VDC-DU-AN-5-HÌNH-KHÔNG-GIAN-p1-SP

Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước hình vẽ.. Câu 22: Cho hình vuông ABCD và ABEF cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳn

HÌNH KHÔNG GIAN

ĐỀ BÀI Câu 1: Cho khối lập phương ABCD A B C D. ���� Gọi M là trung điểm của AD ,  là góc giữa hai mặt phẳng BMC�

5

 

1cos

3

 

2cos

3

 

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành và có thể tích là V Gọi P là điểm trên cạnh

SC sao cho SC 5SP Một mặt phẳng   qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N Gọi

1

V là thể tích của khối chóp S AMPN Tìm giá trị lớn nhất của

1

V V

2 chiều cao của thùng

nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngoài là 54 3 dm3

Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước ( hình vẽ ) Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Câu 4: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C�� � �. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC�

a

V 

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB, AB4CD Chiều cao của

hình thang ABCD bằng a Bốn đường cao kẻ từ S của bốn mặt bên có độ dài bằng b Biết thể tích khối

S ABCD bằng

3

512

a

Khi đó:

A b2a. B

34

a

b

32

a

b

52

A 72 18 a 3 B 18 18 a 3 C 6 18 a 3 D 24 18 a 3

Câu 9: Cho hình hộp ABCD A B C D. ���� có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và

a

3

43

a

3

4 33

a

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , AD2a , SA vuông góc

với đáy, khoảng cách từ A đến SCD

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông và SAABCD Trên đường thẳng

vuông góc với ABCD

tại D lấy điểm S� thỏa mãn

12

13

V

1 2

23

V

1 2

718

V

Câu 14: Cho khối lập phương ABCD A B C D. ���� cạnh a Các điểm M N lần lượt di động trên các tia,

AC, B D�� sao cho AM B N a � 2 Khi đó, thể tích khối tứ diện AMNB� có giá trị lớn nhất là



1sin

2



2sin

a

3

318

a

3

55

a

Câu 18: Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết BAC� 300, SA a ,

BA BC a Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt SCD

Câu 20: Cho hình chópS ABCD. có đáy là hình bình hành M là trung điểm của cạnhSC Mặt phẳng

  chứa AM , cắt SD SB lần lượt tại , E và F

3

56

a

3

52

a

Câu 22: Cho hình vuông ABCD và ABEF cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc

với nhau Gọi H là điểm trên đoạn ED sao cho

13

A 608 . B 560 . C 1824 . D 564 .

Câu 25: Cho hình chóp S ABCD. Đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SB, N thuộc cạnh

SC sao cho

23

SN

SC 

, P thuộc cạnh SD sao cho

34

Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi MNP

và hìnhchóp S ABCD.

a

2 114

a

2

34

Câu 28: Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi với ���� AC2a , BD2a 3 Gọi

E là điểm nằm trên cạnh CC� sao cho EC�2EC Biết rằng khoảng cách giữa B C�� và DE bằng a 3.Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD A B C D theo a ����

A a3 3. B 2a3 3. C 6a3 3. D 12a3 3.

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

3

32

Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ���� có thể tích bằng 96 Gọi M , N , P lần lượt là trung

điểm của các cạnh AA� , CD và A D�� Tính thể tích khối chóp B MNP

A

3cos

4

 

4cos

5

 

1cos

3

 

2cos

3

 

Lời giải Chọn D

NH BH

có vectơ pháp tuyến là nr 1; 2; 2 .Mặt phẳng ABB A��

có vectơ pháp tuyến là rj0;1;0.Khi đó:

Câu 2: [2H1-2.5-4] Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành và có thể tích là V Gọi P là

điểm trên cạnh SC sao cho SC 5SP Một mặt phẳng   qua AP cắt hai cạnh SB và SD

lần lượt tại M và N Gọi V là thể tích của khối chóp 1 S AMPN Tìm giá trị lớn nhất của

1

V V

Cách 2

Đặt

SM x SB



,

SN y SD



, 0x y, �1 .

Suy ra 101 x y  35xy�x y 6xy

x y x

 , hay

15

x�

Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích

Câu 3: [2H1-2.6-4] Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một

hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng Người ta thả vào đó một khối cầu có đường

kính bằng

3

2 chiều cao của thùng nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngoài là

 3

54 3 dm Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu

đã chìm trong nước ( hình vẽ ) Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Gọi r là bán kính đáy thùng, 1 r là bán kính miệng thùng 2 r2 3r1, h là chiều cao của thùng

nước

Bán kính khối cầu:

34

Câu 4: [2H1-2.6-4] Cho hình lăng trụ đều ABC A B C�� � �. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

432

Câu 5: [2H1-2.5-4] Cho tứ diện SABC có SA SB SC   Mặt phẳng 1   thay đổi luôn đi qua

trọng tâm của tứ diện và cắt SA SB SC, , lần lượt tại A B C Tìm giá trị lớn nhất của1, ,1 1

Vì G là trọng tâm tứ diện nên ta có GA GB GC GSuuur uuur uuur uuur r   0 từ đó dẫn đến

a

Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

V 

Lời giải Chọn C

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên

22

a

AO

( O là tâm của hình vuông ABCD ).

