Phương trình hàm toàn phương và tính ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ÀO TẠO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người h ng dẫn khoa học: TS... Đốiăt ợng nghiên cứu và ph m vi nghiên cứu - Đối tư ng nghiên c u: phương tr nh hà toàn phương.. 4.ăP ă

BỘ GIÁO DỤC VÀ ÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người h ng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng - Năm 2016

L IăC MăĐO N

N ời thực hiện

M CăL C

M ăĐ U 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 M c đích và nhiệm v nghiên c u 1

3 Đối tư ng nghiên c u và ph m vi nghiên c u 2

4 Phương pháp nghiên c u 2

5 ụ nghĩa khoa học và thực tiễn c a đề tài 2

6 i ung 2

C N ă1 P N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP N 3

MỘT S T C C 3

ÀM SO CỘ T 4

3 M T C C P TR ÀM TOÀ P 8

4 MỘT U C ÀM TOÀ P 11

5 P R C P TR ÀM TOÀ P 14

6 MỘT S V Đ M RỘ 19

7 MỘT S V 23

C N ă 2 T N ă Nă Đ N ă C ă P N ă TR N ĨMă TOĨNă P N 39

T Đ C P TR ÀM TOÀ P 39

T Đ C P TR ÀM TOÀ P SU RỘ 47

3 T Đ C P TR ÀM R S 55

4 MỘT S V Đ M RỘ 65

5 MỘT S V 71

K TăLU N 81

TĨIăLI UăT MăK O QU TăĐ N ă I OăĐ ăTĨI )

M ăĐ U

1 Lý do ch ăđề tài

Ủ thu t phương tr nh hà n i chung và phương tr nh hà toàn phương n i riêng đ ng t vai tr khá quan trọng trong gi i tích toán học Phương tr nh hà đư c nghiên c u v i nhiều c tiêu khác nhau như nghiên

c u đ nh tính nghiên c u đ nh ư ng nghiên c u đ a phương ho c nghiên

c u toàn c c Trong đ việc nghiên c u về tính n đ nh c a t phương

tr nh hà c ng đư c các nhà toán học trên th gi i khá quan t

Th o ng ch s n 94 S.M.U a đã đ t ra t c u h i iên quan

đ n tính n đ nh c a t đ ng c u Điều nà hư ng các nhà toán học đ n việc nghiên c u tính n đ nh c a t phương tr nh hà Đã c nh ng c u h i

đư c đ t ra oa quanh v n đề trên ch ng h n:

?” o c

?

?”

T đ nh t hi u về tính n đ nh c a t phương tr nh hà đ c iệt à phương tr nh hà toàn phương t i chọn đề tài:

à đề tài u n v n th c sĩ

2 M ụ ăđí ăvàă iệm vụ nghiên cứu

Tôi mong muốn t ki đư c nhiều tài liệu t các ngu n khác nhau, nghiên c u kỹ càng các tài liệu đ cố gắng ĩnh h i đầ đ các ki n th c về phương tr nh hà toàn phương và tính n đ nh nh đưa ra cách nh n toàn

diện và sâu sắc T đ các ki n th c nà đư c trình bày trong lu n v n theo

m t hệ thống gic Tôi hy vọng lu n v n c th đư c s d ng như t tài

liệu tham kh o b ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên

Trong chương c a lu n v n nà t i tr nh à t số đ nh nghĩa đ nh

Ủ iên quan đ n phương tr nh hà toàn phương Trong chương t i tr nh

à tính n đ nh c a phương tr nh hà toàn phương và t số phương tr nh

hà khác iên quan

3 Đốiăt ợng nghiên cứu và ph m vi nghiên cứu

- Đối tư ng nghiên c u: phương tr nh hà toàn phương

- Ph m vi nghiên c u: phương tr nh hà toàn phương và tính n đ nh

c a phương tr nh hà toàn phương

4.ăP ă ă iê ă ứu

Phương pháp nghiên c u: thu th p, phân tích, nghiên c u các sách vi t

về phương tr nh hà đ c iệt à phương tr nh hà toàn phương các tài iệu

về phương tr nh hà trên ng Internet và các tài liệu chuyên kh o khác

5.ăÝă ƿaăk aă c và thực tiễn củaăđề tài

Xây dựng m t chu ên đề c tính hệ thống và có th gi ng d y v i thời

ư ng ch p nh n đư c cho học sinh chuyên toán b c trung học ph th ng và cho sinh viên chu ên ngành toán t i các trường đ i học

6 N iă

Chương : Phương tr nh hà toàn phương

Chương : Tính n đ nh c a phương tr nh hà toàn phương

liên quan

C N 1

P N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP N

Toàn các k t qu c a chương nà đư c tha kh o tài iệu 5]

