Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung học

SIHAVONG VILAYPHONE PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: T

SIHAVONG VILAYPHONE

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

SIHAVONG VILAYPHONE

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất cứ công trình nào khác

Tác giả luận văn

SIHAVONG VILAYPHONE

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1: LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 3

1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 3

1.1.1 Nicole Orsme (1323-1382) 3

1.1.2 Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667) 4

1.1.3 Augustin-Louis Cauchy (1789-1885) 4

1.1.4 Jean d’Alembert (1717-1783) 6

1.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐỒNG DẠNG 8

1.3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 10

1.4 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 12

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN 17

2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 17

2.1.1 Phương trình hàm Cauchy 17

2.1.2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy 21

2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN 24

2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM PEXIDER VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 25

2.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VINCZE VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 34

2.5 PHƯƠNG TRÌNH HÀM EULER 49

2.6 PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT 50

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC 59

3.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI GIẢ THIẾT HÀM LIÊN TỤC 59

3.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI GIẢ THIẾT HÀM KHẢ VI 62

3.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC 64

3.3.1 Dạng hàm số cần tìm dạng f(x)=ax+b 64

3.3.2 Dạng hàm số cần tìm có dạng ≡ ( )với P(x) là đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 67

3.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG CÁCH DÙNG CHUỖI LŨY THỪA 71

KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một lĩnh vực toán học có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác Nó có vai trò quan trọng trong nghiên cứu tin học, quá trình ngẫu nhiên kể cả trong vật lý và truyền thông…

Đối với chương trình toán bậc trung học thì phương trình hàm lại xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, mà đa số học sinh thường ít quen biết với dạng toán này

Hiện nay, nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào của chúng tôi đang chú trọng phát triển giáo dục, nên với tinh thần đó tôi cố gắng tìm hiểu về phương trình hàm để phục vụ cho công việc giảng dạy của mình tốt hơn Với

lý do như vậy tôi chọn đề tài luận văn thạc sỹ của mình là: “Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung học”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lịch sử phát triển của phương trình hàm và phân loại, ứng dụng chúng trong giải toán bậc trung học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu là tìm hiểu các loại phương trình hàm có liên quan đến chương trình toán bậc trung học Ngoài ra chúng tôi có

nghiên cứu một ít về lịch sử hình thành của phương trình hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

Trước hết chúng tôi tìm hiểu và thu thập các tài liệu liên quan về Phương trình hàm Sau đó chúng tôi sẽ tìm hiểu kỹ lưỡng và sắp xếp theo các dạng toán cụ thể

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn được chia làm 3 chương như sau:

Chương 1 Lịch sử phát triển của phương trình hàm

1.1.Sự ra đời của phương trình hàm

3.1 Các phương trình hàm với giả thiết hàm liên tục

3.2 Các phương trình hàm với giả thiết hàm khả vi

3.3 Các phương trình đa thức

3.4 Giải phương trình hàm bằng cách dùng chuỗi lũy thừa

CHƯƠNG 1

LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Trong đại số ở trường phổ thông trung học, chúng ta tìm hiểu về phương trình đại số liên quan đến một hoặc nhiều ẩn là các số thực chưa biết Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại số, tuy nhiên ẩn của nó là một hoặc nhiều hàm số Bài toán về phương trình hàm xuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi toán Vì vậy, luận văn này sẽ nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề liên quan đến phương trình hàm ở bậc phổ thông trung học Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học

1.1.1 Nicole Orsme (1323-1382)

Nicole Orsme là một nhà toán học người Pháp, ông là một trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng Năm 1348, Nicole Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của Châu Âu Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ

và được bổ nhiệm làm hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp Ông là nhà khoa học lớn nhất ở thế kỉ XIV Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều không tưởng

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm

hàm số f(x) thỏa mãn với mọi x, y,z RÎ , đôi một phân biệt, phương trình hàm sau:

( ) ( ) ( ) ( )

Và Nicole Orsme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1.1) là:

f(x)=ax+b với a,b là hằng số

1.1.2 Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm lúc đó Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregoire de Saint-Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và đã tìm ra được hàm hypebol trong

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm f x( )=loga x với a > 0,a¹1