Vì O là trung điểm của AC nên d C SBD ,   d A SBD ,  .

Kẻ AH SO, do BDSAC nên BDAH �AH SBD �d A SBD ,   AH

hay

33

Câu 7: [2H1-2.4-4] Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB, AB4CD

Chiều cao của hình thang ABCD bằng a Bốn đường cao kẻ từ S của bốn mặt bên có độ dài

bằng b Biết thể tích khối S ABCD bằng

3

512

a

Khi đó:

A b2a. B

34

a

b

32

a

b

52

a

b

Lời giải Chọn D

52

Do �SAB SCB�  � nên điểm 90 A , C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là trung điểm I của đoạn SB

Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B nên nhận trung điểm M của AC là tâm đường trònngoại tiếp Do tâm mặt cầu luôn thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đáy nên ta có IM ABC .Suy ra dA SBC;   2dM SBC;   2dM IBC;   2h�h a 3

.Xét hình chóp M IBC có MI , MB , MC đôi một vuông góc nên ta có

Xét tam giác vuông IMB có IB MI2MB2 3 2a.

Suy ra thể tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABC là

3

3

4

72 23

a

3

4 63

a

3

43

a

3

4 33

a

Lời giải

Câu 10: [2H1-2.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , AD2a,

SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến SCD

bằng 2

a

Tính thể tích khối chóp theo a

a a a a

Gọi M là trung điểm của BC, ta có

sao cho tam giác MAB luôn có diện tích bằng 16 3cm , với M là 2

trung điểm của SC Gọi  S

là mặt cầu đi qua bốn đỉnh M , A , B , C Khi thể tích khối chóp

Từ  1 ,  2 và  3 suy ra V S ABC. lớn nhất khi MH MI H I.

Khi đó MAB  ABC .

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác d ABC

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB b

và R , AB không đổi nên R nhỏ nhất khi d R nhỏ nhất b

Bài toán quy về tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d song song với AB và cách AB một khoảng 4 3cm sao cho bám kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB nhỏ nhất.

�2sin

b

AB R

AMB

=

Dựng đường tròn qua A , B và tiếp xúc với d tại K

Ta có �AMB��AKB= �60 2sin� 2sin�

Câu 13: [2H1-3.6-4] Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông và SAABCD Trên

đường thẳng vuông góc với ABCD

tại D lấy điểm S� thỏa mãn

12

S D� SA

và S, S� ở cùng phía đối với mặt phẳng ABCD

Gọi V là thể tích phần chung của hai khối chóp1

S ABCD và S ABCD�. Gọi V là thể tích khối chóp 2 S ABCD Tỉ số

1 2

V

V bằng

A

1 2

518

V

1 2

13

V

1 2

23

V

1 2

718

V

Lời giải Chọn D

Xét S AB� 

và SCD

có:

   //

718

V

Lưu ý: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S ABCD. có đáy là hình bình hành lần

lượt tại các điểm M , N , P , Q sao cho

SM x

SA 

;

SN y

SB 

;

SP z

SC 

;

SQ t

Câu 14: [2H1-3.5-4] Cho khối lập phương ABCD A B C D. ���� cạnh a Các điểm M N lần lượt di động ,

trên các tia AC, B D�� sao cho AM B N a � 2 Khi đó, thể tích khối tứ diện AMNB� có giátrị lớn nhất là

Câu 15: [1H3-3.3-4] Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và �ABC  � Hình 60

chiếu vuông góc cuả điểm S lên mặt phẳng ABC

trùng với trọng tâm của tam giác ABC Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD

, biết SB a , tính sin.

A

3sin

2



1sin

4



1sin

2



2sin

2



Lời giải Chọn D

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng SCD.

Câu 16: [2H2-1.4-4] Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD; tứ giác

ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AD3BC3a; AB a , SA a 3 Điểm I thỏa

mãn ADuuur 3uurAI; M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI Gọi ,E F lần lượt là

hình chiếu của A lên SB SC Tính thể tích , V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếptam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD

 

AM  1 AS AD

2

, SIuur uur uurAI AS � AM SI 1AS2AD AI  0

Mà AFSC �A E F H, , , đồng phẳng và cùng thuộc đường tròn đường kính AF.

Mặt khác ta có , ,E F H cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên , , , ,A C E F H cùng thuộc

mặt cầu tâm O, đường kính AC Nên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH cắt mặt phẳng

Câu 17: [2H1-3.5-3] Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông

góc của A� trên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm H của đoạn AM (M là trung điểm

cạnh BC) Biết khoảng cách giữa BC và AA� bằng

a

3

336

a

3

318

a

3

55

a

Lời giải Chọn D

Chọn A

Ta có AB//SBC�d B SCD ,   d A SCD ,  

.Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên CD và SK

73

2

a a

Tương tự ta có CBH vuông tại C�ABH  CBH � AH CH

Suy ra BH là đường phân giác của góc �ABC ��ABH 30�.

Ta có (�SA ABC, ( )) ( SA AH, )�SAH �tan�SAH  AH SH 2 2.

Câu 20: [1H2-1.2-2] Cho hình chópS ABCD. có đáy là hình bình hành M là trung điểm của cạnhSC

Mặt phẳng   chứa AM , cắt SD SB lần lượt tại , E và F

Câu 21: [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết AB a SA , 2SD, mặt phẳng

a

3

56

a

3

52

a

Lời giải Chọn D

E D

+) SAD vuông tại S có AD SA2SD2  4x2x2 x 5.

+) Kẻ SH AD Từ giả thiết �SH ABCD .

Câu 22: [2H1-3.2-3] Cho hình vuông ABCD và ABEF cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Gọi H là điểm trên đoạn ED sao cho

13

và S là điểm trên tia

đối của HB sao cho

13

Ta dễ chứng minh được ADF BCE là lăng trụ đứng..

Câu 23: [1H3-5.4-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AB CD// 

Gọi H là hình chiếu của S trên ABCD .

Ta có SA SB SC SD   �HA HB HC HD   �H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácABCD Lại có A , B cùng nhìn CD dưới một góc 90� nên H là trung điểm của CD

Có CD //AB�CD // SAB �d CD SA ,  d CD SAB ,   d H SAB ,  .

Gọi E là trung điểm AB , hạ HK SE tại K Khi đó HK SAB�d H SAB ,   HK

Có AD2 5, AC4 5�CD10, HS  SC2 HC2 2 6.

Hạ AI CD tại I thì

.4

và chiều cao của lăng trụ h12 Biết rằng có một hình cầu  S

tiếp xúc với tất cả các cạnh đáy của hình lăng trụ đã cho Hãy tính diện tích của mặt cầu  S

A 608. B 560 . C 1824 . D 564 .

Lời giải Chọn D

Giả sử mặt cầu  S

có tâm I , gọi J là hình chiếu của I trên mặt phẳng  ABCD

Do J cách đều 4 cạnh của hình thang cân ABCD nên J là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD

Theo tính chất của tiếp tuyến: AD BC  AB CD

Câu 25: [2H1-3.2-4] Cho hình chóp S ABCD. Đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SB,

N thuộc cạnh SC sao cho

23

SN

SC 

, P thuộc cạnh SD sao cho

34

SP

SD

Mặt phẳng MNPcắt SA AD BC lần lượt tại , ,, , Q E F Biết thể tích khối S MNPQ bằng 1 Tính thể tích khối ABFEQM

12566

Câu 26: [1H2-1.4-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , các cạnh bên bằng nhau và

bằng 2a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi MNP

và hình chóp S ABCD.

A

2

54

a

2 134

a

2 114

a

2

34

a

Lời giải Chọn C

Trong mpABCD

, gọi H, I, K lần lượt là giao điểm của MN và đường thẳng BC, AC,

CD Gọi F là trung điểm của OC.

Trong mpSBC

, gọi E là giao điểm của HP và đường thẳng SB

Trong mpSCD, gọi Q là giao điểm của PK và đường thẳng SD

Vậy thiết diện là ngũ giác MNQPE

Ta có: S MNQPE SPHK SHEM SKQN SPHK 2SHEM  1

Vì hình chóp S ABCD có các cạnh bên bằng nhau nên SOABCD

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên ACBD,

Áp dụng định lí Pitago trong SAO ta có:

 

2 2 2

Câu 27: [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Gọi M là trung

điểm của SA, SAB SCB� � 900, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC bằng )

621

a

Thể tích của khối chóp S ABC. bằng

Vì SAB SCB� � 900 nên , , ,S A B C nằm trên mặt cầu đường kính SB.

Gọi ,D I là trung điểm của , BC SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

OI  ABC . Gọi H là điểm đối xứng của B qua O �SH (ABC).

Gọi J BM�AI, khi đó J là trọng tâm tam giác ABC

Gọi O� là tâm của đáy ����A B C D

Khi đó A C��2a, B D��2a 3 � OA�OC�a, OB�OD�a 3.

Suy ra � � 60B D  �, � � 120A C  � và C D��2a

Kẻ EF // ��B C F BB � �

.Trong mp DCC D ��

Do đó

3

3

32

Lời giải Chọn D

Gọi H là trung điểm của cạnh AB Vì SAB đều nên SHAB.

x

SH

.Xét SHE vuông tại H đường cao HK , có

Câu 30: [2H1-3.2-4] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ���� có thể tích bằng 96 Gọi M , N , P lần

lượt là trung điểm của các cạnh AA� , CD và A D�� Tính thể tích khối chóp B MNP

A 24 B 16 C 32 D 10

Lời giải Chọn D

Gọi K, H, L lần lượt là trung điểm của DD’, DK và AD

Vì OE HK// và O, H lần lượt là trung điểm của MK, KD nên OEKH2 KD AM4  4 4x