VDC hình không gian p2 sản phẩm

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến SBC20 và hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy nằm trong tam giác ABC.. Hình chiếu của điểm S trên m

HÌNH KHÔNG GIAN

Câu 31. Cho hình chóp S MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng SMN

a

2 5719

a

9331

a

2 9361

a

Câu 32. Cho hình chóp S ABC có A B� �, lần lượt là trung điểm SA SB, Gọi G là trọng tâm của tam

giác ABC Gọi điểm C� là điểm di động trên cạnh SC Gọi G� là giao điểm của SG với

V V

Câu 34. Cho tứ diện ABCDcó đoạn AB là đoạn vuông góc chung của BCvới AD,độ dài các cạnh

AB a , AD BC b  và góc  thay đổi thỏa mãn �AB CD, 

, 00  900, tan2a b

Nếuthể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tan bằng.

một góc x nhỏ nhất, cắt hình lập phương theo một thiết diện có

diện tích S Kết quả của S là

Câu 36. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến SBC

20 và hình chiếu vuông góc của S

xuống mặt đáy nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khối chóp SABC

Câu 37. Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có A A� A B� A C�2a, đáy là tam giác ABC đều cạnh a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB� và A C� là:

A

18228

a

9420

a

51747

a

2 7035

a

Câu 38.Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 2, AC a 5 Hình

chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC Biết rằng

a

3

306

a

3

304

a

D

3

3012

a

Câu 39 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Biết AC2a, BD3a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

3

 

Thể tích khối lăngtrụ ABC A B C. ��� bằng:

chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa điểm B có thể tích

là V Gọi 1 V là thể tích khối lăng trụ đã cho Tỉ số

Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính diện tích của mặt cầu có tâm nằm

miền trong tứ diện, đi qua trọng tâm các tam giác ABC , ABD đồng thời tiếp xúc với hai mặt

a

S 

232

a

S  

229

a

S  

26

a

S 

Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi  P là mặt phẳng song

song với mặt phẳng đáy và chia khối chóp thành hai khối đa diện nội tiếp trong hai mặt cầu cótổng diện tích bằng 4 a Tính thể tích của khối cầu nhỏ hơn trong hai khối cầu đó?2

A

3481

a

3 23

a

3 316

a

36

a

Câu 45. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC a   và �ASB BSC� CSA�  � Mặt phẳng 30   qua

A và cắt các cạnh SB , SC tại B�,C� sao cho chu vi tam giác AB C�� nhỏ nhất Tính.

.

S AB C

S ABC

V k

k

D k2 2  2

Câu 46. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a và AC a 2 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

AB và CD Biết MN  và MN là đoạn vuông góc chung của a AB và CD Tính thể tích tứ diện ABCD

A

3

62

a

3

63

a

3

33

a

3

32

20 và hình chiếu vuông góc của S xuống

đáy nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S ABC

Câu 48. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 2 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và M là

trung điểm của đoạn AB Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BG và CM

Câu 49. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 2, AC a 5 Hình

chiếu của điểm S lên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết rằng gócgiữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 0

60 Thể tích của khối chóp S ABC là

a

3 3012

a

3 24

a

3 22

a

3 33

a

Câu 51: Cho tứ diện ABCD có AB a  , diện tích các tam giác ABC và ABD lần lượt là 4a2 và 5a2

Góc giữa hai mặt phẳngABC

a

3203

a

Câu 52. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng

SAB , SBC , SCD , SDA

với mặt đáy lần lượt là 90 ,60 ,60 ,60� � � � Biết rằng tam giác

SAB vuông cân tại S , AB a  và chu vi tứ giác ABCD là 9a Tính thể tích V của khối chóp

S ABCD

A

3 34

a

V 

Câu 53. Cho hình chóp .S ABCD tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a Gọi , E M lần lượt là trung

điểm các cạnhCD,SA Tính tan của góc giữa EM và mặt phẳng SBD

Câu 54. Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA BC a  và �BAC � Gọi 60 H và K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB SC, Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng

Câu 55. Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB3, BC4, tam giác SAC

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, d C SA ;  4

Tính côsin của góc tạo bởi hai mặtphẳng SAB

và SAC

Câu 56. Cho hình chóp tứ giác .S ABC có SAB  SBC

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 31 [1H3-5.4-3] Cho hình chóp S MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng SMN

a

2 5719

a

9331

a

2 9361

a

Lời giải Chọn D

tan 60 3

Cách 1:

(Vì O là trung điểm của MP

I là hình chiếu vuông góc của M lên Px �PxSMI � SP Px;   SMI

Câu 32 [2H1-3.4-4] Cho hình chóp S ABC có A B� �, lần lượt là trung điểm SA SB, Gọi G là trọng

tâm của tam giác ABC Gọi điểm C� là điểm di động trên cạnh SC Gọi G� là giao điểm của

Gọi T H, lần lượt là trung điểm của A B AB��, Khi đó suy ra 1

TH

TS 

Do G� là giao điểm của SG với A B C���

nên G� �C T�SGTH1: Nếu C� là trung điểm của SC �C T�/ /CH

Ta có ,C G� � lần lượt là trung điểm các cạnh ,SC SG 2

2.32

Do T H, lần lượt là trung điểm của A B AB��, Khi đó suy ra TH TS 1

Do G� là giao điểm của SG với A B C���

nên G� �C T�SGTrong mặt phẳng SCH

, gọi K CH �C T�( Giả sử K thuộc tia đối của tia CG )

13

Như vậy chọn câu D.

Câu 3 [2H1-3.3-4] Cho khối lập phương ABCD A B C D. ���� cạnh a Các điểm E, F lần lượt là trung

điểm của C B��vàC D�� Mặt phẳng AEF

cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V là1thể tích khối chứa điểm A�và V là thể tích khối chứa điểm 2 C' Khi đó

12

V V

V MB PE�  V NAA M�

Câu 34 [2H1-3.6-3] Cho tứ diện ABCDcó đoạn AB là đoạn vuông góc chung của BCvới AD,độ dài

các cạnh AB a , AD BC b  và góc  thay đổi thỏa mãn �AB CD, 

Câu 35 [1H3-3.3-4] Cho hình lập phương ABCD A B C D. ���� cạnh bằng 1 Gọi  P là mặt

phẳng chứa CD� và tạo với mặt phẳng BDD B��

Gọi O là trung điểm BD Ta có COBDD B�� Gọi  là giao tuyến của  P

Dấu đẳng thức xảy ra khi OD� � qua D� và vuông góc với OD�

Giả sử  cắt BD tại E, dễ thấy DE BD  2, suy ra  P

là mặt phẳng CD E�

Mặt phẳng CD E�

cắt mặt phẳng A BC D� ��

theo giao tuyến là đường thẳng d qua D� và

song song với CE Đường thẳng d cắt B C�� tại trung điểm M của B C��.

Thiết diện là tam giác D MC� .

Tam giác MCD� có

52

MD�MC

, CD� 2 nên dễ tính được

64

D MC

Ngày 24 / 10 / 2018 Câu 36 [2H1-3.2-3] Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC

Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC BC AB, ,

Câu 37 [1H3-5.4-3] Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có A A�A B�A C�2a, đáy là tam giác ABC

đều cạnh a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB� và A C� là:

A

18228

a

9420

a

51747

a

2 7035

a

Lời giải Chọn C

+) A A�A B�A C�2a �Hình chiếu G của A� lên mặt đáy là trọng tâm tam giác ABC.+) AGBC tại F

+) Dựng hình bình hành A B AK�� � AK  A B��ABAC �Tam giác KCB vuông tại C

+) Dựng GE vuông góc với KC tại E , GP vuông góc với A E � tại P Dễ dàng chứng minh

AC a Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng

BC Biết rằng góc giữa mặt phẳng SAB

và mặt phẳng ASC

bằng 60� Thể tích của khốichóp S ABC là

A.

3

302

a

3

306

a

3

304

a

D

3

3012

a

Lời giải

Chọn D

Kẻ HEAB tại E , kẻ HK SE tại K Khi đó E là trung điểm AB và HK SAB

Lấy điểm I sao cho K là trung điểm của BI Suy ra CI SAB

   

Câu 39 [1H3-5.4-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AC2a, BD3a Tính khoảng cách giữa hai

2

a a

3

 

Thểtích khối lăng trụ ABC A B C. ��� bằng:

a CC�

a a

chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa

điểm B có thể tích là V Gọi 1 V là thể tích khối lăng trụ đã cho Tỉ số

C D NC NB�  �C D� DB�

Ta có M là trung điểm của A B�� và

13

DC DB

�



� nên

34

13

V

V 

Câu 42 [2H1-3.12-4] Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ��� có độ dài cạnh bên bằng 4 và khoảng cách từ

điểm A đến các đường thẳng BB�, CC� lần lượt bằng 1 và 2 Biết góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải Chọn B

Kẻ AE BB� tại E , kẻ AF CC� tại F

Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng ABB A��

và ACC A��

là AA� và AFE AA� nên góc

giữa hai mặt phẳng ABB A��

và  ACC A��

bằng góc giữa AE và AF

 Trường hợp 1: Góc �EAF600.

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác AEF ta tính được EF  3

Suy ra tam giác AEF vuông tại E

Câu 43 [2H2-2.3-4] Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính diện tích của mặt cầu

có tâm nằm miền trong tứ diện, đi qua trọng tâm các tam giác ABC , ABD đồng thời tiếp xúc

với hai mặt phẳng ACD

và BCD

?

Lời giải Chọn D

Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB , CD Và G , H lần lượt là trọng tâm của các

tam giác ABC , ABD

Do QC QD nên tam giác QCD cân tại Q Vì GH P CD nên tam giác QGH cân tại Q

Từ đó suy ra QP là đường trung trực của GH

Ta dễ dàng chứng minh được CDABP nên GH ABP.

Kết hợp với QP�ABP suy ra ABP là mặt phẳng trung trực của GH.

Mặt khác vì PQ là phân giác của góc � APB , do đó để mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng

a

;

22

a x a x

Mặt khác tâm mặt cầu nằm miền trong tứ diện do đó

A

3481

a

3 23

a

3 316

a

36

a

Lời giải Chọn D

Ta giả sử SH x, khi đó ta dễ dàng chứng minh được các tam giác SHN và SOB vuông cân,

do đó HS HM HN HP HQ x 

Vậy khối chóp S MNPQ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp R1  với x 0 22

a x

 

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp cụt ABCD MNPQ Khi đó dễ thấy I nằm trên .

tia đối tia OH Ta đặt OI t Ta có: R2 IN IC.

Câu 45 [2H1-3.3-4] Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC a   và �ASB BSC� CSA�  � Mặt30

phẳng   qua A và cắt các cạnh SB , SC tại B�,C� sao cho chu vi tam giác AB C�� nhỏ nhất.Tính

k

D k2 2  2

Lời giải Chọn B

Cắt hình chóp theo đường SA và trải trên mặt phẳng ta được hình vẽ

Tam giác SC A�� có C SA�� � � và �30 SC A�� � (do ASA�45  vuông cân)

Suy ra SC A� �105� Khi đó ta có sin105 sin 45



3 1sin105

Câu 46 [2H1-3.12-3] Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a và AC a 2 Gọi M , N lần lượt là

trung điểm của AB và CD Biết MN  và MN là đoạn vuông góc chung của a AB và CD Tính thể tích tứ diện ABCD

A

3

62

a

3

63

a

3

33

a

3

32

a

Lời giải

Câu 47 [2H1-3.12-3] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến

20 và hình chiếu vuông góc của

S xuống đáy nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S ABC

Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu của chân đường cao H lên các cạnh AB BC CA, ,

Câu 48 [1H3-5.4-3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 2 Gọi G là trọng tâm của tứ diện

ABCD và M là trung điểm của đoạn AB Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BG và

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của B trên mặt phẳng ACD suy ra H là trọng tâm của tam giác ACD

và G BH� , Gọi K là trung điểm của AH � MK/ /BH �BH / /CMK

, trong đó N là trung điểm của CD

Gọi E là hình chiếu của N trên CK�NECKM�h NE .

Tam giác CNK vuông tại N có

AC a Hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm đoạn thẳng

BC Biết rằng góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 0

60 Thể tích của khốichóp S ABC là

a

3

3012

a

Lời giải Chọn D

Cách 1

+) Gọi H là trung điểm BC Kẻ HJ AC J, �AC� ACSHJ, kẻ HK SJ K SJ, � 

Mặt phẳng SAB // Oy

và đi qua các điểm

5

;0;02

5

2

h a

a

3 24

a

3 22

a

3 33

a

Lời giải Chọn C

Gọi N là trung điểm của SB , SN a  , gọi P là điểm nằm trên đoạn SC sao cho SP a

Ta dễ tính được AN a , NP a 2, AP a 3 Theo định lí Pitago đảo suy ra ANP vuông

tại N , do SA SN SP a  nên hình chiếu vuông góc của S lên ANP là trung điểm H

6

SANP SABC

26

Câu 51: [2H1-3.2-3] Cho tứ diện ABCD có AB a  , diện tích các tam giác ABC và ABD lần lượt là

a

3203

Câu 52 [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng

SAB , SBC , SCD , SDA với mặt đáy lần lượt là 90 ,60 ,60 ,60� � � � Biết rằng tam giác

SAB vuông cân tại S , AB a  và chu vi tứ giác ABCD là 9a Tính thể tích V của khối chóp

S ABCD

A

3 34

H

Chọn D

Gọi H là trung điểm AB

Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SH  AB và 2 2

Mặt phẳng SAB

vuông góc với ABCD

theo giao tuyến AB, từ đó SH vuông góc với

ABCD

.Gọi , ,K E F lần lượt là hình chiếu của H trên BC CD DA , ,

Góc tạo bởi các mặt phẳng SBC , SCD , SDA

với mặt đáy lần lượt là SKH SEH SFH� ,� ,� Theo giả thiết ta có �SKH  �SEH SFH�  �60

Câu 53 [1H3-3.3-4] Cho hình chóp S ABCD tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a Gọi , E M lần lượt

là trung điểm các cạnhCD,SA Tính tan của góc giữa EM và mặt phẳng SBD

Lời giải

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên

22,

2

a

AC a OA OC OB OD   

.2

Câu 54 [1H3-3.3-4] Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA BC a  và �BAC �.60

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB SC, Tính côsin của góc giữa haimặt phẳng AHK

Gọi  C

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng đường kính AE của  C

.Suy ra EBAB mà EBSA nên EBSAB.

Câu 55 [1H3-4.3-3] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB3, BC4, tam

giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, d C SA ;  4 Tính côsin của góc tạo bởihai mặt phẳng SAB

2 2

Câu 56 [1H3-4.3-3] Cho hình chóp tứ giác S ABC có SAB  SBC

, SAABC

, SB BC a  2,các góc �BSC �45 , �ASB Tính côsin của  để góc giữa hai mặt phẳng SAC

và SBCbằng 45�

Tam giác BSC có �

245

Kẻ AH SB H  �SB�AHSBC�AH SC

Kẻ HK SC K  �SC�SCAHK

Vậy �AKH là góc giữa hai mặt phẳng SAC

6

BC a Góc giữa mặt phẳng AB C�

và mặt phẳng BCC B��

bằng 60� Tính thể tích V

Vậy  2

3