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm

f(x)+f(y=f(xy) "x y R+, Î , thì phải đến 200 năm sau mới tìm được nhờ công của Augustin-Louis Cauchy (1789-1885)

1.1.3 Augustin-Louis Cauchy (1789-1885)

Augustin-Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789, năm xảy ra cuộc cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm Khi Cauchy được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho đến năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Parthenon Ở đó vua Napoleon đã đặt

ra nhiều giải thưởng và một kỳ thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp thuộc cùng một lớp Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất

về các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy Toán giỏi và

đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã học 2 năm ở trường này rồi Năm

1813, ông dạy toán ở Trường Bách Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ, ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những người sáng lập nên toán học hiện đại

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình hàm Các chủ để của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính xác hơn từ công việc của Augustin-Louis Cauchy Một trong những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có dạng:

f x y+ = f x + f y ,"x y R, Î (1.1.2)

Nghiệm của phương trình (1.1.2) có dạng f(x)=ax+b

Phương trình (1.1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777-1855) và Legandre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất G Darbour cũng đã nghiên

cứu phương trình (1.1.2) và chỉ ra rằng chỉ cần f (x ) hoặc liên tục tại một

điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới) trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của

phương trình (1.1.2) vẫn là f ( x) = k x Sau đó các nhà toán học còn đưa ra

nhiều hạn chế nữa, nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện (1.1.2) mãi đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877-1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập số thực R Thật bất ngờ là một trong những phương trình hàm cơ bản lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton

Từ hàng thế kỷ trước Newton, các nhà toán học đã biết đến công thức

đã không công khai thừa nhận Jean d'Alembert là con trai mình Năm 1738, Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg Sau đó ông đã đổi thành d'Alembert Năm 1741, nhờ nỗ lực của mình, d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp như trợ lý thiên văn học, hai năm tiếp theo, ông đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu về cơ học và xuất bản nhiều bài báo và nhiều cuốn sách, năm 1746, d'Alembert được thăng chức Phó Uỷ viên của Hội đồng toán học

Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy Tuy nhiên, trong vấn đề về phương trình hàm, nó có vẻ

tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau Cauchy

Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông

đơn giản ta thấy hàm số g(x)= cos(x) thỏa mãn nhưng hàm số g(x)= sin(x) thì

lại không thỏa mãn Câu hỏi đặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và

người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng g(x)= b.cosax, với việc chọn các

hằng số a, b phù hợp Tuy nhiên, khi thay x = y = 0 vào phương trình (1.1.3)

ta được g(0)=g 2 (0), suy ra g(0)= 0 hoặc g(0)= 1 lần lượt tương ứng với trường hợp b = 0 và b = 1 Với a là một hằng số tùy ý, nếu g(x) là một nghiệm bất kì của phương trình (1.1.5) thì g(ax) cũng là một nghiệm

Như vậy, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành g(x)=0 hoặc g(x)=cosx Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào khác không? Câu trả lời là có.Và một lần nữa, vào năm 1821, Cauchy đã giải được

phương trình hàm trên với điều kiện g(x) là hàm liên tục và được nghiệm là:

Sau đó người ta nghiên cứu và đã viết lại nghiệm trên thành : g(x)=0, g(x)=cosax hoặc g(x)=

Định nghĩa: Phương trình hàm đồng dạng với một phương trình hàm nhiều

biến là phương trình hàm 1 biến đơn thu được từ phương trình hàm nhiều biến bằng cách cho các biến đó bằng nhau

Ví dụ: Xét phương trình Cauchy 2 biến :

Giải: Nếu ≥ 0 ⟹ = ≥ 0 với ω ∈ ℝ

⟹ [ ( − 1)] = [ (1 − )] (1.2.4)

Thay bởi − vào (1.2.2)

(1 − ) = 1 + (− ) (1.2.5) Thay bởi − 1 vào (1.2.2):

( ) = ( − 1) + 1

⟹ ( − 1) = ( ) − 1 (1.2.6) Từ (1.2.4) , (1.2.5) , (1.2.6) , suy ra: [1 + (− )] = [ ( ) − 1] Kết hợp với: [ (− )] = [ ( )] suy ra: (− ) = − ( ) ⟹ (0) = 0 Cho = 0 vào (*) có ( ) = , ∈ ℕ∗ Nếu ≥ ⟹ − ≥ 0 ⟹ ( ) − = ( − ) ≥ 0 ⟹ ( ) ≥

Tương tự : + 1 ≥ ⟹ ( + 1) − ( ) = + 1 + (− ) = ( + 1 − ) ≥ 0 ⟹ ( ) ≤ + 1 Vậy : ([ ; + 1]) ⊂ [ ; + 1]

⟹ | ( ) − | ≤ 1; ∀ ∈ ℝ Xét K = 2n , ∈ ℕ∗ Nếu ≥ 0 Thì ( ) ≥ 0 Và 1 ≥ − ( )

= − [ ( )]

= | − ( )| + ( ) + ⋯ … … + [ ( )]

≥ | − ( )|

⟹ | − ( )| ≤

Do k tùy ý nên cho ⟶ +∞ Và khì ≥ 1

Ta có : ( ) = , ∀ ≥ 1

Dùng (*) suy ra khẳng định đúng với mọi ∈ ℝ

1.3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Đinh lí: 1.3.1 Chúng ta luôn quan tâm rằng với các điều kiện nào đó mỗi

phương trình hàm chỉ có một nghiệm duy nhất Thông thường mỗi phương trình hàm có thể có rất nhiều nghiệm

Ví dụ xét phương trình hàm sau: (f x+ =1) f x( ) Chúng ta có thể có nhiều lời giải cho bài toán này Cụ thể là chúng ta xây dựng nghiệm vô hạn như sau, cho g là hàm liên tục được xác định trên nửa khoảng [0,1) Lấy f(x)

= g(x - [x]), trong đó [x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x Khi đó,

ta thấy hàm f(x) thỏa mãn phương trình trên bởi vì (x+1) - [x+1]=x-[x] Tương tự, ta có phương trình f(f(x)) = x cũng có nghiệm vô hạn mà một trong

số nghiệm đó là f(x) = x

Trong giải các phương trình hàm, có rất nhiều nghiệm xuất hiện bằng cách lấy đạo hàm Điều quan trọng là chúng ta phải thử vào phương trình ban đầu và kiểm tra lại Nếu phép lấy đạo hàm chỉ ra có duy nhất một hàm số có thể là nghiệm thì hàm số đó chưa hẳn là nghiệm của phương trình ban đầu Mặt khác chúng ta nên tìm một hướng giải độc lập với cách giải ban đầu cho đến khi tìm ra nghiệm hoàn toàn

Ví dụ 1 : Tìm tất cả các hàm số f : [1,+¥)®[1,+ ¥), sao cho :

f(xf(y)) = yf(x) , với mọi x , y thuộc [1,+ ¥)

Giải Ta nhận thấy f(x) = x là nghiệm của bài toán Ta sẽ chứng minh

nghiệm đó là duy nhất : Cho x = y = 1 thì f(f(1)) = f(1)

Cho y = f(1) thì f(xf(f(1))) = f(1)f(x) Þ f(xf(1)) = f(1)f(x)

Mặt khác : f(xf(1)) = f(x) (gt) Þ f(1)f(x) = f(x) Þf(1) = 1, (f(1) ³ "1, x) Cho x = 1 ta được: f(f(y)) = y (i)

Nếu f(y) = 1 Þf(fy)) = f(1) = 1 , từ (i) Þy = 1

Vậy : f(y) > 1 , "y> 1

Giả sử $x0 ; f(x0) ¹xo ta xét các trường hợp sau :

Trường hợp 1: f(x0) > x0 Þ f(f(x0)) > f(x0) Û x0 > f(x0) vô lý

Trường hợp 2 : f(x0) < x0 Þ f(f(x0)) < f(x0) Û x0 < f(x0) vô lý Vậy f(x) = x , "xÎR

Ví dụ 2 : Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập hợp tất cả các số thực

nhận giá trị thực , sao cho với mọi x , y ta có : f(x2 + f(y)) = y + f2(x)

