Phương trình truyền nhiệt ngược với nguồn lipschitz địa phương

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN n .... PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN NỬA KHÔNG GIAN TRÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã s ố: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2015

L ỜI CÁM ƠN

Tôi cũng xin kính gửi lời cám ơn đến quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư

Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, Phòng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường

động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN n

15

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC

VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN NỬA

KHÔNG GIAN TRÊN n−1× +

47

Chương 4 BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI

GIAN VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG 64

K ẾT LUẬN 89

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 90

M Ở ĐẦU

ứng dụng của toán học ngày càng được mở rộng và nhanh chóng trở thành

Phương trình truyền nhiệt là một phương trình cổ điển có nhiều ứng

[ ]

: n 0,

gian

D A trù m ật của một không gian Hilbert H Bài toán (3)-(4) là bài toán

Do đó, một phép chỉnh hóa cho Bài toán (3)-(4) cần được đưa ra

Đã có nhiều nghiên cứu trên Bài toán (3)-(4), ví dụ như các bài báo [1],

( ), ( ),

H H

h t u −h t v ≤ k u−v

cho trường hợp Lipschitz địa phương vẫn rất ít Gần đây, trong [23], tác giả

trong đó có điều kiện

( , ) ( ), ( )

H H

h t u −h t v ≤k M u−v ,

H

0

trình loại Ginzburg-Landau (xem [23]) Do đó, chúng tôi tìm một phương

phương Như vậy, chúng tôi chọn đề tài: “Phương trình truyền nhiệt ngược

để đưa ra một nghiệm xấp xỉ tốt cho bài toán Từ đó, nghiệm chỉnh hóa được

Chương 1: Trình bày một số định nghĩa, định lý và công thức quan trọng được áp dụng trong luận văn

Chương 3: Sẽ trình bày bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn Lipschitz

Chương 4: Trình bày bài toán parabolic ngược thời gian với nguồn Lipschitz địa phương

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG

không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2 Không gian ( )n

Định nghĩa 1.1.3 Cho H là không gian vectơ, trên H xác định hàm hai

iv x x, >0, x≠ và ,0 x x = nếu 0 x=0

,

G

f g =∫ f g + ∇ ∇f g dx

Định nghĩa 1.1.5 (xem [13, tr.13]) Cho X là không gian Banach với

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là không gian Banach với chuẩn Không

Định nghĩa 1.1.7 Cho X là không gian Banach với chuẩn Không

Cho X là không gian Hilbert Không gian C( [0,T]; X) là không gian

1.2 Toán t ử tuyến tính và chuỗi Fourier

Các định nghĩa và kết quả sau được trình bày trong [19] Cho một không

Định nghĩa 1.2.1 Cho A D A: ( )⊂ X → là toán tử tuyến tính liên tục X

Định nghĩa 1.2.1 Cho { }ϕn là một hệ trực chuẩn trong X Với mỗi

Định lý 1.2.2 Cho X là không gian Hilbert trên trường K ( K =  hoặc

K =C ) và ϕn là hệ trực chuẩn trong X Khi đó các điều sau là tương đương i) H ệ trực chuẩn ϕn là đầy đủ

ii) Bao l ồi tuyến tính của ϕn là trù m ật trong X

iii) V ới mỗi u X ∈ ta có đẳng thức Parseval: 2 2

Các định nghĩa sau được trình bày trong [11], [15] Cho H là một không

Định nghĩa 1.3.1 (Nửa nhóm toán tử) Một tập {T t( ) }t≥0 những toán tử

( ) ( )i T 0 w= w

( ) (ii T t+s w T t T s w T s T t w) = ( ) ( ) = ( ) ( )

( )iii ánh xạ t T t w( ) là liên tục từ [0,+ ∞ vào H )