1.1 M TăS ăKI NăT CăC ă N

Đ ă ƿaă 1.1 Cho E là không gian

Đ ă ƿaă 1.2 (Không gian Banach) M t không gian Banach là

m t e V ờng s th c hay s ph c v i m t chu n

sao cho m i dãy Cauchy ng v i metric d x y ,  x y ) ạ

trong không gianV

Đ ă ƿaă1.3 e  G,

e x y y x, x y G,

Đ ă ƿaă1.4 G

G  G,

x y zx y z,x y z G, , 

Khi z cố đ nh k ph thu c vào z o đ ta c    x k z x.

ghĩa à, f x z , xk z  (1.6) Thay (1.6 vào f x y z ,      f x y,  f x z,

k k k





1,

m

j j j

Cho à t cơ s a trong t p các số thực hi

đ m i số thực x c th đư c i u iễn như sau

1

n

k k k

m

j j j

T 9) và 7), ta k t u n 6 đ ng v i ọi số h u t p u n tương tự áp ng cho i n số th hai và ta c ng c đư c k t u n sau đ ng cho ọi số h u t r và t t c số thực x và y

j j

k k j k

trong đ kj  f b b k, j Đ nh Ủ đư c ch ng inh hoàn toàn 

1.3 N I Mă LI Nă T Că C ă P N ă TR N ă ĨMă TOĨNă

v i n à số ngu ên ương Ti p t c ta ch ra r ng 4 nghiệ đ ng v i

ọi số ngu ên n

i s n à số ngu ên hi đ n à số ngu ên ương o đ

f nx   f n x  f  nx v f ch n    2

nghiệ đ ng v i ọi x và t t c n

Cho r à số h u t t k o đ

krn

lim n

nr x

n cr



 lim n2

n



  2

B x y  f x y  f x y 

1    

4f y x f y x 

 ,     , ,

B x y z B x z B y z

V v , B: 2 à c ng tính th o i n th nh t o B à đối ng nên B c ng c ng tính th o i n th hai V B à t hà song c ng tính

Đ nh Ủ đã đư c ch ng inh hoàn toàn 

1.5 PEXINDER C ăP N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP N

Phương tr nh hà toàn phương c ng

    2   2  

f x y  f x y  f x  f y (QE)

c ng p inđ r thành phương tr nh

f x1  y f x2  y 2f x3 2f4 y (1.34) trong đ f f1, 2, f f3, 4:  à các n hà và ,x y à các số thực

V đề đã đư c ch ng inh hoàn toàn 

ệ qu sau đư c r t ra t đề trên

Ta c th th i fi đư c cho trong đ nh Ủ tho ãn (1.34 giờ, ta ti p t c ch ng inh r ng kh ng đ nh ng c a fi à nghiệ u nh t c a phương tr nh hà (1.34)

h x y h x y  f y   f y (1.51) trong đ h x      f x1  f x2 v i x (1.52) ghiệ (1.34) à tương đương v i nghiệ hệ phương tr nh .49 và (1.51)

  1 

1

,2

T 61 đ n (1.63 ta thu đư c nghiệ đã kh ng đ nh V đ nh Ủ đã

1.6 M TăS ăV NăĐ ăM ăR N

Đ ă ă1.10 Cho  S, G e chia t cho 2  S sao

cho   x  x Sx  :f S G

v i ọi , ,x y t Cố đ nh S t th phương tr nh hà .72 à t phương tr nh

hà ns n và nghiệ c a n c th đư c t th trong đ nh Ủ à

 f x t   f x t i 65)  4h x t ,

o đ h x t,  h x t , v i ọi ,x t S (1.74)

p i, t .7 và .65) ta c

     

4h t x,  f t x f tx i 71)  f t  x f tx

f x h x x  f xx (1.79)

t h p (1.77), ta c

    1  .

,2

f x B x x  f xx (1.80) Cuối c ng ta tha x b i xx và y i yy trong (1.64), ta c

f x  x y y  f xx  f yy (1.81)

v i ọi ,x y S giờ ác đ nh : A S i G

  1  2

v i ọi , ,x y z V f tho ãn .83 điều ph i ch ng inh

Víă ụă 1.2 Cho k à số ngu ên hà số :f  tho ãn phương

V f tho ãn .93 điều ph i ch ng inh

Víă ụă1.4 Cho hà :f  tho ãn phương tr nh hà

v i ọi , ,x y z V f tho ãn .99 điều ph i ch ng inh

Víă ụă1.5 Cho hà :f  tho ãn phương tr nh hà

f x y f y z f z x f x y z 7f x 7f y 7f z  (1.104)

v i ọi , ,x y z n u và ch n u :f  tho ãn phương tr nh

f  x f x   x (1.106)

V f à hà ch n

Thay y  trong (1.104 ta c z 0 f  2x 4f x ,  x (1.107) Thay z trong (1.104 và s ng 6 và 7 ta c 0

f x y f x  f y  f x y   x y (1.108) Thay z  trong (1.104 và s ng 6 và 7 ta c y

f x y f x y f x  f y   x y

V f tho ãn Q

V f tho ãn 4) điều ph i ch ng inh

Víă ụă1.6 Cho hà :f  tho ãn phương tr nh hà

        2  

f x y f x y f y   f y f x (1.130) Thay x trong 3 s ng 5 và i n đ i ta su ra y

f x     f x x (1.131)

t h p 3 và 3 ), ta suy ra :f  tho ãn (QE)

gư c i gi s :f  tho ãn Q nên f à hà thuần nh t

V :f  tho ãn .124 điều ph i ch ng inh

Víă ụă1.7 Cho hà :f  tho ãn phương tr nh hà

Cho x  trong (1.132), ta suy ra y 0 f 0  0

Cho x trong (1.132), ta suy ra y f 4x 16f x  (1.133) Thay y i x y ta c

f x y f x y f x y f y  f x (1.134) Thay y i y trong (1.134), ta suy ra

Thay y i 4y trong 36 s ng 33 và r t gọn ta su ra

f x y f x y f y   f y f x (1.137) Thay x trong (1.137 ta c y f 2x 3f x     f x (1.138) Thay x i x trong (1.138 ta c f 2x 3f    x f x (1.139) Thay x i 2x trong (1.138), s ng 33 38 39 và r t gọn ta c f x       V t 37), ta suy ra f tho ãn Q f x , x

gư c i gi s :f  tho ãn Q nên f à hà thuần nh t

V :f  tho ãn 3 điều ph i ch ng inh

Víă ụă1.8 T phương tr nh hà ng toàn phương tho ãn phương

Suy ra       2

,2

c) Ti p th o ta ch ng t t p f x    f y | ,x y  Do  f x  0nên t n t i t giá tr y0 sao cho f y 0   hi đ t 48 ta c a 0

f x a  f x  xa f a suy ra f x a    f x  ax f a 

V v ph i à hà c nh t nên xa f a  c t p giá tr à toàn

o đ hiệu f x a    f x c ng c t p giá tr à toàn Mà

   

f x  f y | ,x y  f x a    f x x|   o đ 

số trên h n th f x  t đ tha 0 x ta đư c 0

f y     hay f à hà ch n f y y

i s t n t i a0,b sao cho 0     2

0,

f a  f b b khi đ tha ,

a) Trường h p   1

02

f  Khi đ tha x y ta đư c

 

 2  

1

14

Víă ụă1.14 T t t c các hà số :f   tho

ãn hai điều kiện sau

, ,

f nx n f x  n x  b) f  2nx 4n f x  Th t v y, trong (i) cho y x ta đư c

C N ă2

T N ă NăĐ N ăC ăP N ăTR N ă

ĨMăTOĨNăP N

Toàn các k t qu c a chương nà đư c tha kh o tài iệu 5]

Phương tr nh hà toàn phương

    2   2  

f x y  f x y  f x  f y (2.1)

à t phương tr nh quan trọng trong Ủ thu t c a các phương tr nh hà và

n đ ng vai tr quan trọng trong đ c trưng c a các kh ng gian tích trong Mọi nghiệ c a phương tr nh toàn phương đư c gọi à hà toàn phương Trong chương nà ch ng ta s tr nh à t số k t qu quan trọng iên quan

đ n tính n đ nh c a phương tr nh hà toàn phương các ng t ng quát c a phương tr nh hà toàn phương và t số phương tr nh hà khác iên quan

2.1 T N ă NăĐ N ăC ăP N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP N

Đ ă ă2.1 :f 

    2   2  

f x y  f x y  f x  f y 

,x y   ạ 0:

n f x  f x  , v i ọi số ngu ên ương n

u m n  , th m n0  à t số tự nhiên và n c th đư c tha i

n n n

n n n

Ti p th o ta t

       