Giải

Dễ thấy f(x) = x là một nghiệm của phương trình Ta sẽ chứng minh f(x)

= x là nghiệm duy nhất của phương trình

Trước tiên ta chứng minh f(0) = 0 Cho x = y = 0 , đặt t = f(0) ,

Cho x > 0 tuỳ ý, chọn z sao cho x = z2, khi đó :

Vậy cả hai trường hợp trên cho ta : Nếu z > 0 thì f(z) = -z < 0

Bây giờ ta chọn w sao cho w2 = t thì :

F(z) = f(w2) = f2(w) < 0 điều này mâu thuẫn Vậy ta phải có f(x) = x

1.4 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài toán 1.4.1 (1996, Putnam): cho a là một số thực bất kỳ Tìm (có chứng

mình) tất cả các hàm liên tục f ∶ ℝ ⟶ ℝ sao cho

( ) = ( + ) , ∀ ∈ ℝ

Lời giải:

Trước hết ta chú ý rằng

(− ) = [(− ) + ] = ( + ) = ( ) Suy ra f là hàm số chẵn Vì thế ta chỉ cần xác định giá trị của hàm f với ≥ 0

(Vì ( ) = ⟺ + 41 = ⟺ − + 14 = 0 ⟺ = 21 ) + Nếu 0 ≤ ≤21 thì 0 ≤ ( ) ≤ 21

Vì thế trong trường hợp này dãy { ( )} là dãy tăng và bị chặn trên bởi

Vì vậy nó có một giới hạn Khi đó là điểm bất động của ( ( ) = )

+ Nếu ≥ 21 dãy { ( )} là dãy tăng và không bị chặn trên

Vì vậy f phải là hàm hằng trên ÷

ø

ö êë

2 1

Suy ra f phải là hàm hằng trên [0 ; +¥ )

Do (− ) = ( ), ∀ nên f là hàm hằng trên ℝ

Trường hợp 2

4 1

Khi đó, phương trình − + = 0 có hai nghiệm phân biệt

là hàm hằng trên [ ; +∞) Kết hợp các sự kiện này và (− ) = ( ), ∀ Ta Kết luận f là hàm hằng trên ℝ

Trong hợp 3

4 1

Trong trường hợp này không có điểm bất động Dãy { ( )} tăng nghiêm ngặt mà không bị chặn trên Hơn nữa, hàm ( ) = √ − chỉ xác định khi ≤ Vì vậy ( ) Không chứa các điểm giới hạn của nó Để tìm tất cả các hàm f, ta chia tập số thực thành các khoảng [0; ( )], [ ( ); (0)], [ (0); (0)], … …

Cho g là hàm liên tục bất kỳ trên [0; (0)] ∶ (0) = (0)

Ta xác định hàm f theo cách như sau: ( ) = ( ) Chúng ta mở rộng f tới

cácsố âm bằng định nghĩa ( ) = (− ) nếu < 0 Khi đó hàm f thỏa mãn

phương trình hàm cơ bản ở trên

Để tiếp tục làm sáng tỏ vấn đề, ta xét bài toán sau:

Bài toán 1.4.2 Tìm các hàm thỏa mãn phương trình

2 ( ) + ( ) = , ≠ 0 (1.4.1)

Lời giải

Thay bởi ta có: 2 ( ) + ( ) = (1.4.2) Nhân (1.4.1) với 2 rồi trừ cho (1.4.2) ta có:

3 ( ) = 2 −

⇒ ( ) = (2 − )

⇒ ( ) = Vậy :

( ) = + 1 Vậy định lý được chứng minh,

Định nghĩa : phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng ( + ) = ( ) + ( ),

ớ mọi số thực x và y Hàm f thỏa mãn phương trình

( + ) = ( ) + ( ) , ∀ , ∈ ℝ

được gọi là hàm cộng tính

Bài toán 2.1.1 (Bài toán phương trình hàm Cauchy)

Cho f: ℝ ⟶ ℝ là hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn

( ) = ( ), ∀ ∈ ℝ (2.1.2) Thật vậy; giả sử (2.1.2) được thỏa mãn, ta có :

( + 1) = ( + ) = ( ) + ( )

= ( ) + ( ) = ( + 1) ( ), ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℤ

Từ đó, theo nguyên lý quy nạp ta có:

( ) = ( ), ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℕ (2.1.3) Cho = Với m ; n là các số nguyên dương

Khi đó

=

Vì vậy:

( ) = ( ) ⟺ ( ) = ( )

⟺ = ( ) Hay

= ( ) Với mọi số thực t Ta có thế viết lại như sau:

( ) = ( ),

ớ mọi số thực t và mọi số hữu tỉ q dương

Kết hợp các điều kiện :

(0 ) = 0

và (− ) = − ( ), ∀ ∈ ℝ

Ta suy ra:

( ) = ( ), ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℚ (2.1.4) Bây giờ trong (2.1.3) , cho t = 1, giả sử f(1) = a Chúng ta có:

f(q) = aq Với mọi số hữu tỉ q Đến đây, do tính chất hàm f liên tục trên ℝ và tính trù mật của ℚ trong ℝ nên ta suy ra:

( ) = , ∀ ∈ ℝ, ∈ ℝ

Nhận xét

1 Trong bài toán trên, ta thấy chỉ cần giả thiết f liên tục tại một điểm

∈ ℝ cho trước là đủ Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (2.1.1) sẽ liên tục trên ℝ Thật vậy, theo giả thiết thì

Chúng ta có thế tổng kết điều đã chứng minh ở trên trong các định lý sau đây

Định lý 2.1.1 Cho hàm : ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

( + ) = ( ) + ( ),

ớ mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sau cho

( ) =

ớ mọi số hữu tỉ q

Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số hữu tỉ q bằng

số thực x bất kỳ Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng

ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục Chú ý Định lý 2.1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục Kết quả sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này

Định lý 2.1.2 Giả rằng : ℝ ⟶ ℝ và : ℝ ⟶ ℝ là các hàm liên tục sao cho ( ) = ( ) với mọi số hữu tỉ q Khi đó ( ) = ( ) với mọi số thực

Chứng minh

Kết quả này bắt nguồn từ cơ sở lí luận rằng bất kỳ số thực nào cũng có thế được xấp xỉ với một số hữu tỉ với sai số dương tùy ý

Ví dụ, chúng ta có thể viết x với một sự khai triển số thập phân vô hạn và cho

qi là số hữu tỉ thu được bằng cách khai triển số thập phân có kết thúc của x

( ) = lim → ( ) Hơn nữa, theo giả thiết các hàm f và g thỏa mãn trên tòan bộ tập số hữu tỉ Vì Vậy ( ) = ( ), ∀ = 1, 2 …Điều đó kéo theo ( ) = ( ) với mọi số thực x

Định lý 2.1.3. Cho hàm : ℝ ⟶ ℝ là một hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

( + ) = ( ) + ( )

Với mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sao cho:

( ) = , ∀ ∈ ℝ

Chứng minh

Từ định lý 2.1.1 ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho f(q) = aq Với mọi số hữu tỉ q Nhưng ( ) và ( ) = là các hàm liên tục Do đó, từ định lý 2.1.2 ta suy ra ( ) = ( ) với mọi số thực x Tức là ta có

( ) = với mọi số thực x

2.1.2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy

Định lý 2.1.4 Giả sử : ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

( + ) = ( ) + ( ), (2.1.5)

ớ mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên ℝ, nghĩa là

( ) ≤ ( ), ∀ ≤ Khi đó

≤ ( ) ≤ Qua giới hạn khi ⟶ ∞ ta được:

≤ ( ) ≤

Suy ra:

( ) = , ∀ ∈ ℝ

Hay

( ) = , ∀ ∈ ℝ, ≥ 0, Vậy định lý được chứng minh

Hệ quả Cho hàm : ℝ ⟶ ℝ xác định, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn điều kiện:

( + ) = ( ) + ( ) (2.1.6) Với mọi số thực , Khi đó ( ) = , ∈ ℝ tùy ý

( ) = 0, ∀ hoặc ( ) = , ∀

kết quả này vào (2.1.8) với = = 1, ta thu được a = a2 phương trình này cho ta hai giá trị: a = 0 hoặc a = 1 Thay các kết quả này vào (2.1.7) và (2.1.8)

ta có được điều phải chứng minh

Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy sẽ được minh họa cụ thể qua một số bài toán sau:

Bài toán 2.1.2 Xác định các hàm f liên tục trên ℝ \{0} thỏa mãn điều kiện

Kết hợp hai trường hợp a) và b) ta được:

( ) = | |, ∀ ∈ ℝ\{0}, ∈ ℝ

Từ lại ta thấy ( ) = | |, ∀ ∈ ℝ\{0}, ∈ ℝ là nghiệm của bài toán 2.1.2

Bài toán 2.1.3 Xét định các hàm ( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện

= ( ) + ( ) = ( ) + ( ), ∀ , ∈ ℝ hay

( + ) = ( ) + ( ), ∀ , ∈ ℝ

Đây là phương trình Cauchy do đó ( ) = , ∈ ℝ tùy ý

Vậy ( ) = = với > 0 tùy ý

Kết luận:

≡ 0 ( ) = , ( > 0).

2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN

Phương trình hàm Jensen là phương trình hàm có dạng

= ( ) ( ), ∀ , ∈ ℝ (2.2.1)

Và được xét như một phiên bản của phương trình hàm Cauchy dùng trung bình Một lần nữa hàm f luôn được giả thiết là hàm liên tục Để đơn giản, ta giả sử rằng miền xác định của hàm f là toàn bộ trục số thực

Nghiệm của phương trình dễ dàng thu được qua kết quả của phần trước,

Đặt ( ) = ( ) − (0) Khi đó:

= − (0) = ( ) ( )− (0) = ( ) ( )+ ( ) ( ) = ( )+ ( ) = ( ) ( )

⟹ = ( ) ( ), ∀ , ∈ ℝ (2.2.2)Trong đó, g là hàm liên tục với g(0) = 0 Trong (2.2.2) cho y = 0 ta thu được:

2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM PEXIDER VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Bài toán 2.3.1 (Phương trình hàm Pexider)[4] Tìm tất cả các hàm số f,g,h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

( + ) = ( ) + ℎ( ), ∀ , ∈ (2.3.1)

Giải Cho y=0, ta có

( ) = ( ) + với ℎ(0) =

Û ( ) = ( ) −

Cho x=0, từ phương trình (2.3.1) ta có:

( ) = + ℎ( ) ớ (0) = Phương trình (2.3.1) trở thành:

( + ) = ( ) + ( ) − − , ∀ , ∈ (2.3.2)

Đặt ( ) = ( ) + + , thay vào phương trình (2.3.2) ta được

( + ) + + = [ ( ) + + ] + ( ) + + ] − −

Û ( + ) = ( ) + ( ), ∀ , ∈ (2.3.3)

Mà f(x)là hàm liên tục trên R nên ( ) cũng lên tục trên R

Do đó, phương trình (2.3.3) là phương trình hàm Cauchy nên có nghiệm ( ) = ớ ∈

Vậy nghiệm của phương trình là:

( ) = + + ( ) = + ℎ( ) = +

Bài toán 2.3.2 Tìm tất cả các hàm f,g,h xác định và liên tục trên R thỏa mãn

điều kiện

( + ) = ( )ℎ( ), ∀ , ∈ (2.3.4)

Giải: Cho x=0, ta có:

( ) = ℎ( ) ớ = (0) Cho y=0, ta có:

( ) = ( ) ớ = ℎ(0) Nếu (0) ≠ 0 , ℎ(0) ≠ 0,

Phương trình (2.3.4) trở thành

( ) ≡ 0 ( ) ≡ 0 ℎ( )là hàm tùy ý liên tục trên

Hoặc ( ) ≡ 0

ℎ( ) ≡ 0 ( )là hàm tùy ý liên tục trên

Với ( ) = ta có: ( ) = ( ) =

ℎ( ) = Nếu (0) = = 0, ta có: ( ) ≡ 0, ∀ ∈

Nếu ( ) ≡ 0 thì ℎ( )là hàm số tùy ý

Nếu tồn tại ∈ sao cho ( ) ≠ 0, ta có:

0 = ( + ) = ( )ℎ( )Û ℎ( ) = 0, ∀ ∈ Thử lại ta thấy các hàm số trên thảo phương trình đã cho

Vậy nghiệm của phương trình là:

( ) = ( ) = ℎ( ) = Hoặc

( ) ≡ 0 ( ) ≡ 0 ℎ( )là hàm số tùy ý liên tục trên

Hoặc ( ) ≡ 0 ℎ( ) ≡ 0

( )là hàm số tùy ý liên tục trên

Bài toán 2.3.3 Xác định tất cả các hàm số f,g,h liên tục trên R + thỏa mãn

điều kiện:

f(xy)=g(x)+h(y), ∀ , ∈ (2.3.6) Giải: Cho x=1, ta có:

f(xy)=f(x)+f(y)-a-b, ∀ , ∈ (2.3.7) Đặt f(x)= ( ) + + phương trình (2.3.7)trở thành

Û y( + ) = y( ) + y( )vớiy( ) = y( ) Đây là phương trình hàm Cauchy nên có nghiệm:

y( ) =

Û ( ) = ln

Û ( ) = ln + + ( ) = ln + ℎ( ) = ln + Thử lại ta thấy các hàm số f,g,h thỏa bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là:

( ) = + + ( ) = + ℎ( ) = +

Bài toán 2.3.4 Tìm tất cả các hàm số dương f,g,h xác định và liên tục trên

thỏa mãn điều kiện f xy = g(x) h(y), ∀x, y ∈ (2.3.8) Giải: Cho x=1, ta có:

= (1) ℎ( ), ∀ ∈ = (1) ℎ( ), ∀ ∈

Û ℎ( ) = (1) , ∀ ∈

Û ℎ( ) = , ớ = (1) > 0; ∈

Cho y=1, ta có:

√ = ( ) ℎ(1), ∀ ∈ √ = ( ) ℎ(1), ∀ ∈

Û ( ) = ℎ(1) , ∀ ∈ √

Thử lại bài toán ta thấy các nghiệm đều thỏa bài toán

Vậy nghiệm củap hương trình là: ( ) =

( ) = ℎ( ) =

Bài toán 2.3.5 Tìm tất cả các hàm số f,g,h xác định và liên tục trên thỏa

mãn điều kiện

( ) ( ) , ∀ , ∈ (2.3.10) Giải: Với x=1 ta có:

( ) = ( ) + ( ), ∀ , ∈

Û y( + ) = y( ) + y( ), ∀ , ∈ , ớ y( ) = ( ) Đây là phương trình hàm Cauchy nên có nghiệm:

Thử lại ta thấy f,g,h thỏa điều kiện bài toán:

Vậy nghiệm của phương trình là:

( ) = ln

( ) = ln + ℎ( ) = ln + ớ ∈ ∈

Bài toán 2.3.6 Tìm tất cả các hàm số f,g,h xác định và liên tục trên thỏa

mãn điều kiện

=

( ) ( ), ∀ , ∈ (2.3.13) Giải: Từ phương trình (2.3.13) ta có:

1 ( ) =

( )+ ( )

2 , ∀ , ∈ (2.3.14)

Nếu x=1 ta có:

1 ( ) =

Nếu y=1 ta có:

1 (√ ) =

1

( ) =

1 (√ )+

1 ( )−

+

2 , ∀ , ∈ (2.3.15) Đặt (√ ) = √ +

+

2 ∀ ∈ ; > 0, > 0

( ) = + 2 ∀ ∈ 2 ; > 0, > 0 ( ) = ∀ ∈ 1 ; > 0 ( ) = 1 ∀ ∈ ; > 0 1

ℎ( ) = ∀ ∈ ; > 0 ℎ( ) = 1 ∀ ∈ ; > 0

Thử lại ta thấy các nghiệm f,g,h thỏa điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là:

Giải: Cho y=0 và đặt = (0) = ℎ(0)

thay vào phương trình (2.4.1) ta được:

( ) = ( ) + , ∀ ∈ (2.4.2)

Nếu a=0, ta có:

( ) = , ∀ ∈

Nếu a ≠ 0 ta có: