Phương trình và hệ phương trình đại số

MỞ ĐẦUPhương trình và hệ phương trình là một trong những phân mônquan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng lớn trong các ngànhkhoa học và là loại toán thường gặp trong các dạng toá

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS VŨ ĐỖ LONG

HÀ NỘI - NĂM 2015

Mục lục

1 Đại cương về phương trình hữu tỉ 7

1.1 Kiến thức bổ trợ 7

1.1.1 Tính đơn điệu của hàm số 7

1.1.2 Tính chất của hàm khả vi và ứng dụng 7

1.2 Phương pháp giải phương trình bậc ba 8

1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tử 8

1.2.2 Phương pháp Cardano 8

1.3 Phương trình bậc cao 10

1.3.1 Phương trình đối xứng bậc n 11

1.3.2 Một số bài toán bậc cao 11

2 Phương pháp giải phương trình vô tỉ 14 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 14

2.1.1 Phương pháp nâng lũy thừa 14

2.1.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử 19

2.1.3 Phương pháp nhân liên hợp 25

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 39

2.2.1 Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản 40

2.2.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích 41

2.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 45

2.2.4 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 48

2.2.5 Đặt ẩn phụ đưa về hệ 51

2.3 Phương pháp đánh giá 58

2.3.1 Phương pháp dùng hằng đẳng thức 58

2.3.2 Phương pháp dùng bất đẳng thức 59

2.4 Phương pháp hàm số 63

2.5 Phương pháp lượng giác hóa 67

3 Phương trình có chứa tham số 70 3.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm 70

3.2 Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ 74

3.2.1 Sử dụng tính đối xứng 74

3.2.2 Sử dụng đặc điểm thuận lợi 76

4 Hệ phương trình đại số 79 4.1 Các loại hệ phương trình cơ bản 79

4.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I 79

4.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại II 80

4.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 82

4.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình khác 83

4.2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 83

4.2.2 Phương pháp hệ số bất định 86

4.2.3 Phương pháp biến đổi đẳng thức 91

4.2.4 Phương pháp dùng tính đơn điệu 94

4.2.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức 101

Tài liệu tham khảo 106

MỞ ĐẦU

Phương trình và hệ phương trình là một trong những phân mônquan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng lớn trong các ngànhkhoa học và là loại toán thường gặp trong các dạng toán sơ cấp Ngay

từ đầu, sự ra đời và phát triển của phương trình và hệ phương trìnhđại số đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối vớingười yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nómang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Ngàynay, phương trình và hệ phương trình đại số vẫn luôn chiếm một vaitrò quan trọng và vẫn thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Quốcgia, Quốc tế, Olympic Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứusâu hơn về phương trình và hệ phương trình nhằm nâng cao chuyênmôn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậynên tôi đã chọn đề tài làm luận văn thạc sĩ của mình là:

"Phương trình và hệ phương trình đại số."

Mục đích của luận văn này là hệ thống hóa các phương pháp giảiphương trình và hệ phương trình đại số, giúp nhận dạng các bài toán,

đề xuất các phương pháp giải và chọn phương án tối ưu

Bản luận văn được chia làm 4 chương:

Chương 1: Đại cương về phương trình hữu tỉ

Trình bày các kiến thức chuẩn bị gồm một số cách giải phươngtrình bậc ba, một vài bài tập phương trình bậc cao và một số tínhchất của hàm số

Chương 2: Phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chương này trình bày các phương pháp thường gặp trong phạm

vi chương trình phổ thông

Ở mỗi phương pháp, tác giả cố gắng tổng quát hóa các dạng bàitập mà có thể sử dụng phương pháp này, có kèm theo nhận xét, tổngquát hóa dạng toán đồng thời cho một số ví dụ minh họa cùng vớimột số bài toán tham khảo

Chương 3: Phương trình có tham số

Đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham

số, cũng như một số bài toán thường gặp trong các kỳ thi học sinhgiỏi

Chương 4: Hệ phương trình đại số

Nhắc lại các hệ phương trình cơ bản và nêu một số phương phápgiải hệ phương trình dạng khác

Mặc dù có nhiều cố gắng, xong do nhiều yếu tố khách quan và chủquan, nên trong quá trình chọn lọc tư liệu và trình bày nội dung khótránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được những ýkiến chỉ bảo của thầy cô, sự góp ý chân thành của các bạn học viên

để luận văn được hoàn thiện hơn

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đếnPGS TS Vũ Đỗ Long, người thầy đã tận tình giảng dạy, truyền thụnhững kiến thức bổ ích và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận vănnày Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp cácthắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ

- Tin học, Phòng sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóacao học 2013 -2015; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPTHồng Thái, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôihoàn thành luận văn của mình

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viêntôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Hà Nội, tháng 8 năm 2015

