Phương trình, bất phương trình, hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit.. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, hệ thống các tài liệu liên quan đến đề tài khóa luận, đặc biệt là

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của bài nghiên cứu 3

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

I Hàm số mũ 4

II Hàm số lôgarit 6

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ .11

I Phương trình hàm số mũ 11

1 Phương pháp biến đổi tương đương và đưa về cùng một cơ số 11

2 Phương pháp logarit hóa 12

3 Phương pháp đặt ẩn phụ 14

4 Phương pháp hàm số 23

5 Phương pháp đồ thị 37

6 Phương pháp điều kiện cần và đủ 39

7 Phương pháp đánh giá 41

II Bất phương trình hàm số mũ 43

1 Phương pháp biển đổi tương đương 43

2 Phương pháp lôgarit hóa và đưa về cùng cơ số 46

3 Phương pháp đặt ẩn phụ 49

4 Phương pháp hàm số 54

5 Phương pháp điều kiện cần và đủ 58

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ LÔGARIT 62

I Phương trình hàm số lôgarit 62

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số 62

2 Phương pháp đặt ẩn phụ 64

3 Phương pháp hàm số 73

4 Phương pháp đồ thị 84

5 Phương pháp điều kiện cần và đủ 86

6 Phương pháp đánh giá 88

II Bất phương trình hàm số lôgarit 89

1 Phương pháp biển đổi tương đương 89

2 Phương pháp đặt ẩn phụ 91

3 Phương pháp hàm số 96

4 Phương pháp đồ thị 101

5 Phương pháp điều kiện cần và đủ 103

6 Phương pháp đánh giá 104

KẾT LUẬN 106

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán đã truyền đạt, chỉ dạy cho em những kiến thức bổ ích và quý báu trong suốt 4 năm học đại học vừa qua

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - những người đã luôn cổ

vũ động viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán học bậc phổ thông, phần phương trình, bất phương trình

là một trong những nội dung quan trọng, và được đưa vào giảng dạy ngay từ bậc phổ thông cơ sở Ở bậc phổ thông trung học, hai lớp hàm: Hàm số mũ, hàm số lôgarit là hai hàm ngược của nhau và có nhiều tính chất Do đó có nhiều cách giải khác nhau cho lớp phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lôgarit Việc rèn luyện các kỹ năng giải phương trình, bất phương trình là cần thiết đối với cả người dạy và người học Là một sinh viên ngành sư phạm Toán, là một giáo viên Toán tương lai, tôi chọn

đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mình là: “Phương trình, bất phương trình hàm số

mũ và hàm số logarit”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu và hệ thống các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, cùng các ví dụ minh họa

- Nghiên cứu các tính chất của hàm số có thể vận dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lôgarit thuộc chương trình phổ thông

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, hệ thống các tài liệu liên quan đến đề tài khóa luận, đặc biệt là các tài liệu về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Phân tích, xử lý các tài liệu thu thập được để thực hiện khóa luận

- Trao đổi, thảo luận với thầy hướng dẫn và các chuyên gia

5 Cấu trúc của bài nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của bài khóa luận này gồm 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương này nhắc lại một số kiến thức về hàm số mũ, hàm số lôgarit cùng những tính chất, kết quả liên quan để làm cơ sở cho các chương sau

Chương 2: Phương trình, bất phương trình hàm số mũ

Chương này trình bày các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm

số mũ cùng những ví dụ minh họa

Chương 3: Phương trình, bất phương trình hàm số lôgarit

Chương này trình bày các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm

số lôgarit cùng những ví dụ minh họa

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này nhắc lại một số kiến thức về hàm số mũ, hàm số lôgarit cùng những tính chất, kết quả liên quan để làm cơ sở cho các chương sau

I Hàm số mũ

1 Định nghĩa

Hàm số xác định bởi công thức , trong đó là một số dương khác , được gọi là hàm số mũ cơ số

Số gọi là cơ số của hàm số mũ

Miền xác định của hàm số mũ là toàn bộ trục số, tức là khoảng

2 Tính chất của hàm số mũ

- Hàm số liên tục tại mọi điểm

- Miền giá trị của hàm số là

- Hàm số tăng khi và giảm khi

3 Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số mũ

Bảng biến thiên của hàm số mũ

Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của đồ thị hàm số mũ trong hai trường hợp và

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua

+ Đồ thị hàm số mũ luôn luôn ở phía trên trục hoành

Cho số thực và Lôgarit cơ số của số là một số mà lũy

thừa của với số mũ thì bằng Ký hiệu lôgarit cơ số của là

Vậy

2 Định nghĩa

Cho số và Ta đã biết hàm số mũ là một hàm số đơn điệu xác định trên toàn bộ tập số thực, tức là khoảng và có tập giá trị là Do đó nó có hàm số ngược, xác định trên khoảng và có tập giá trị

Để tìm biểu thức của hàm số ngược này ta xuất phát từ công thức của hàm số mũ , rồi biểu thị qua Theo định nghĩa của lôgarit, ta có hàm số là hàm số ngược của hàm số mũ

Thay thế các kí hiệu của và cho nhau, ta được hàm số Hàm số ngược này được gọi là hàm số lôgarit cơ số Như vậy ta có định nghĩa sau:

Cho số hàm số lôgarit theo cơ số xác định với mọi giá trị dương của

biến số và cho bởi công thức:

3 Tính chất của hàm số lôgarit a) Hàm số là hàm số xác định và liên tục tại mọi điểm , và khi thì

b) Miền giá trị của hàm số

c) Khi hàm số là một hàm số tăng, còn khi hàm số là hàm số giảm 4 Bảng biến thiên và đồ thị hàm số lôgarit Bảng biến thiên của hàm số

Bảng biến thiên trên cho ta hình dạng tổng quát của đồ thị hàm số lôgarit trong hai trường hợp và

Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số với Đồ thị hàm số với

* Nhận xét:

+ Đồ thị của hàm số luôn đi qua

+ Đồ thị hàm số luôn ở bên phải trục tung

+ Các hàm số và đối xứng nhau qua trục hoành

+ ,

+

+

Với , và , ta có: +

+ ( )

+

+

Khi thì

Khi thì

b Công thức đổi cơ số Với a, b là hai số dương khác , và là một số dương, ta có:

III Một số kết quả về hàm khả vi 1 Định lý Lagrange Cho hàm số liên tục trên và khả vi trên Khi đó tồn tại một số thực c sao cho

2 Định lý Rôn

Nếu hàm số lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình sẽ

không có quá hai nghiệm thuộc D

5 Bất đẳng thức Bunhiacôpsky đối với hai cặp số

Với hai cặp số thực và ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ

I Phương trình hàm số mũ

1 Phương pháp biến đổi tương đương và đưa về cùng một cơ số

{

a Quy trình của phương pháp - Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình - Bước 2 Biến đổi các hàm số mũ có trong phương trình về cùng một cơ số - Bước 3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ để giải b Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

Giải: Bước 1 Điều kiện của phương trình

Bước 2 Phương trình

Bước 3 Phương trình

thỏa điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2: [Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998] Giải phương trình:

Giải:

( ) ( )

( ) ( )

Đặt ( ) , phương trình trở thành:

( )

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là

2 Phương pháp logarit hóa Dạng 1: Phương trình:

{ {

Dạng 2: Phương trình:

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng hoặc hoặc Lấy lôgarit 2 vế, tách ẩn số ra khỏi số mũ của hàm lũy thừa

- Bước 3 Giải phương trình thu được

√

√

Bước 3 Phương trình (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Giải:

Phương trình có tập xác định

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 2, ta được: ( )

[

Vậy phương trình có nghiệm ,

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Để giải PT-BPT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ Tức là thay thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ và chuyển về những PT – BPT mà ta đã biết cách giải

* Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Biến đổi phương trình để làm xuất hiện dấu hiện của ẩn phụ Đặt ẩn

phụ, sau đó chuyển phương trình thành phương trình với một ẩn phụ hay thành một hệ phương trình với một ẩn phụ, hai ẩn phụ

- Bước 3 Đưa về phương trình đã biết giải Giải phương trình theo ẩn phụ Thay

giá trị của ẩn phụ vừa tìm được rồi giải tìm ẩn chính ban đầu

Sau đây là 4 phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng

*Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử, ta chia cả hai

vế của phương trình cho hoặc ( rồi đặt ( ) , điều kiện hẹp

ta được phương trình:

Dạng 4: Lượng giác hóa

*Cần lưu ý:

Ta sử dụng điều kiện hẹp cho trường hợp đặt vì:

+ Nếu đặt thì là điều kiện đúng

+ Nếu thì chỉ là điều kiện hẹp, bở thực chất

√

Vậy nghiệm của phương trình là

Ví dụ 6: Giải phương trình sau:

Giải: Bước 1 Phương trình có tập xác định

Bước 2 Làm xuất hiện ẩn phụ bằng cách:

Chia cả 2 vế phương trình cho ta được:

Đặt ẩn phụ điều kiện

Bước 3 Khi đó phương trình có dạng: [

[

[

*

*

Vậy phương trình có 2 nghiệm

3.2 Phương pháp dùng ẩn phụ - Dạng 2

Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2 là dùng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu

thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa x

Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được

thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp Khi đó ta có thể để phương trình dưới dạng:

“Chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa x.”

Trong trường hợp này ta thường được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn ) có biệt số là một số chính phương

Ta có , do đó có hai nghiệm hoặc

[

[

Vậy phương trình có nghiệm

3.3 Phương pháp dùng ẩn phụ - Dạng 3

Phương pháp dùng ẩn phụ - dạng 3 là dùng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với hai ẩn phụ và biến đổi phương trình thành phương trình tích

*Ví dụ minh họa

Ví dụ 9: Giải phương trình:

Giải:

Bước 1 Tập xác định

Bước 2 Biến đổi phương trình làm xuất hiện ẩn phụ

Viết lại phương trình dưới dạng:

Đặt ẩn phụ {

, điều kiện Khi đó bất phương trình có dạng:

