9 đề thi hsg toán 10 năm 2017 2018 có đáp án

Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tiền lãi cao nhất khi tổng số công không vượt quá 90.. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc tron

Câu 1 (4.0 điểm) Cho Parabol (P) : y x= +2 mx 3+

3.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I Trung điểm

cạnh AB là M( ; )0 3 , trung điểm đoạn CI là J( ; )1 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng ∆: x y− + =1 0

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GD & ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018

Môn: TOÁN, Khối 10

Thời gian: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Ngày thi 14/04/2018

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ THI CH ỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG ĐÁP ÁN

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là A(x ; 2x1 1−1), B(x ; 2x2 2−1), trong đó x , x là các 1 2

nghiệm của (1) Theo định lý Viet ta có: x1+x2 = −2 2m, x x1 2 = 4

3

Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật AMND Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường kính của (C)) Mà MD cũng là đường kính của (C) nên JM ⊥ JD (1)

tan 5x tan

794

1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập

luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa

4

2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ

3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 5 x m   0 (1) với x là ẩn số

a) Giải phương trình (1) khi m = 6

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x x1 2 x2 x1  6

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm

AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD x: 3 1 0  y , 16;1

3

E 

 

  a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD

và BE

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là

trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1

cabc

9c

ba

1c

ba

1

cabcab

7ca

bcab

  303

cba

7ca

2bc2ab2cba

9

2 2

800m Biết rằng cứ 2

100m

trồng đậu cần 10 công và lãi 7 triệu đồng còn 100m trồng cà cần 15 công và lãi 9 triệu 2đồng Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tiền lãi cao nhất khi tổng số công không vượt quá 90

Câu 3 (3 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A( ) ( )1; 2 ,B 2;7 Biết độ dài

đường cao kẻ từ A bằng 1 và đỉnh C thuộc đường thẳng y− = Tìm tọa độ đỉnh C 3 0

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám th ị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN LỚP 10

Thời gian làm bài: 180 phút

12

2 5 15 0

5 1454

0 316

100m ) Ta có

x≥ y≥ x+ ≤ y

Do tổng số công không vượt quá 90 nên 10 15x+ y≤90⇔2x+3y≤ 18

Tổng số tiền lãi là T =7x+9y (triệu đồng)

Lưu ý: Có thể dùng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài này

Kẻ đường cao AK và CH của tam giác ABC Ta có AB=( )1;5 ,AB= 26

Phương trình đường thẳng AB: 5x− − = y 3 0

Đặt m=2018 ,ta có sin sin ( )

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Dễ dàng chứng minh được S ABC =6.S MBG suy ra bc=12.S MBG Do đó ta cần chứng minh

bc chia hết cho 12

Để giải quyết bài toán, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của số chính phương:

- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1

- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1

- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1

*) Trước hết ta thấy trong hai số 2 2

,

b c có ít nhất một số chia hết cho 3 Thật vậy, giả sử không có số nào trong hai số đó chia hết cho 3 Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1 Do đó 2

a

chia 3 dư 2, trái với tính chất của số chính phương

Do 3 là số nguyên tố nên trong hai số ,b c có ít nhất một số chia hết cho 3 (1)

*) Ta chứng minh trong hai số ,b c có ít nhất một số chia hết cho 4 Thật vậy, giả sử không có số nào trong hai số đó chia hết cho 4 Khi đó b=4m r c+ , =4n q+ ,

, 1; 2; 1

r q∈ −

- Nếu r q, ∈ −{ }1;1 thì a 2 chia 4 dư 2, vô lí

- Nếu r∈ −{ }1;1 ,q=2hoặc ngược lại thì 2

p = m+ + n+ ⇒ p chia 4 dư 2, vô lí

Vậy trong hai số ,b c có ít nhất một số chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

A

H

K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/04/2018

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 2

6 4x 2018

x y

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có AB6;BC7;CA5.Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho

Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II Một tấn sản phẩm loại I lãi

2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc

không quá 4 giờ Hỏi một ngày nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất?