Học viênTrịnh Thị Hiền

Chương 1

Đại cương về phương trình hữu tỉ

1.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (a; b) và f0(x) = 0 chỉvới một số hữu hạn điểm Khi đó

• f là hàm số tăng trên (a; b) ⇔ f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)

• f là hàm số giảm trên (a; b) ⇔ f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b)

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số y = f (x)đơn điệu trên (a; b) thì phương trìnhf (x) = 0

có tối đa một nghiệm

1.1.2 Tính chất của hàm khả vi và ứng dụng

Định lý Roll Giả sử hàm f : [a; b] → R thỏa mãn

+ f liên tục trên [a; b]

+ f khả vi trong khoảng (a; b)

+ f (a) = f (b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f0(c) = 0

Hệ quả 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp n và phương trình

f(n)(x) = 0 có m nghiệm trong khoảng (a; b), khi đó phương trình f(n−1)(x) = 0

có nhiều nhất là (m + 1) nghiệm trong [a; b]

Định lý Lagrange Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên[a; b]và f0(x) tồn tại trên

(a; b) thì luôn ∃c ∈ (a; b) sao cho: f0(c) = f (b) − f (a)

b − a

1.2 Phương pháp giải phương trình bậc ba

1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tử

Xét phương trình bậc ba

ax3+ bx2+ cx + d = 0 (1.1)Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm là x = r Khi đó

2

3 , q = c +

2a3− 9ab 27

Ta chỉ xét p, q 6= 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản

Đặt y = u + v thay vào (1.3), ta được

Theo định lý Vi-et, u3, v3 là hai nghiệm của phương trình

X2+ qX − p

3

27 = 0 (1.4)Đặt ∆ = q

2

4 +

p327

2 (u0− v0)

y3 = −1

2(u0+ v0) − i

√ 3

2 (u0− v0)

Ví dụ 1.1 Giải phương trình: x3+ x2+ x = −13

GiảiPhương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử Trướckhi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình

3x3+ 3x2+ 3x + 1 = 0

Đại lượng3x3+ 3x2+ 3x + 1 gợi ta nghĩ đến một hằng đẳng thức rất quen thuộc



Ví dụ 1.2 Giải phương trình: x3− 3x 2 + 4x + 11 = 0

GiảiĐặt x = y + 1 Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình

vuuut

−13 +

r

4567 27

3

vuuut

−13 −

r

4567 27 2

Suy ra

x = 3

vuuut

−13 +

r

4567 27

3

vuuut

−13 −

r

4567 27

1.3.1 Phương trình đối xứng bậc n

Phương trình đối xứng bậc n có dạng

a0xn+ a1xn−1+ a2xn−2+ + an−2x2+ an−1x + an = 0. (1.5)Trong đó các hệ số đối xứng nhau qua số hạng ở giữa

a0 = an 6= 0; a1 = an−1; a2= an−2

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình ⇒ x 6= 0

- Khi n chẵn (phương trình đối xứng bậc chẵn), tức n = 2k thì chia hai vếcủa (1.5) cho xk ta được

số chẵn)→ áp dụng cách giải phương trình đối xứng bậc chẵn

1.3.2 Một số bài toán bậc cao

Bài toán 1.1 Giải phương trình

x6− 2x5+ x4− 7x3+ x2− 2x + 1 = 0

Giải

Chia hai vế cho x3

Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình ⇒ x 6= 0

Chia hai vế của phương trình cho x36= 0 ta được

x3− 2x2+ x − 7 + 1

x − 2

x 2 + 1

x 3 = 0 (1.7)

2 .

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ±

√ 5

5

2 −

r

3 2

Vậy phương trình có tập nghiệm S =







± √ 4 6; ±

sr

5

2 −

r

3 2

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng phương trình sau có 7 nghiệm thực

Suy ra trong mỗi khoảng (−∞; −2) , −2; − √

3
, − √

3; −1
, (−1; 0) , (0; 1) , 1; √

3
, √

3; +∞
đều có 1 nghiệm

Vậy g(x) = f (f (x)) có đúng 7 nghiệm thực 

Chương 2

Phương pháp giải phương trình vô tỉ

2.1.1 Phương pháp nâng lũy thừa

Bài toán: Giải phương trình f (x) = g(x), trong đó f (x) và g(x) là các hàm

số biến x, có thể chứa căn hoặc không chứa căn

Ta có hai phép nâng lên lũy thừa như sau

- Nâng lũy thừa bậc lẻ

Bài toán 2.1 (Đề thi HSGQG, Bảng A - 2002) Giải phương trình

Giải

Điều kiện x ≥ 1 hoặc −1 ≤ x ≤ 0 (*)

Từ điều kiện xác định của phương trình suy ra x > 1 Khi đó phương trình đãcho tương đương với