Định nghĩa 1.3.2 (Nửa nhóm co) T được gọi là nửa nhóm co nếu

( ) 1

Định nghĩa 1.3.3 (Nửa nhóm compact) T được gọi là nửa nhóm

Mệnh đề 1.4.4 Cho α > , 0 s>t và p ∈ ( p là chuẩn của p trong n n

αα

Định lý 1.5.1 (định lý ánh xạ co xem [6]) Cho X là một không gian

Banach với chuẩn , G là tập đóng khác rỗng trong không gian X và ánh

f x − f y ≤k x− y ∀x y ∈ G Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của f , nghĩa là có duy nhất phần

t ử x0∈G sao cho f x( )0 = x0

Định nghĩa 1.5.2 (ánh xạ Lipschitz xem [6]) Cho (X; X ) (, Y; Y) là

( )− ( ) ≤ − X

Y

Định nghĩa 1.5.2 (Lipschitz địa phương) Cho (X; X ), (Y; Y) là

Y

1.6 Khái niệm chỉnh và không chỉnh

Ta định nghĩa tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard Chúng ta

Định nghĩa 1.6.1 Cho , X Y là các không gian mêtric và ánh xạ

:

( )

Au = f u∈D A ⊂ X f ∈ , Y

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN n

Chúng ta thấy K Z là m( ) ột hàm không giảm theo biến Z và K Z( )< +∞

2.1.2 Nghi ệm của bài toán (1)-(2)

[ ] ( )( ) ([ ] ( ))

( ) 2

t s p

đem lại một sai số tốt hơn (xem [18]) Theo phương pháp tựa biên, chúng tôi

trong đó A và B là các hàm số dương tiến đến 0 khi α tiến đến 0 Nhiều

A, B

2.1.3 Bài toán x ấp xỉ của (1)-(2)

và

 ( ) ( )  ( )

2 , 0

,

T

u M s

s p T

Dùng bi ến đổi Fourier n−chi ều từ (8)-(9) chúng ta nhận được (10)

( )  ( )

2 , 0

,

T

u M s

s p T

Điều kiện để (10) được định nghĩa tốt là ( 2( ) )

là tương đương nhau

2.2 Ch ỉnh hóa bài toán

  Khi t =0, chúng ta có

1 4

Chúng ta nhận xét vài điều kiện đặc biệt của Định lý 2.2.1 Điều kiện

M ệnh đề 2.2.2 Bài toán (10) có duy nhất một nghiệm trong

tương ứng với hai số liệu g và w thì chúng ta có đánh giá như sau

( )

2

2 2

1

t

K M T T t T

L L

trong đó K M là h( ) ệ số Lipschitz tương ứng với M

Để thuận tiện trong việc trình bày chứng minh cho mệnh đề này, chúng tôi sẽ ký hiệu chuẩn C([ ]0,T;L2( )n ) = C Ta có

B ổ đề 2.2.3 Với α >0 và M > V0 ới mỗi ( [ ] 2( ) )

e e

C L

j

C L

+ +

j T

C t

!

j

C t

( ) ( ) ( )

!

m m

C C

Bây gi ờ chúng tôi sẽ chứng minh Mệnh đề 2.2.2

α  −



L L

1

t

K M T T t T

L L

T T t K M t

T L

s p T

u t

T t

s p T

u t

n

T t

s p T

u t

n

T t

s p T

u t

s p T

L t

T T t K M t

T L

t =α Theo giả thiết của Mệnh đề 2.2.4 và ( ) 2( 2( ) )

u g

L T L t

( )( ) 2 0

α

t T

t

α

α =α)

t

1ln2ln 2

( )

1 1 4 4

ln ln3

L

T

βα

ln ln

T T

lim Qα

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

TRÊN N ỬA KHÔNG GIAN TRÊN n− 1× +

3.1 Gi ới thiệu bài toán

và p là môđun của p trong n− 1

s p T

M s

s p

t T

e

F f p s u p s ds e

( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 1

ipx M

trong đó min , 1

4

t T

β =  

  và t ồn tại một tα > sao cho 0

1 4

α

β =  

  Trong đó hằng số P, E là không phụ thuộc vào α

Để chứng minh Định lý 3.2.1, chúng ta chứng minh các mệnh đề sau

[ ] ( )( ) ([ ] ( ))

L L

trong đó K M là hệ số Lipschitz tương ứng với ( ) M

Chúng tôi ký hiệu chuẩn như sau: L2(n−1 ×+) = , C([0,T];L2(n−1 ×+)) = C

Chứng minh Tương tự Bổ đề 2.1.3 ta có, với ( [ ] 2( 1 ) )

2 2

2 2 1

, 0

n

t p T

ipx

u M s

s p

t T

e

F f p s e y dsd dp e

u M s

s p

t T

e

F f p s ds e

2 2

2 21

e

F g p F w p d dp e

2 2

2 21

T p

L L

u M s

s p

t T

e

F f p s ds e

11

2 2

2 2

0

n

T t

s p T

u t

, 0

2

2 2

2 2

0

n

T t

s p T

u t

2

2 2

( ) ( ) ( 2 2)

1

2 2

0

n

T t

s p T

L t

T T t K M t

T L

t =α Theo các gi ả thuyết trong Mệnh đề 3.2.4 và điều kiện

ln2

Với lý do này, nếu ta chọn t=tα thì

( )

1 1 4 4

ln ln3

L

T

βα

lim Qα

( )

1 4

Chương 4 BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI

4.1 Bài toán

4.1.1 Giới thiệu bài toán

nghĩa như trong chương 2 Dùng khai triển Fourier ta nhận được từ (33)-(34)

Thật vậy, lấy tích vô hướng 2 vế của (33) với ϕn cố định cho trước, ta có

Áp dụng công thức khai triển chuỗi Fourier ta nhận được

t T

; ;

1

α

λ α

Từ điều kiện của hàm f uα,Mα như trong chương 2, ta thấy (39) được định nghĩa tốt

Dùng khai triển Fourier, từ (37)-(38) ta nhận được (39) Thật vậy, lấy

n n

n

t t

t T

n n

n

s s

s T

Lấy tích phân 2 vế của phương trình trên ta nhận được kết quả sau

1

α

λ λ

αϕ

n

T

t n

u M n s

Ω Ω

L L

(40)

trong đó K M là hệ số Lipschitz tương ứng với M ( )

Ch ứng minh Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán

− +∞

α

− +∞

− +∞

n n

v M n u M n s

α

− +∞

2 2

− +∞

C L

− +∞

t T

T n

e

g w e

λ λ

α

− +∞

− +∞

t T T

t T

K M T T t T

L L

Nghĩa là

2 2

L L

Do đó

2 2

Ω Ω

L L

4.2 S ự chỉnh hóa

Định lý 4.2.1 Cho g∈L2( )Ω và gi ả sử 2( )

tương ứng với α sao cho g−gα L2( )Ω ≤ α

Gi ả sử rằng bài toán (33)-(34) có một nghiệm u g( )∈C( [ ]0,T ;L∞( )Ω , )

u g n n

1

t T L

β =  

  và t ồn tại một tα >0 sao cho

1 4

α

β =  

  Trong đó hằng số P, E không phụ thuộc vào α

u g n n

3 2

K M T T t t

T L

u g t u g t P e , ∀ ∈t (0,T)

(43)

trong đó ( )( ) 2( ) ( ) ( )

2 2

, 1

T s

u g n L

n t

+∞

− Ω

−

−+

∫

n n

n

T

T s T

−

−+

u g n t

t T

n n

T t

s T

t T

n n

, 1

T t

s T

( )( ) 2( ) ( ) ( )

2

, 1

, 1

T s

u g n L

n t

+∞

− Ω

3 2

K M T T t t

T L

2 2

,

1 0

T s

u g n L

n

+∞

− Ω

t =α Theo các gi ả thiết trong Mệnh đề 4.2.3 và điều kiện

1 3

t =α

Chúng ta có

ln2ln 2

( )

1 1 4 4

ln ln3

L

T

βα

ln ln

T T

lim Qα

Chúng tôi nhận xét vài điều kiện đặc biệt đối với Định lý 4.2.1 Giả

K ẾT LUẬN

ngược cho phương trình truyền nhiệt với nguồn Lipschitz địa phương

Đầu tiên, dựa trên kết quả của bài báo [24], chúng tôi đã trình bày chi tiết hơn về cách xây dựng một nghiệm chỉnh hóa cho bài toán trên toàn không

chính xác cũng được đưa ra Chúng tôi cũng đã giải quyết bài toán tương tự

Lipschitz địa phương Và chúng tôi cũng đã đưa ra được đánh giá sai số cho bài toán

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

[1] Ames K.A., Hughes R.J (2005), “Structural stability for ill-posed

problems in Banach space”, Semigroup Forum, 70, pp 127-145

[2] Andreas Kirsch (2011), An Introduction to the Mathematical Theory of

Inverse Problem, Springer, New York

[3] Clark G.W., Oppenheimer S.F (1994), “Quasi-reversibility methods for

non-well posed problems”, Electron J Differ Equat, 8, pp 1-9

[4] Denche M., Bessila K (2005), “A modified quasi-boundary value method

for ill-posed problems”, J Math Anal App, 301, pp 419-426

[5] Elias M Stein, Guido Weiss (1971), Introduction to Fourier Analysis on

Euclidean Spaces, Princenton University Press

[6] Eberhard Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its

Applications I: Fixed-Point Theorems, Springer-Verlag, New York

[7] Ghidaglia J.M (1986), “Some backward uniqueness reuslt”, Nonlinear

Anal, 10, pp 777-790

[8] Hetrick B.M.C., Hughes R.J ( 2009), “Continuous dependence on

modeling for nonlinear ill-posed problems”, J Math Anal App, 349, pp

420-435

[9] Haim Brezis (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial

Differential Equations, Springer, New York

[10] Huang Y., Zheng Q (2005), “Regularization for a class of ill-posed

Cauchy problems”, Proc Am Math Soc, 133, pp 3005-3012

[11] Konrad Schmüdgen (2012), Unbounded Self-adjoint Operators on

Hilbert Space, Springer, Netherlands

[12] Lieberman G.M (1996), Second order parabolic differential equations,

Singapore: World Scientific Publishing

[13] Lattès R., Lions J.L (1967), Méthode de quasi-réversibilité et

applications, Paris: Dunod

[14] Nam P.T (2010), “An approximate solution for nonlinear backward

parabolic equations”, J Math Anal App, 367, pp 337-349

[15] Pazy A (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to

Partial Differential Equations, Springer, New York

[16] Quan P.H., Trong D.D (2006), “A nonlinearly backward heat problem:

uniqueness, regularization and error estimate”, Applicable Anal, 85, pp

641-657

[17] Radu Precup (2002), Methods in Nonlinear Integral Equations,

Springer-Science, Business Media, B.V

[18] Showalter R.E (1984), “Cauchy problem for hyper-parabolic partial differential equations Trends in the Theory and Practice of Non linear

Analysis”, North-Holland Math Stud., Arlington, Tex, Vol 110, pp 421-425;

Holland, Amsterdam

[19] Showalter R.E (1975), “Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations Improperly Posed Boundary Value Problem (

Conf Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974)”, Vol 1, Res Note in

Math., pp 76-84; Pitman, London

[20] Thierry C., Alain H., Yvan M (1998), An introduction to semilinear

evolution equations Oxford: Clarendon Press

[21] Trong D.D., Tuan N.H (2008), “Stabilized quasi-reversibility method

for a class of nonlinear ill-posed problems”, Electron J Difer Equat, 84, pp

[23] Trong D.D., Tuan N.H (2014), “On a backward parabolic problem with

local Lipschitz source”, J Math Anal App, 414, pp 678-692

[24] Trong D.D, Duy B.T, Minh M.N (2014), “Backward heat equations

with

locally Lipschitz source”, Applicable Analysis: An International Journal,

DOI: 10.1080/00036811.2014.963063

[25] Tikhonov A., Arsénine V (1976), Méthodes de résolution de problèmes

mal posés, Editions Mir-Moscou

[26] Walter Rudin (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book

Company