+) Gọi d/ là ảnh của d qua phép tịnh tiến théo véctơ v
d/// d và có dạng : 2x – 5y + C = O (d/)
+) Gọi điểm A(-3;0) d A/ T v A( )
A/(-1; -3)
-Thay toạ độ A/ (-1; -3; ) vào d/ tao có: -2 + 5 + C = 0 C = -13
(d/) có dạng: 2x – 5y – 13 =0
+) Gọi (C/) = T v C( ).
-Đờng tròn (C) có: x2 + y2 +4x -6y + 9= 0
(x + 2)2 + (y- 3)2 =4
(C) có tâm I (-2; 3) và bán kính R = 2
- Gọi I/ =T v I( ) I/ (0;0)
(C/) có dạng : x2 + y2 = 4
Dạng 2: Sử dụng phép tịnh tiến để chứng minh tính chất hình học.
*Phơng pháp: sử dụng định nghĩa và tính chất của phép tịnh tiến.
Ví dụ 1: Cho 2 đờng tròn (I) và (J) có cùng bán kính R và tiếp xúc ngoài với nhau tại M Cho Avà B
Trang 3O 1
M
N
+) Xét phép tịnh tiến theo véc tơ IJ
/
( )
IJ
T A A
( )
IJ
T M N
Phép tịnh tiến T IJ
biến (I) thành (J)
A/ , N đờng tròn (J) (vì A, M đờng tròn (I))
Và I, M , J, N thẳng hàng , AM // A/N
/
+) Lại có:
/ /
IJ
BN MB A B N J
Dạng 3:Dùng phép tịnh tiến để giải bài toán dựng hình.
*Phơng pháp: để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó nh là ảnh của một điểm đã biến qua một phép tịnh tiến.
M/
hf
M
B
A
*, Giả sử đã dựng đợc điểm M thuộc đờng tròn (O), M/ thuộc đờng tròn (O/) sao cho: MM/ AB
, do đó /
( )
AB
T M M
.O .O
Trang 4+) Vì M thuộc đờng tròn (O) nên M/ thuộc (O1) là ảnh của (O) qua
AB
T
, MM/ đờng tròn (O/) nên
M/ là giao điểm của (O1) và (O/)
*)Từ đó suỷa cách dựng :
+) Dựng đờng tròn (O1) là ảnh của (O) qua
AB
+) M/ là giao điểm của (O1) và (O/)
-Dựng M là ảnh của M/ qua T BA
* Rõ ràng : MM/ AB
-T BA
biến đờng tròn (O1) thành (O), M/ (O1), M M/ BA
M (O)
* Số nghiệm hình của bài toán bằng số giao điểm của (O1) và (O/)
Dạng 4: Dùng phép tịnh tiến để giải bài toán tìm tập hợp điểm.
*Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một đờng đã biết qua một phép tịnh tiến.
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O) và 1 điểm cố định A ở trên đờng tròn B là một điểm thay đổi trên (O)
động trên một đờng tròn.
+) Ta có:
( )
//
OA AC gt
OA BH
BH AC tructamH
+) Chứng minh tơng tự OB // AB
OAHB là hình bình hành
BH OA
(OA
là véc tơ không đổi)
phép tịnh tiến theo véc tơ OA
biến điểm B thành điểm H
+) Vì B di động trên đờng tròn (O) nên H di động
trên đờng tròn (O/) là ảnh của (O) qua T OA /
+)Xét điểm O/: OO/ OA O/ A
, bán kính (O/) là OA
Trang 5Ví dụ2: Cho hình bình hành ABCD, 2 điểm A, B cố định tâm I thay đổi trên đờng tròn (O).Tìm tập hợp trung điểm M cạnh BC.
+) Ta có: IM là đờng trung bình BCD
nên
1
2
mà AB DC
nên
1 2
+)Phép tịnh tiến theo
1
2AB
biến I thành M
+)Vì I di động trên đờng tròn (O) nên M di động
trên đờng tròn (O/) là ảnh của (O) qua phép tịnh
tiến theo
1
2 AB
-.điểm O/ xác định:
/ 1 2
, bán kính (O/) bằng bán kính trên đờng tròn (O)
tập hợp các điểm M là đờng tròn (O/)
BTVN:
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho M(2;-6); v ( 1; 3), đờng thẳng d: 4x-5y-8 =0, đờng tròn (C): (x+2)2 + (y-3)2 = 16 Tìm ảnh của M, d, (C) qua T v.
Bài 2: Cho 1 điểm O cố định và một đờng thẳng a cố định Xét các đờng tròn (I; R) sao cho BB/ // a Tìm quỹ tích các điểm B và B/
Trang 6Phép đối xứng trục
*)Chữa bài tập về nhà.
Bài 2: : Cho 1 điểm O cố định và một đờng thẳng a cố định Xét các đờng tròn (I; R) sao cho BB/ // a Tìm quỹ tích các điểm B và B/
Bài giải
v R
+)Do OI=R, tập hợp điểm I là đờng tròn tâm O bán kính R
/
;
v IB IB v
hoặc IB v IB v; +) Do đó phép tịnh tiến theo v biến I thành B hoặc I
thành B/ +) Vì I chạy trên (O;R) nên B và B/ chạy trên 2 đờng tròn là ảnh của đờng tròn O qua 2 phép tịnh tiến trên
A).Lý thuyết
1.Định nghĩa: trong mặt phẳng cho 1 đờng thẳng d phép biến hình biến một điểm thuộc d thành chính
nó, biến 1 điểm M không thuộc d sao cho d là trung trực của MM/ M
-Kí hiệu: Đd
-Nh vậy: M/=Đd(M)
/
M0 d
M/
2.)Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục
+)Oxy, M(x;y), Đox(M)=M/(x/;y/) thì
/ /
x x
+)Oxy, M(x;y), Đoy(M)=M/(x/;y/) thì
/ /
y y
3).Tính chất: phép đối xứng trục:
-biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia
-đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
-biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến góc thành góc bằng nó
-biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính
B ).Các dạng toán cơ bản.
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục.
-Phơng pháp: dùng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ qua phép đối xứng trục
a).Khi nào a // a/
Trang 7d).Khi nào a a/
Giải:
a).Dựa vào cách xác định của một đờng thẳng a // a/ a // d
b) a d hoặc a d
c) a cắt d và a không vuông góc d
giao điểm I của a và a/ d
d) a a/ khi góc giữa a và d bằng 450 (vì d là phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng a và a/)
Tìm ảnh của A, d, (C)qua phép đối xứng Oy.
+)Gọi A/= Đoy(A) ; A/ (x/; y/)
/
/
y y
/
/ /
3
( 3; 2) 2
x
A y
+)Gọi d/ là ảnh của d qua phép đối xứng Oy
Chọn B d, gọi B/ là ảnh của B qua phép đối xứng trục Oy
B/ có toạ độ
/ /
y y
/ /
y y
-3x/ - 2y/ +1 =0
d/ có dạng: -3x – 2y +1 =0
+) (C) có: x2 +y2 -4x + 5y +1 =0 có tâm I(2;
5 2
) bán kính R=
37 4
-Gọi I/ là ảnh của I qua phép đối xứng Oy →
I/ (-2;
5 2
)
(C/) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy có dạng: (x+2)2 + ( y+
5
2)2 =
37 4
Ví dụ 3: trong mặt phẳng Oxy cho M(3; -5), đờng thẳng d: 3x + 2y -6 =0 và đờng tròn
Trang 8d
I
M M0 M/
dA da/
+)Gọi M/=Đd1(M) ta có: MM/ d1 tại M0, M0 là trung điểm của MM/ đờng thẳng d/ đi qua M và
M/ và nhận VTCP của d1 là u 1 (1;2)
là VTPT nên
có phơng trình là: 1.(x-3) + 2.(y+5) = 0 hay: x + 2y + 7 =0
-Toạ độ điểm Mo là nghiệm của hệ:
0
9
5
x
x y
M
x y
y
/
/
/
2.( ) 3
M
M
x
M y
+) Vì
3 2
2 1 nên d và d1 cắt nhau tại điểm I có toạ
độ là nghiệm hệ:
4
( ; )
7
x
x y
I
x y
y
+) Lấy A(2;0) d; A I; A/ = Đd1(A)
-Vẽ AA/ d1 cắt d1 tại J là trung điểm của AA/
PT đờng thẳng AA/: 1.(x-2) +2.(y-0) = 0
x+2y-2 = 0
+) Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ:
(0;1)
J
- A/ đối xứng với A qua J
/
/
/
( 2; 2)
A A
A
-d/ là ảnh của d qua phép đỗi xứng trục d1, d/ đi qua I và A/ nên có VTCP u 7.IA ( 18; 1)
PT d/ có dạng:
+) (C): (x-1)2 + (y+2)2 =9
Trang 9là: 1.(x-1) + 2.(y+2) =0 x + 2y + 3 =0 +) Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ:
/
/
/
2.( 1) 1 3
( 3;0) 2.( 1) 2 0
H H
x
H y
phơng trình đờng tròn (C/) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d1 là: (x+3)2 +y2 =9
Dạng 2: Dùng phép đối xứng trục chứng minh tính chất hình học.
-Phơng pháp: sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với trực tâm H.
b).Gọi O 1 ;O 2 ;O 3 lần lợt là tâm các đờng tròn nội tiếp trên Chứng minh đờng tròn đi qua 3 điểm
a)+) Gọi A/ là giao điểm của AH với (O) ngoại tiếp ABC +) Ta có: BAA / BCA (góc nội tiếp cùng chắn BA / )
HCB BAH (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
HCB BCA
+) HCA/ có BC là đờng cao,đờng phân giác HCA/ cân tại C A/ đối xứng với H qua đờng thẳng BC hay
ĐBC(A/)=H ĐBC biến A BC/ thành HBC nên ĐBC biến đ-ờng tròn ngoại tiếp A BC/ là đờng tròn ngoại tiếp ABC
thành đờng tròn ngoại tiếp HBC (1)
bán kính đờng tròn ngoại tiếp HBC bằng bán kính đờng tròn (O)
+) chứng minh tơng tự ta có đờng tròn ngoại tiếp các ,
HAB HAC
lần lợt là ảnh của đờng tròn (O) qua các phép
đối xứng trục AB, AC (2) +) Từ (1) & (2) đpcm
b).+) Gọi I, J, K lần lợt là trung điểm BC, CA, AB
-IJ là đờng trung bình của ABC IJ // AB và IJ =
1
2 AB
- IJ cũng là đờng trung bình của OO O2 3
nên IJ // AB và IJ= 2 3
1
2O O
AB = O 2 O 3 +) Chứng minh tơng tự: AC = O1O2
BC = O1O3
Trang 10 đờng tròn ngoại tiếp OO O2 3có bán kính bằng bán kính
đờng tròn ngoại tiếp ABC
Dạng 3: Dùng phép đối xứng trục để giảI bài toán tìm tập hợp điểm.
-Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua phép đối xứng trục
hợp sau:
b B di động trên đờng tròn tâm I, bán kính R.
A
/
B H C
a) +) phép đối xứng trục AH biến B thành C (do ABCcân) B di động trên đờng thẳng nên C di
động trên đờng thẳng /là ảnh của qua phép đối xứng ĐAH
Vậy tập hợp điểm C là đờng thẳng C/