Bước 3 Phương trình *

* *

Vậy, phương trình có nghiệm

+ Phương trình thứ nhất có được từ phương trình đầu bài

+ Phương trình thứ k-1 có được từ việc đánh giá mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng

Trong trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình mũ

thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

- Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng

- Bước 3 Đặt (x), ta biến đổi phương trình thành hệ:

{

- Bước 4 Giải hệ phương trình thu được

*Chú ý: Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 11: [1] Giải phương trình sau:

Khi đó ta có hệ phương trình {

{

[

{ {

+ Với {

ta được: {

+ Với {

ta được: {

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

[ Với , ta được:

√ √

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Chọn các số chia đoạn [a,b] thành k

khoảng thỏa mãn

{

+

Đa thức có bậc 3, nên có đúng 3 nghiệm phức là ở trên

Bước 3 Vậy ta được:

Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt và chúng nhỏ hơn 1

Ta có:

, vậy tồn tại để

Suy ra Từ đó phương trình luôn có một nghiệm , nghĩa

là phương trình luôn có một nghiệm dương

4.2 Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

Có 3 tính chất của hàm đơn điệu thường được sử dụng để giải phương trình và bất phương trình như sau:

4.2.1 Tính chất 1: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên thì số nghiệm của phương trình: trên không nhiều hơn một

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Chuyển phương trình về dạng

- Bước 3 Xét hàm số Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 15: Cho phương trình: Chứng minh rằng với mọi phương

trình luôn có nghiệm duy nhất

Bước 1 Phương trình có tập xác định

Với mọi phương trình luôn có nghiệm duy nhất

4.2.2 Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khoảng và hàm là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng

(Do đó nếu tồn tại sao cho thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Chuyển phương trình về dạng

Bước 1 Điều kiện

Bước 2 Phương trình đã cho có dạng

Bước 3

+ Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

+ Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Bước 4 Nhận xét rằng là nghiệm của phương trình (1) vì: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

4.2.3 Tính chất 3: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng thì

với mọi thuộc

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Chuyển phương trình về dạng

- Bước 3 Xét hàm số dùng lập luận khẳng định hàm là đơn điệu

- Bước 4 Khi đó với mọi

Vậy phương trình có 2 nghiệm √

4.3 Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Với phương trình có chứa tham số:

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Lập luận số nghiệm của là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): và đường thẳng

- Bước 3 Xét hàm số

+ Tìm miền xác định D

+ Tính đạo hàm , rồi giải phương trình

+ Lập bảng biến thiên của hàm số

- Bước 4 Kết luận

+ Phương trình có nghiệm

+ Phương trình có nghiệm phân biệt tại k điểm phân biệt

+ Phương trình vô nghiệm

b Ví dụ minh họa

a Giải phương trình với

b Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Giải:

Bước 1 Phương trình có tập xác định

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng

phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

Ví dụ 19: Cho phương trình

( )

a Giải phương trình với

b Giải phương trình với

a Với , phương trình có nghiệm duy nhất

b Với , phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta nhận được

c Phương trình có nghiệm khi

Ví dụ 20: Giải và biện luận theo số nghiệm của phương trình:

+ Với hoặc √ √ , phương trình có nghiệm duy nhất

+ Với √ √ , phương trình có hai nghiệm phân biệt

4.4 Sử dụng Định lý Lagrange, Định lý Rôn

4.4.1 Sử dụng Định lý Lagrange để chứng minh sự tồn tại nghiệm

Từ Định lý Lagrange, nếu thì sao cho:

phương trình có nghiệm thuộc

Vậy, để áp dụng được kết quả trên vào việc chứng minh phương trình

có nghiệm trong điều quan trọng nhất là tìm được hàm (thực chất nó chính

là nguyên hàm của hàm )

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Xác định hàm số F(x) khải vi và liên tục trên và thỏa mãn

(i) (tức là ∫ (ii)

- Bước 3 Khi đó sao cho:

phương trình có nghiệm thuộc

b Ví dụ minh họa

Với :

, tức là phương trình luôn có nghiệm

4.4.2 Sử dụng định lý Lagrange để giải phương trình

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

- Bước 2 Gọi là nghiệm của phương trình

- Bước 3 Biến đổi phương trình về dạng thích hợp từ đó chỉ ra được hàm số khả vi và liên tục trên Khi đó theo định lý Lagrange sao cho

- Bước 4 Giải ta xác định được

Bước 5 Thử lại ta thấy đều thoản mãn

Vậy phương trình có nghiệm và

4.4.3 Sử dụng Định lý Rôn

a Quy trình của phương pháp

- Bước 1 Tìm tập xác định của phương trình

- Bước 2 Xét hàm số trên

Sử dụng đạo hàm khẳng định rằng hàm số lồi hoặc lõm trên miền D

- Bước 3 Vậy phương trình nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm

Ta cần chỉ ra hai giá trị sao cho:

hàm số lõm trên

Bước 3 Vậy phương trình nếu có nghiệm sẽ không quá hai nghiệm, ta có:

Bước 4 Do đó phương trình có hai nghiệm và

Ví dụ 24: [1] Giải phương trình: với

Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng