DS c1 DIEM DAC BIET

Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong C có phương trình y f x hàm phân thức.. Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là

CHỦ ĐỀ 8 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C có phương trình m) y f x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

A B

A B C

 Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m)

II Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong ( )C có phương trình y f x( ) (hàm phân thức) Hãy tìmnhững điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung

độ của điểm đó đều là số nguyên.

Phương pháp giải:

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước 2: Lí luận để giải bài toán

III Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong ( )C có phương trình y f x( ) Tìm những điểm đối xứng nhauqua một điểm, qua đường thẳng

:

C yAx Bx Cx D  trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm ( , ) I x y I I

Phương pháp giải:

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua điểm I

Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ M, N

:

C yAx Bx Cx D  Trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

 Gọi M a Aa , 3Ba2Ca D N b Ab  , , 3Bb2Cb D  là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua gốc tọa độ

 Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ , M N

Bài toán 3: Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D  trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d y: A x B1  1

Phương pháp giải:

 Gọi M a Aa ; 3Ba2Ca D N b Ab  , ; 3Bb2Cb D  là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua đường thẳng d

phương của đường thẳng d ).

 Giải hệ phương trình tìm được M, N

IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

1.Lí thuyết:

P x y Q x y �PQ x x  y y Cho điểm M x y và đường thẳng : 0; 0 d Ax By C   , thì khoảng0

Loại 2 Khoảng cách từ M x y đến tiệm cận đứng x a 0; 0  là h x0 a

Loại 3 Khoảng cách từ M x y đến tiệm cận ngang y b 0; 0  là h y0 b

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là

giao của một đường thẳng với một đường cong ( )C nào đó Vì vậy trước khi

áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ củachúng

2.Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ax b c 0, ad bc 0

Nếu A thuộc nhánh trái thì A A

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số  C có phương trình y f x( ) Tìm tọa độ

điểm M thuộc ( ) C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Gọi M x y và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì ; 

d   x y

Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí

đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung

Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi

không xét đến

Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số

dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d

Bài toán 3: Cho đồ thị ( ) C có phương trình y f x( ) Tìm điểm M trên ( ) C sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục

 Tìm tọa độ điểm M trên ( ) C sao cho độ

dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

� �của hai tiệm cận.

Gọi M x M;y M là điểm cần tìm Khi đó:

 luôn đi qua một điểm M

cố định khi m thay đổi Tọa độ điểm M khi đó là

2

M � �� �� �.

Câu 8. Hỏi khi m thay đổi đồ thị ( C của hàm số m) y (1 2 )m x43mx2 m 1 đi qua

bao nhiêu điểm cố định ?

Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị  C của hàm số 2 1

1

x y x





 mà có tổng khoảngcách đến hai đường tiệm cận của  C bằng 4 là

một điểm M x M;y M cố định khi m thay đổi, khi đó x M y bằng M

Câu 11. Cho hàm số y  x3 mx2 x 4m có đồ thị (C và A là điểm cố định có m)

hoành độ âm của (C Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của ( ) m) C vuông m

góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 13. Trên đồ thị  C của hàm số y x 3 5x26x có bao nhiêu cặp điểm đối3

xứng nhau qua gốc tọa độ ?



Câu 17. Trên đồ thị ( )C của hàm số 6

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

Câu 22. Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số 2

2

x y x







x y

x , số điểm có hoành độ lớn hơn tung độ là

Câu 25. Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận

của  C Biết tọa độ điểm M x M;y M có hoành độ dương thuộc đồ thị  C

sao cho MI ngắn nhất Khi đó giá trị x M y M bằng





 mà có khoảng cáchđến tiệm cận ngang của  C bằng 1 là





 có đồ thị  C Gọi d là khoảng cách từ một điểm M

trên  C đến giao điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất có thể có của d là

Câu 32. Cho hàm số 1

1

x y x





 có đồ thị  C và I là giao điểm của hai đường tiệm cận

của  C Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của  C cắt hai tiệm cận của  C

tại A và B Diện tích của tam giác ABI bằng

Câu 33. Cho điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 7

1

x y x



 có đồ thị  C Gọi M là một điểm thuộc đồ thị  C và

d là tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C Giá trị nhỏ nhất của d có

Câu 37. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 2 2

Câu 38. Biết đồ thị (C của hàm số m) y x 3 3(m1)x23mx luôn luôn đi qua hai2

điểm cố định P x y và  P; P Q x y khi m thay đổi, khi đó giá trị của  Q; Q y P y Q





 sao cho khoảng cách

từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến của  C tại M là lớn nhất.là

Câu 41. Cho hàm số 2 3

2

x y x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất

kỳ của  C luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhất của

5 1

; 2

5 1 , 2

5 1

D Không tồn tại điểm M

Câu 43. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai tiệm cận của  C đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

Câu 45. Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị  C của hàm số

33

x y

Câu 46. Biết đồ thị (C của hàm số m) y x 4mx2 m 2016 luôn luôn đi qua hai điểm

M và N cố định khi m thay đổi Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là

A ( 1;0)I  B (1;2016)I C (0;1)I D I(0; 2017)

Câu 47. Cho hàm số 2

3

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

6 Câu 48. Cho hàm số

2

y x

x đối xứng nhau quađường thẳng :d x2y 6 0là

A  4; 4 và   1; 1 B 1; 5  và  1; 1.

x có đồ thị ( )C Hỏi trên ( ) C có bao nhiêu điểm có

hoành độ và tung độ là các số tự nhiên

Câu 52. Cho hàm số y  x4 2mx22m1 có đồ thị (C Gọi A là điểm cố định có m)

hoành độ dương của (C Khi tiếp tuyến tại A của ( ) m) C song song với m

đường thẳng :d y16x thì giá trị của m là

1

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai tiệm cận của  C đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 55. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 2

2

x y x

1

x y x

A  C không đi qua điểm cố định nào m

Câu 63. Tọa độ hai điểm trên đồ thị  C của hàm số y  x3 3x sao cho hai điểm2

đó đối xứng nhau qua điểm M–1; 3 là

A 1;0 ; 1;6   B.   1;0 ; 1;6 C 0; 2; 2; 4 D.   1;0 ; 1;6 .

Câu 64. Trên đồ thị  C của hàm số 3

1

x y





 sao cho tổngkhoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là





 cách đều tiệm cậnđứng và trục hoành là

A M 2;1 ,M 4;3 B M0; 1 ,  M 4;3 .

C M0; 1 ,  M 3; 2 D M 2;1 ,M 3; 2 .

Câu 68. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 2

2

x y x





 sao cho khoảng

cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm

x y

2

a a

a



�

  � � � Vậy M 0;1 ,M 2;3

x y

x y

x y

x y

M M

x

M y

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình : d y x

Vì  vuông góc với d nên ta có 4 m  13 1�m 3

A a a  a  a B b b  b  b là hai điểm trên  C đối xứng

Gọi A x x( ;A 3A4x2A9x A4), ( ;B x x B 3B 4x B2 9x B 4) là hai điểm trên ( )C đối xứng

nhau qua gốc tọa độ

� a2ab b  2 1 0 (4) (Vì a b� )

Thay (3) vào (4) ta được 2 2 2 1 0 1 1

Đồ thị hàm số (C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi m)

và chỉ khi tồn tại x0 �0 sao cho y x( )0   y x � tồn tại ( 0) x0 �0 sao cho

1,

1

m A

cx d Gọi M là điểm tùy ý thuộc  C Tiếp tuyến

tại M cắt hai tiệm cận tại , A B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Khi đó diện

tích tam giác ABI luôn là hằng số Cách tính nhanh:

1 Chọn M 2,3 thuộc  C Viết phương trình tiếp tuyến tại M là

Nhắc lại: Điểm M�( ) :C y f x  sao cho khoảng cách từ M tới Ox bằng k

lần khoảng cách từ M tới Oy có hoành độ là nghiệm phương trình

3

a a

A x x x x B x x x x là hai điểm trên ( )C đối

xứng nhau qua trục tung

(1)0

3

152

14

x y

0

0 2 0

9

0

2 0

2 0 2 0

Đồ thị hàm số (C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi m)

và chỉ khi tồn tại x0 �2 và x0 �0 sao cho y x( )0   y x( 0)

� tồn tại x0 �2 và x0 �0 sao cho

m m

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của

5 1

; 2

5 1 , 2

5 1

12

Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là x B  � với số 3   , đặt03

3 5

M

x d

Điểm 0,3

2

M � �� �� � nằm trên trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục là d = 32

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3

2

32

Giả sử  cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B Khi đó hoành độ của , A B là

nghiệm của phương trình

h x

x x

Câu 51. Chọn B

A y

�

����   �� � �Lại có y� 4x34mx� y�(1) 4 m4

Phương trình tiếp tuyến của (C tại điểm (1;0) m) A có dạng y(4m4)(x1) hay(4 4) 4 4 ( )

a a

a a

a a