2

2lim2

n n n

2lim

2

n n n

 2k 22  2k 1  0

f x  f  x   f

h n c hai v c a t đ ng th c cuối c ng cho 12

2

32

n n

f

f x f x  

 

v i ọi số ngu ên ương n

u m n  th m n0  à t số tự nhiên và n c th đư c tha i

m n trong t đ ng th c trên V ta c

2

01

2

32

3.2 n n

n n n

2

n n n

n n n

2lim

2

n n n

nh t hi đ t n t i t hà toàn phương khác :s  sao cho

v i ,t x Đ nh Ủ đư c ch ng inh hoàn toàn 

2.2 T N ă NăĐ N ăC ăP N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP N ă

3136

3124

Trư c tiên ta thay x và y 3 i x và y tương ng ta c

e

v i ọi x ơn n a n u f tx4  iên t c theo t v i i x th

hà toàn phương Q tho ãn Q tx t Q x2   v i ọi x

v i x t k ơn n a n u f tx4  iên t c theo t v i ọi x , th 2

giờ cho Q A A', 1', 2':  à hà toàn phương và các hà c ng tính khác tương ng tho ãn các t đ ng th c trong (2.12) thay cho

v i ọi x Tương tự ta c th ch ng inh r ng A x1 A x1'  v i x

t k Đ nh Ủ đã đư c ch ng inh hoàn toàn 

f x  A x  f  f x  g x  f  g x A x g  g 6

6 

 điều nà đã ch ng inh t đ ng th c .7 ) Tương tự 78 8 và .84 ta c

          13

3

g x Q x  g x Q x  g x   điều nà đã ch ng inh t đ ng th c .73)

Phần c n i à ch ng inh tính u nh t c a các hà Q và A Cho ':

A  và ':Q  à hà c ng tính khác và hà toàn phương khác tương ng, à tho ãn các t đ ng th c .7 và .73) thay cho A và Q

nh t t hà toàn phương Q1:  sao cho

S ng Q1 à hà toàn phương và chia t đ ng th c trên cho ta su

Cuối c ng ta ch ng inh tính u nh t c a Q và A Cho ':A 

và ':Q  à t hà c ng tính khác và t hà toàn phương khác tho

2.4 M TăS ăV NăĐ ăM ăR N

22,

.

4 f 2x  f x 4 f 0 4 2  x p



và g 0  V v 0 g x  à phương tr nh hà toàn phương khi x  y 0Khi y và 0 x ta c 0

V v g E: 1E2 à toàn phương trên E1

Trường h p : Khi p , trong (2.91), cho 2 x  ta th y 0 f  0  0Sau đ tha c x và y cho

Ch ng inh g à hà toàn phương tương tự như trường h p tr việc thay x và y trong .9 i 2 n

Đ ch ng inh tính u nh t c a hà toàn phương g trong ( 9 ta

gi s ngư c i r ng c t hà toàn phương khác h E: 1E2 tho ãn .9 và t đi yE2 v i a  g y   h y  V ọi hà toàn 0phương đều đư c i u iễn t cách u nh t th o t hà song c ng tính đối ng V v g x   B x x, trong đ B E: 1 E1 E2 à t hà song

c ng tính đối ng Th o đ ta c   2  

,

g rx r g x v i ọi r nguyên Tương tự   2  

h rx r h x v i r ngu ên hi đ hai hà g và h đều tho

V g à u nh t Đ nh Ủ đư c ch ng inh hoàn toàn 



Víă ụă2.2 u :f  tho ãn t phương tr nh hà

f x y f x z f z x f x  y z 7f x 7f y 7f z    (2.106)

v i  ương nào đ v i ọi , ,x y z th ch ng t r ng t n t i u nh t

t hà toàn phương :T  sao cho

n k k

V i ọi số ngu ên ương m n  ta c 0 3   

Ta t        3

lim

9

n n n

Víă ụă2.3 u :f  tho ãn t phương tr nh hà

và     ,

2 9 3

p p

3

9 9

k n

k k

1 3

9 18

k k

p k

3 3

18.9 9

p

k n m

Ta c      3  

lim

9

n n n

g  sao cho       ,

2 9 3

p p

p p

xx

n k

92.3 3

p n

32.3

p n

k p p

p

k p p

 0

xf

  

   

  à ã Cauch nên c gi i h n trong Ta ác đ nh

hà :Q  sao cho   lim9 ,

3

n n n

i s :Q  à kh ng u nh t hi đ t n t i t hà khác :

s  sao cho       ,

2 3 9

p p

2

0

n p

K TăLU N

ư i sự hư ng n c a TS Cao V n u i t i đã hoàn thành u n v n

đ ng ti n đ và đ t đư c c đích đề ra u n v n

” đã thu đư c các k t qu sau:

1 ệ thống i các đ nh nghĩa đ nh Ủ quan trọng iên quan đ n hà song c ng tính hà toàn phương phương tr nh hà toàn phương, tính n

đ nh c a phương tr nh hà toàn phương và t số phương tr nh hà iên quan

Tr nh à t số ài t p iên quan đ n các phương tr nh hà ng toàn phương và tính n đ nh

V i ph vi c a đề tài và thời gian c h n u n v n kh ng tránh kh i

nh ng thi u s t Tác gi kính ong nh n đư c sự g p Ủ c a quỦ thầ c và

n đọc quan t đ đề tài đư c hoàn thiện hơn