P6-GIẢI-VDC-Hình Giải Tích Trong Không Gian Oxyz (1)

Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng A,d, K là hình chiếu của H lên a, vậy dB,a=BK, Dễ thấy BK lớn nhất khi K trùng A, khi đó BK=AB.. Trong không gian Oxyz, gọi  P là mặt phẳng son

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ

 và hai điểmA(0; 1;3), B (1; 2;1).Tìm tọa độ điểm M

thuộc đường thẳng  sao choMA22MB2đạt giá trị nhỏ nhất

MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất khit  suy ra1 M   ( 1; 1; 1).

Câu 2: Cho đường thẳng

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1:

A , B2; 1;0  Biết điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức MA23MB2

đạt giá trị nhỏ nhất là Tmin Khi đó, Tmin bằng bao nhiêu ?

A. min

12



T

252

t 

Khi đó điểm Mcó tọa độ là

3 3 ( 1; ; )

khi

2 3

 và hai điểm A(1;0; 1), B(2;1; 1). Biết điểm M thuộc

đường thẳng  sao cho T MA2MB

Nhận xét : Ở câu 7,8 này , ta có thể giải trực tiếp khi biểu diễn điểm M theo tham số t mà

không cần tìm tâm tỉ cự của hệ điểm như lời giải trên

nvanphu1981@gmail.com

Phunghang10ph5s@gmail.com

Câu 9. Cho mặt phẳng ( ) : x2y2z 9 0 và ba điểm A(1; 2;0), B(2;0; 1), C(3;1;1). Tìm tọa độ

điểm M( ) sao cho 2MA23MB2 4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Khi đó, để 2MA23MB2 4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất thì MI có độ dài ngắn nhất

Mà M( )  M là hình chiếu vuông góc của I lên ( )

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc ( )  d có 1 VTCP u  1; 2; 2

Phương trình đường thẳng d :

42

Câu 10. Cho đường thẳng

Gọi A là điểm đối xứng của A qua  ;   là mặt phẳng qua A , vuông góc với 

Khi đó, giao điểm H của  với   là trung điểm của AA

Ta có: MA MB MA MB A B      MA MB min A B khi và chỉ khi M trùng với M là 0

giao điểm của A B và 

C min

123

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



4 338

Câu13. Cho đường thẳng

1:

  

và hai điểm A(0;1; 3), B ( 1;0; 2).Biết điểm M thuộc 

sao cho biểu thức T MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tmax.Khi đó, Tmaxbằng bao nhiêu?

A Tmax  3 B Tmax 2 3 C.Tmax 3 3 D Tmax  2

Xét vị trí tương đối giữa AB và  ta có AB cắt  tại

Câu 14. Cho mặt phẳng  :x2y2z 9 0 và ba điểm A1;2;0 , B2;0; 1 ,  C3;1;1 Tìm tọa độ

điểm M  sao cho 2MA23MB2 4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Do đó T nhỏ nhất khi MI ngắn nhất, khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên

Câu 17. Cho mặt phẳng   :2x6y 3z  và ba điểm 1 0 A1; 1; 5 ,   B0;1;2 , C2;3; 1  Biết

điểm M thuộc mặt phẳng   sao cho PMA2  2MB2  2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất là P min

Khi đó P bằng bao nhiêu?min

Câu 18. Cho mặt phẳng   :2x y  3z  và ba điểm 1 0 A1;1; 1 ,  B3;1;0 , C2;1; 1  Tìm tọa

độ điểm M  sao cho 2MA5MB 6MC

Ta có M IM ( )P  Tọa độ M là nghiệm của hệ

Câu 21. Cho mặt phẳng   :x y 2z  và hai điểm 1 0 A0; 1;1 ,  B1;1; 2  Biết M  sao cho

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, hoành độ x của điểm M là M

A.

13

M

x 

27

x 

Câu 22. Cho mặt phẳng   :x y z    và hai điểm 1 0 A1;1;0 , B3; 1;4  Gọi M là điểm thuộc

mặt phẳng   sao cho P MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó giá trị của P là:

Câu 23. Cho mặt phẳng   :x y  3z 5 0 và hai điểm A1; 1;2 ,  B5; 1;0  Biết M a b c ; ; 

thuộc mặt phẳng   sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, giá trị của biểu thức

t x y z

 Biết điểm M thuộc

đường thẳng d sao cho biểu thức T  AM BM.