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị coi thi số 1: Giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Dự thảo hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

m Câu

6 4x 2018

x y

Ta có:   ' m22 m   3 0 với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ

Gọi x x là hai nghiệm của phương trình (*) Khi đó A, B A x A; 2x A 3 , B x B; 2x B 3

0,25

x x

Xét y0 chia 2 vế phương trình (1) cho 2

y , chia 2 vế phương trình (2) cho y ta được:

21

a

b ab

Cho tam giác ABC có AB = 6 ; BC = 7 ;CA = 5 M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM

= 2MB ; N thuộc AC sao cho AN k AC Tìm k để CM vuông góc với BN

23

Cho tam giácABC có BCa CA, b AB, c và p là nửa chu vi của tam giác Gọi I là

tâm đường tròn nội tiếp tam giác Biết ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 9

Gọi M là tiếp điểm của AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đó ta có





Tương tự a p( 2b) p

c IB

và b p( 2c) p

a IC

Gọi x, y là số tấn sản phẩm loại I, II cần sản xuất trong một ngày ( ;x y0)

Tiền lãi một ngày là L2x1, 6y (triệu đồng) Một ngày máy thứ nhất làm việc 3xy

giờ, máy thứ hai làm việc x y giờ

Vẽ các đường thẳng 3x y 6,x y 4 Ta có các điểm M x y với ( ; )( ; ) x y là nghiệm của

hệ bất phương trình trên thuộc miền trong tứ giác OABC, kể cả các điểm trên cạnh tứ giác f(x)=6-3x

f(x)=4-x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

O

A

B C

0,25

L đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.Thay tọa độ các điểm (0;0), (2;0), (1;3), (0; 4)

O A B C vào biểu thức L ta được L đạt giá trị lớn nhất tại (1;3)B Khi

đó L2x1,6y2.1 1,6.3 6,8 Vậy để thu được tiền lãi cao nhất thì mỗi ngày sản xuất

1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II

0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018

MÔN THI: TOÁN LỚP 10

S R A B C Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

2) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3 Trên các cạnh BC CA AB, , lần lượt lấy các điểm , , N M P sao cho BN 1, CM 2, AP x (0 x 3)

a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ  AB AC,

b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM

Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại , A D và

2

AD CD  AB Điểm I thuộc đoạn AC sao cho 3

4

AI  AC Biết điểm (5;3),B đường thẳng DI

có phương trình 3x y  8 0 và điểm D có hoành độ dương Tìm tọa độ điểm D

Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình x24m1x3m22m0 (m là tham số)

1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

3 3

1 2 18

x x 

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m nguyên sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương , , ,a b c d thỏa mãn a b c d   4 Chứng minh rằng:

Câu 6 (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034 Chứng minh tồn tại 3 số

phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN LỚP 10

5 37 ( )2

3

3 1 1 5 4 20

2x0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25

 , dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  ABC đều

2x0,25 2x0,25

2x0,25 0,25 0,25

Mà k k,   1 1 k,k+1 là hai số chính phương (vô lí)

Cho 2018 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 4034 Chứng minh tồn tại ba số

trong 2018 số đó mà một số bằng tổng hai số kia 2,0đ Gọi 2018 số nguyên dương đã cho là a a1, , ,2 a2018 Không mất tính tổng quát giả sử

Xét dãy gồm 4034 số a a2, , ,3 a2018, , , ,b b2 3 b2018 Các số này nhận 4033 giá trị khác

nhau nên có ít nhất 2 số trong dãy số trên bằng nhau

(Thời gian làm bài: 150 phút )

    cắt parabol tại hai điểm phân biệt M N ; sao cho trung điểm của

đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d:4 x  2 y   3 0

Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a Gọi E F ; là các điểm xác định bởi

Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt

có hai nghiệm phân biệt ,

hay pt: 2 x2  kx   2 0 có hai nghiệm phân biệt có

0,5

nên trung điểm của đoạn là 0,5

Bài 2 Cho tam giác đều ABC và các điểm , , M N P thỏa mãn  

BM k BC,

23

Đặt 3   x a ; 4   x b ; 5   x c với a, b, c là số thực không âm

 a b b c c a        2 15

Suy ra

2 15 5

2 15 4

Vậy hệ có hai nghiệm là   x y;  1; 1 , 2    2, 2

Cộng các vế tương ứng của ba BĐT cùng chiều ta được 3

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT THANH MIỆN

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG 10 LẦN 1

NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho parabol (P): y x24x5 và điểm I(1;4) Tìm trên (P) hai điểm

M, N đối xứng nhau qua điểm I

b) Tìm các giá trị của m để phương trình x2 2 m4m2 có 4 nghiệm phân biệt

21

4

MH MA BC

 

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M( 2;0)

là trung điểm của cạnh AB, điểm (1; 1) H  là hình chiếu của B trên AD và điểm

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT THANH MIỆN

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG 10 LẦN 1 NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN

(Đáp án gồm 04 trang)

1 a Cho parabol (P): y x24x5 và điểm (1;4)I Tìm trên (P) hai

điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I 1,00

đường thẳng  qua I và có hsg k có phương trình y k x ( 1) 4  

Xét pt x24x 5 k x( 1) 4  x2(k4)x k  1 0 (1) 0,25

(k 4) 4( 1) 0k k 4k 20 0, k

            cắt (P) tại M và N

Gọi 2 nghiệm của (1) là x x1 , 2 M x k x( ; ( 1 1   1) 4), ( ; (N x k x2 2   1) 4) 0,25

M, N đối xứng nhau qua điểm I  I là trung điểm của MN

Khi đó (1) x22x    3 0 x 1 hoặc x 3 Vậy M( 1;0), (3;8) N 0,25

1 b Tìm m để phương trình x2  2 m4m2 có 4 nghiệm phân biệt 1,00

Điều kiện cần m4 m2    0 m 1 hoặc m  1 (1) 0,25 Khi đó 22 2 4 4 2 2 22 2 44 22

Vậy tập nghiệm của BPT là S   2;2 0,25

2 b Giải hệ phương trình: (x 1)(y 6) y(x 1)22 22

H A

4 Tìm max và min của biểu thức ( ) 32 2

1

x y y S

xy

 



Biến đổi ta được (S2)( 3 S     6) 0 2 S 2

Do S    1  2;2 nên maxS2,minS 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 05/4/2017

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD; N là điểm thuộc cạnh AD

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân tại C và có diện tích bằng 10 Đường thẳng

AB có phương trình x 2y 0 Điểm I 4; 2 là trung điểm cạnh AB, điểm 4;9

2

M  

 

  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ các điểm , ,A B C biết điểm B có tung độ là số nguyên

Câu IV (1,0 điểm)

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và

thu được 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị coi thi số 1: Giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi phương trình

(2) có hai nghiệm phân biệt    ' 0 (m1)2m2  1 0 2m    2 0 m 1 0,25

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x x1, 2

Tọa độ các giao điểm A B, là A x( ;0), ( ;0)1 B x2 ; KA (x12;2),KB(x22;2)

Dấu " " xảy ra khi x m 1 Giá trị lớn nhất của hàm số là 2m2 0,25

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2m  2 6 m2 0,25

CâuII.1

1,0 đ

Giải hệ phương trình

2 2

Chia hai vế của (1) cho xy ta có phương trình 2 1

Xét x , thay vào bất phương trình (2) không thỏa mãn 0 0,25

Xét x , chia hai vế của (2) cho 0 x ta được bất phương trình 2

84

99

Cho tam giácABC không có góc vuông và có các cạnh BC a CA b AB c ,  ,  Chứng

minh rằng nếu tam giácABCthỏa mãn a2 b2 2c2 và tanAtanC 2 tanB thì tam

giác ABCđều

D N

Câu

III.3

1,0 đ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại C và có diện tích bằng 10 Đường thẳng

AB có phương trình x2y0 Điểm I 4; 2 là trung điểm cạnh AB , điểm 4;9

2

M  

 

  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ các điểm , , A B C biết điểm B có tung độ là số nguyên

1,0 đ Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha Để

chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh Nếu trồng cà rốt trên 1

ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai

tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông

trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn

Giả sử trồng x ha( ) cà rốt và y ha( ) khoai tây

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d x y1:  5; d2: 3x5y18

Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm C(5;0), cắt trục tung tại điểm E(0;5)

I

C

M