⇔ x −

r

1 − 1x

2 (thỏa mãn)Vậy phương trình có nghiệm x = 1 +

√ 5

Bài toán 2.3 Giải phương trình

" x ≤ −1

x ≥ √25

Phương trình đã cho tương đương với

2 + x + 1
nên nếu chuyển

vế các căn thức thích hợp để bình phương thì các tích trên sẽ rút gọn

Giải

Điều kiện x ≤ 1 Phương trình đã cho tương đương với

Nhận xét 2.1 Khi bài ra xuất hiện 4 căn thức dạng

p

f (x) ±pg (x) =ph (x) ±pk (x)

thì việc ta nghĩ đến sẽ là tìm mối quan hệ tổng hoặc tích giữa các căn thức để

có thể biến đổi cho phù hợp (Tùy thuộc vào dấu của các vế để xem nên dùngphép biến đổi tương đương hay hệ quả.)

i) Nếu f (x) + g (x) = h (x) + k (x) hoặcf (x) g (x) = h (x) k (x) thì ta bìnhphương hai vế lên luôn

ii) Nếuf (x) + k (x) = g (x) + h (x)hoặcf (x) k (x) = g (x) h (x) thì nên chuyển

vế rồi hãy bình phương

Nâng lũy thừa bậc ba

và sử dụng phép thế 3 f (x) + 3 g (x) = 3 h (x) ta được phương trình hệ quả:

f (x) + g (x) + 3p3

f (x) g (x) h (x) = h (x)

⇔3p3

f (x) g (x) h (x) = h (x) − f (x) − g (x)

Mũ ba hai vế lên rút gọn và giải phương trình

Bài toán 2.5 Giải phương trình

Bài toán 2.6 Giải phương trình

Nhận xét 2.3

p

g (x) = −p3

h (x) 3

Sử dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán 2.7 Giải phương trình

⇔



x ≥ √

2 − 1 do (x ≥ 0) (x − 1) x3+ 5x2+ 11x − 1
= 0 ⇔

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Bài toán 2.8 Giải phương trình

2 Khi mở rộng ra khai triển : (a + m) (b + n) = ab + na + mb + mn, (m, n ∈R)

thì việc phát hiện dạng cũng dựa vào phát hiện tích ab có trong phươngtrình Chúng ta sẽ mở rộng qua vài ví dụ

Bài toán 2.9 Giải phương trình

Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai

Bài toán 2.11 Giải phương trình

Nhận xét 2.5 Với phương trình dạng x2 = √

Bài toán 2.12 Giải phương trình

2 ∨ x = 4±

√ 3 2

x = 9 −

√ 13 2

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 +

√ 3

2 ; x =

9 − √ 13

- Nếu nhẩm được x0 là nghiệm đẹp của phương trình thì ta sẽ phân tích nhân

tử √mx + n + √

mx0+ n
(minh họa: bài toán 2.13 )

- Nếu không tìm được nghiệm đẹp của phương trình thì ta nên dùng máytính CASIO để phát hiện nhân tử của phương trình bậc 5 thu được, từ đó suy

ra nhân tử ở dạng căn thức

Bài toán 2.14 Giải phương trình

x2− 8x + 10
√

2x − 1 + x3+ 2x + 10 = 7x2

2.1.3 Phương pháp nhân liên hợp

1 Các phép nhân liên hợp thường gặp

• √x ± √

y = √x − y

x ∓ √ y

• √ 3

x ± √ 3

y = x − y3

x + √ y) và ngược lại

3 Lượng liên hợp

• Khái niệm Là lượng phù hợp cần thêm hoặc bớt ( thường là bớt)với một căn thức để sau khi thực hiện phép nhân liên hợp thì phươngtrình xuất hiện nhân tử chung Ký hiệu r(x)

• Một số lượng liên hợp thường gặp.

- Lượng liên hợp là một hằng số r(x) = a

- Lượng liên hợp là một biểu thức r(x) = ax + b Trong các dạng toánđặc biệt có chứa nhiều căn thức thì lượng liên hợp có thể ở dạng cănthức hoặc một biểu thức bất kỳ

• Một số lưu ý khi thực hiện phép nhân liên hợp

- Đảm bảo biểu thức liên hợp khác 0 trước khi thực hiện nhân liênhợp

- Tuân theo nguyên tắc chắc chắn "Lượng còn lại chắc chắn sẽ chonhân tử" (hệ quả từ định lý Bozu)

- Sử dụng linh hoạt máy tính bỏ túi để có hiệu quả tốt với các bàitoán

Dạng 1 Nhân liên hợp với một số r(x) = a

- Dùng phép nhân liên hợp: Lúc này sẽ xuất hiện nhân tử chung là (x − a)

- Thường nhân tử còn lại sẽ luôn dương (và chúng ta đi chứng minh điều đó).Bài toán 2.15 (Đề thi ĐH - Khối B Năm 2000) Giải phương trình

√ 3x + 1 − √

6 − x
+ 3x2− 14x − 5 = 0

⇔ √3x − 153x + 1 + 4+

Bài toán 2.16 (Olympic 30 - 4 đề nghị) Giải phương trình

x 2 + 5 + 3 − 3 < 0 Suy ra (∗) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Bài toán 2.17 Giải phương trình

mx + n ± √

kx + t = 0, trong đóphương trình có nghiệm đẹp nhẩm được

Bài toán 2.18 Giải phương trình

Vậy (∗) ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2(thỏa mãn điều kiện) 

Bài toán 2.19 Giải phương trình

x + √43x + 10 = √3

√

x + 79 + 3
√

x + 79 + 9
− √x − 1 + 1
4

Dạng 2 Lượng liên hợp là một biểu thức r(x) = ax + b.

Dạng 2.1 Các nghiệm nhẩm được của phương trình đều là số hữu tỉ đẹp.Bài toán 2.20 Giải phương trình

b 2 = 4

→ Cần nhóm √16 + 3x −1

3x + 4

, biểu thức liên hợp √16 + 3x +1

Bài toán 2.21 Giải phương trình

5x 2 + 4x − 1 + 3

q

(5x 2 + 4x − 1)2+ 2 x2− 3x + 2
= 0

Tính chất 2.1 Cho phương trìnhf (x) = 0 Giả sử phương trình nhận x = a lànghiệm bội thì phương trình có thể phân tích được dưới dạng

2 Suy ra biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương Do đó

(∗) ⇔ (x − 4)2 = 0 ⇔ x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 

Kiểm tra thấy



A + B = 1 A.B = −1 → A, B là nghiệm của phương trình X2− X − 1 = 0

√ 5

2 (thỏa mãn điều kiện)

+) (2)⇒ x + 1 < 0 do 2 − x + √

8 − 3x 2 > 0, ∀x ≤

r

8 3

> 0

Suy ra (2) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 ±

√ 5

√ 2 2

Dạng 3 Liên hợp với một biểu thức có thể có dạng phức tạp

Xét phương trình tổng quát

p

f (x) +pg (x) +p3

h (x) + p (x) + = 0

+ Nhẩm nghiệm x = a.

+ Tính giá trị của các số hạng có trong phương trìnhpf (a);pg (a);p3

h (a); p (a) .Xem những kết quả nào bằng nhau thì thực hiện nhân liên hợp

Chẳng hạn pf (a) =pg(a) thì đem pf (x) liên hợp với pg(x)

Bài toán 2.24 Giải phương trình

! + x − 96

! + x − 914

! + 16

! + 114

! = 0 (∗)

Rõ ràng (∗) không xảy ra với ∀x ≥ 7

Vậy phương trình có nghiệm x = 9 

Bài toán 2.25 Giải phương trình

Lượng còn lại chắc chắn có nhân tử (x − 3).

Sử dụng kỹ năng nhân liên hợp để giải phương trình

Qua các bài toán trên, ta thấy việc tìm biểu thức liên hợp để giải phươngtrình phụ thuộc khá nhiều vào việc nhẩm nghiệm Thế nhưng với đặc trưng củaphép liên hợp thì nó có "móc xích" nên việc giải một số phương trình dựa vàođặc điểm nhận dạng cũng như vài liên hệ thích hợp có thể giúp ta sử dụng hiệuquả phép liên hợp, biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để giải phương trình.Sau đây là một số ví dụ điển hình:

Bài toán 2.26 Giải phương trình

p

2x 2 − 7x + 10 = x +px 2 − 12x + 10

⇔ √ x (x + 5)2x 2 − 7x + 10 +√x 2 − 12x + 10 = x

⇒2p2x2− 7x + 10 = 5 ⇔ x = 12 ±

√ 29

2 (thỏa mãn điều kiện)Vậy phương trình có tập nghiệm S =



0;12 ±

√ 29 2

Bài toán 2.27 Giải phương trình

x = 3 3

Bài toán 2.29 Giải phương trình

dưới mẫu thức vế phải

⇔x + 1 = 0 (do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương)

⇔x = −1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x = −1 

Với một số phương trình vô tỉ, nếu ta biết cách chọn ẩn phụ một cách thíchhợp thì ta có thể đưa về phương trình hoặc hệ phương trình hữu đơn giản Vớiphương pháp đặt ẩn phụ ta có một số chú ý sau:

- Phương trình thu được thường là phương trình bậc cao

- Một số phương trình đại số có thể thu được phương trình còn chứa biến cũ,lúc đó ta tìm mối quan hệ giữa biến cũ và biến mới, sau đó tiếp tục tìm nghiệm