đạt giá trị nhỏ nhất bằng T Khi đó giá trịmin min

Câu 26 Cho hai điểm A0; 1;2 ,  B1;1;2

thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất Khi đó, giá trị

Dấu bằng xảy ra khi

13

73

a

c

ìïï =ïïïï

Đường thẳng  đi qua M(1;0; 1) tạo với   góc lớn nhất  max,   90    

Khi đó đường thẳng  đi qua nhận M(1;0; 1) và n ( ) 2; 1;3 

làm véc tơ chỉ phương nên

Câu 28. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M4; 2;1  , song song với mặt phẳng

lythptkdhy@gmail.com , daomaiyl@gmail.com , maisonltt@gmail.com

Câu 29 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A1;1;1

, vuông góc với đường thẳng

, đồng thời tạo với trục Oz góc nhỏ nhất.

2 2

y 

thì

34

t 

+ TH1: Nếu

12

t 

Suy ra

12

a

b  Từ đó chọn a1;b 2 c5.Vậy u  1;2;5 Chọn D.



21

Tác giả: Nguyễn Thị Mai Facebook: Mai Nguyen

Chọn D

d đi qua M1; 2;0  và có một VTCP là u    1;1;2

.Gọi  P là mặt phẳng chứa Avà d.

Ta tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của B lên ( )P .

Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (A,d), K là hình chiếu của H lên a, vậy d(B,a)=BK,

Dễ thấy BK lớn nhất khi K trùng A, khi đó BK=AB Tại vị trí này,a nằm trong mp(A,d) và vuông góc với AB nên vecto chỉ phương của a là 1 1; 4; 3

Câu 35. Trong không gian Oxyz, gọi  P

là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz

Tác giả:Phạm Sơn; Fb: Phạm Sơn.

IA  điểm A(0;0;2) nằm trong mặt cầu (S).

Gọi H là hình chiếu của I lên ( )P

( )C có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi d I P ;( )  IH lớn nhất

Ta có: IHA vuông tại H  IH max IA  ( )  ( )  ( 1; 2; 1) 

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3),B(3;0;2),C(0; 2;1) Viết phương

trình mặt phẳng ( )P đi qua A B, và cách C một khoảng lớn nhất?

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;1;1), B(2;0;2);C( 1; 1;0)  ,

D(0;3;4) Trên các cạnh AB AC AD, , lần lượt lấy các điểm phẳngB C D, ,  sao cho

  chứa hai điểm M1;1;1 , N   1; 2; 1 

và tạo với đường thẳng  một góc lớn nhất

A 16x10y11z 15 0 B 16x10y11z 5 0

Lời giải Chọn D

Gỉa sử na b c; ; 

là vec-tơ pháp tuyến của  

Do mặt phẳng   chứa hai điểm M1;1;1 , N   1; 2; 1 

 

.Gọi  là góc giữa ( ) và  Khi đó

 thì

làm vec-tơ pháp tuyến, nên có phương trình là 24(x1) 2( y1) 27( z1) 0  24x2y 27z 1 0

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho điểm M1; 2;3 

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Khi đó OH ABC

Buiquyminh304@gmail.com

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;0 , B3;3;6 và đường thẳng

1 212

 Một điểm M thay đổi trên đường thẳng sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ

nhất Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác MAB là

Độ dài AB  222262 2 11

Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi MA MB nhỏ nhất

Gọi tọa độ của M là  1 2 ;1a  a a; 2 

-ïï = +íï

ï ïïî

và bađiểm A(6;0;0)

Vậy tổng bình phương các tọa độ của M là: 6

Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình

1

2

ì = ïï

-ïï =- +íï

ï =ïïî

và haiđiểm A(1; 4; 2)

-Lời giải

Tác giả: Huỳnh Đức Khánh ; Fb: Huỳnh Đức Khánh

Chọn A

Vì MÎ dÞ M(1- m; 2- +m m; 2 ) ¾¾®uuurAM = -( m m; - 6; 2m- 2) và uuurAB= -( 2; 2; 2 - )Khi đó éêëuuur uuurAB AM; ù= -úû ( 6m+16;2m- 4; 4- m+12 )

 P

Chọn D.

Ta thấy rằng điểm A và B nằm cùng phía so với mặt phẳng  P

nên ta sẽ lấy điểm A’ đối xứngvới điểm A qua mặt phẳng  P

Vecto chỉ phương của đường thẳng AA’ là u1;1;1

Suy ra phương trình đường thẳng AA’ là

1' :

Minh nghỉ đoạn này thầy giải thích

vì sao M là giao của AB với (P) băng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác

11

2

4 0

x

x y

B M

Ta có 1 1 1 4 0 1 5 4         nên A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).0

Gọi A¢ là điểm đối xứng với A(1;1;1)

ïï

D íï = +

ï = +ïïî

ìïï =ïïïï

ïï = +íï

ïï

ïï = ïïïî

-Xét hệ phương trình

5

103

32

3

310

54

Câu 54: Cho mặt phẳng  P x y z:    4 0 Tìm điểm M P

sao cho MA22MB2 nhỏ nhất, biết

3 3

M  

4 51; ;

Tác giả: Nguyễn Trung Kiên; Fb: Nguyễn Trung Kiên

.Khi đó MI là đường thẳng đi qua I và nhận vectơ pháp

tuyến của  P làm vectơ chỉ phương

Suy ra MI có phương trình

237676

- Điểm M có tọa độ là nghiệm của hệ

Câu 58. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A1;3;4 , B2;1;2

Tìm điểm M sao cho biểu thức

Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB suy ra tọa độ

1

;2;32

E G   

 

luuhuephuongtailieu@gmail.com

Mar.nang@gmail.com

Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x 32y22z 12 100 và mặt

phẳng  P : 2x 2y z  9 0 Tìm M trên mặt cầu  S sao cho khoảng cách từ M đến  P lớnnhất

Ta thấy AB2 AC2BC268 nên tam giác ABC vuông tại C

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì J là trung điểm của AB do đó J0;0;2

Mặt cầu tâm I có bán kính R IA JA   17 nên mặt cầu có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

có tâm I trùng với điểm J Vậy I0;0;2

  ; A0;0;2.Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh AA sao cho diện tích tam giác

M C D đạt giá trị lớn nhất, với D là trung điểm của B B.

A.M0;0;0. B.M0;0;2. C.M0;0;1. D.

10;0;

Dựa vào bbt có diện tích tam giácM C D đạt giá trị lớn nhất khi m  0

Gọi M là điểm thuộc mặt cầu  S

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức2

A.2 2 B.4 2 C.6 2 D.3 2

là trung điểm của IA E S Gọi F0;3;0

là trung điểm của IE

Xét tam giác IMF và tam giác IAM có

12

Ta có AB(2;2;1),  AD ( 2;1; 2)

Suy ra AB AD

và ABAD Khi đó, tam giác ABD BCD, lần lượt là các tam giác vuông cân tại A và B nên

lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC

b 

, tọa độ

11

;0;02

A 

  ,

91; ;02

B  

  , C1;0;9 Suy ra phương trình mặt phẳng ABC

là 2x2y z 11 0

Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng

4x 4y2z 7 0 và 2x 2y z  1 0 chứa hai mặt của hình lập phương Thể tích khối lậpphương đó là

A

278

V 

81 38

V 

9 32

V 

6427

V 

.

9 32

và v 2  2 ; 2t 

Ta luôn có

u  v u v    2t 2 22 9  2t 224  2 2 2 225

Dấu bằng xảy ra khi

x y z

4 4

I  

  và vuông góc với mặt phẳng  P khi đó

3:

454

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình

45

54

và bán kính của mặt cầu là: R  1Vậy phương trình của mặt cầu cần tìm là x12y2z12 1.

Câu 72. (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm

1;0; 2 ; 0; 1; 2

và mặt phẳng  P :x2y 2z12 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc  P sao cho MA MB nhỏ nhất?

Gọi A là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng  P , ta có:

MA MB MA MB A B     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M A B  P

0; 2; 44

1

x y

H z

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

C d :

2 4

1 34

Câu 74. Trong không gian cho điểm M1; 3;2 

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa

Câu75. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua

E và cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC

a b c

Gọi M N, là tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN .

cắt đường thẳng d tại P Khi đó tọa độ điểm P là nghiệm của hệ phương

trình

2;0;0 2

MK

.3

MN

Samnk.thptnhuthanh@gmail.com

Câu 77. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;2;1

Mặt phẳng  P

thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox Oy Oz, , tại A B C, , khác O Tính giá trị

nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC

và mặt phẳng   :x y z   7 0 Đường

thẳng d nằm trên   sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A B, có phương trình là

đi qua các điểm M, N sao cho khoảng cách từ điểm B đến  P gấp

hai lần khoảng cách từ điểm A đến  P . Có bao mặt phẳng  P thỏa mãn đầu bài?

tien.vuviet@yahoo.com

Câu 81. Trong không gian, cho điểm

tại hai điểmA,B phân biệt Tính diện tích lớn nhất

S của tam giác OAB.

tạix 1 Vậy diện tích S OAB lớn nhất S  7.

Câu 82. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M1;9;4

và cắt các trục tọa độ tại các điểmA,B,C

khác gốc tọa độ sao choOA OB OC 

Thử lại cả 4 trường hợp vào điều kiện  *

thấy thỏa mãn Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn

5.6

Lời giải

Tác giả : Trần Lê Thuấn FB : Trần Lê Thuấn Chọn A

sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

suy ra AB song song với mặt phẳng  P

và hai điểm A B, nằm về cùng một phía với mặt phẳng  P

Điểm M P sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất, suy ra

1 ;2

A u  2;1;6. B u  1;0;2. C u  3;4; 4 

D u  2; 2; 1 

Lời giải

Người giải: Lê Hồng Phi ; Fb: Lê Hồng Phi

Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d Khi đó,    Suy ra khoảng cách từ

A đến  ngắn nhất khi và chỉ khi  đi qua H.

R 

32

R 

32

Câu 89. Cho ba điểm A3;1;0 , B0; 1;0 ,  C0;0; 6 

Nếu tam giác ' ' 'A B C thỏa mãn hệ thức

 Tìm véc tơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A , vuông góc với d

đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.

Xét hàm số  

2 2

A ( )

(P)

Gọi  P

là mặt phẳng đi qua A   2; 2;1

và có vec tơ pháp tuyến a  2;2; 1  (a  2;2; 1  là véc

tơ chỉ phương của d), nên phương trình  P

là: 2x2y z  9 0Gọi  D

là đường thẳng đi qua B1;2; 3 

chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại A và B sao cho

đường thẳng AB vuông góc với d

AB AC AD

2



CD có trung điểm H0;1;5 Vì SH ABCD nên đường thẳng SH có vtcp u n ABCD

Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A B, sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là

Gọi H là trung điểm của AB  IH AB

1.2 3 2 6015

33

C 2 2  2 2

33

33

Vậy phương trình mặt cầu  S 2 2  2 8

33

Câu 98. Cho điểm A2;5;1 và mặt phẳng ( ) : 6P x3y 2z24 0 , H là hình chiếu vuông góc của

A trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng

loại do không thỏa mãn IA R )

Vây phương trình mặt cầu  S

t t

.Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của P ,  Q và cắt các trục tọa độ tại các

điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC là hình chóp đều.

Do     ABC là mặt phẳng xác định nên chỉ được nhận 1 trong 4 vectơ trên,   chứa d

x y z

Câu 102. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )a đi qua điểm M(1;2;3)

và cắt cáctrục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C ( khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giácABC Mặt phẳng ( )a có phương trình là:

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra d1, d2 chéo nhau

Do đó  đi qua trung điểm

3

;2;22

Câu 106. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A1; 1;2 

, song song với

Câu 107 Trong hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A(-1;0;-1) cắt 1

C

65292

a b k

A

233

Vậy đường thẳng  đi qua điểm A2;3;3 và nhận n 0; 1; 1  



làm một véc tơ chỉ phương

có phương trình:

233

d là hình chiếu của d lên  P nên d'    P  Q

 Hình chiếu song song

của d lên mặt phẳng Oxztheo phương :x11y16z1 2 có phương trình là

A

3 20

Chọn D

Gọi A d Oxz

72;0;

Gọi B là hình chiếu song song của M lên Oxz

theo phương   B d  Oxz  B3;0;1

Đường thẳng hình chiếu song song của d lên Oxz có vec tơ chỉ phương u 2AB2;0; 5 

Phương trình có dạng :

3 20

r R IH với H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên lên đường thẳng AB

qua (3;0; 2)( )

Câu 114.Trong không gian Oxyz, cho điểm M3;3; 3 thuộc mặt phẳng   : 2 – 2x y z 15 0 và

mặt cầu  S : (x 2) 2(y 3) 2(z 5) 2 100

Đường thẳng  qua M, nằm trên mặt phẳng

  cắt ( )S tại hai điểm A và B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là