Bai tp phng phap ti u nhuongld

a Lập mô hình bài toán tối ưu tuyến tính cho vấn đề trên b Đưa bài toán tối ưu tuyến tính thu được về dạng chính tắc c Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình.. 1 2 3 a Lập mô hình bài to

Trang 1

1

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU

ThS.Lê Đắc Nhường

Phần 1 Mô hình bài toán tối ưu

Bài 1:

Một cơ sở sản xuất dự định sản xuất 2 loại sản phẩm A và B Các sản phẩm này được chế tạo từ

ba loại nguyên liệu I, II, III Số lượng đơn vị dự trữ của từng loại nguyên liệu và số lượng đơn vị từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng dưới đây:

Loại nguyên liệu Nguyên liệu dự trữ

Số lượng đơn vị nguyên liệu cần cùngcho việc sản

xuất một đơn vị sản phẩm

Hãy lập kế hoạch sản xuất, tức là tính xem cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu được là lớn nhất, biết rằng bán một đơn vị sản phẩm A thu lãi 3 trăm nghìn đồng, bán một đơn vị sản phẩm B thi lãi 2 trăm nghìn đồng

a Lập mô hình bài toán cho bài toán tối ưu trên

a Đưa bài toán tối ưu về dạng chính tắc

b Giải bài toán tối ưu trên dùng phương pháp đơn hình

Bài 2:

Có một loại hàng cần được vận chuyển từ hai kho (trạm phát) P1 và P2 tới ba nơi tiêu thụ (trạm thu) là T1, T2, T3 Bảng dưới đây cho biết số lượng hành cần vận chuyển đii ở mỗi kho và số lượng hàng cần nhận ở mỗi nơi tiêu thụ và cước phí vận chuyển một đơn vị hành từ mỗi kho tới nơi tiêu thụ tương ứng

Hãy lập kế hoạch vận chuyển thỏa mãn mọi yêu cầu thu phát sao cho chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

a Lập mô hình bài toán cho bài toán tối ưu trên

b Đưa bài toán tối ưu về dạng chính tắc

c Giải bài toán tối ưu trên dùng phương pháp đơn hình

Bài 3

Một phân xưởng sản xuất thép có những thanh thép nguyên dài 3.8 mét Cần cắt thành ba loại đoạn ngắn hơn là T ,T ,T với độ dài tương ứng là 1.8 mét, 1.4 mét và 1.0 mét Có tất cả 5 mẫu cắt 1 2 3 khác nhau (cho trong bảng)

Hỏi cần phải cắt theo mỗi mẫu bao nhiêu thanh thép nguyên để vừa đủ số lượng các đoạn

1 2 3

T ,T ,T mà phân xưởng cần sao cho tổng phần thép thừa là nhỏ nhất?

1

2

3

Bài 4

Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện và 150 giờ máy mài để chế tại ba loại sản phẩm A, B và C Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy

Trang 2

2

tiện, 3 giờ máy mài; một đơn vị sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; một đơn vị sản phẩm

C cần 5 giờ máy cán, 3 giờ máy tiện, 2 giờ máy mài Mỗi sản phẩm A trị giá 48 nghìn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 nghìn đồng và mỗi sản phẩm C trị giá 27 nghìn đồng Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cần chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng số giá trị sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất với điều kiện không dùng quá số giờ hiện có của mỗi loại máy

a) Lập mô hình bài toán tối ưu tuyến tính cho vấn đề trên

b) Đưa bài toán tối ưu tuyến tính thu được về dạng chính tắc

c) Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình

Bài 5

Một trại chăn nuôi gia súc cần mua 3 loại thức ăn tổng hợp T ,T ,T Theo công thức chế biến:1 2 3

 Trong 1 kg T1 có 3 đơn vị dinh dưỡng D1, 1 đơn vị dinh dưỡng D2

Cho biết giá mua 1 kg T1 là 15 nghìn đồng, 1 kg T2 là 12 nghìn đồng, 1 kg T3 là 10 nghìn đồng

và mỗi bữa ăn cho gia súc cần tối thiểu 160 đơn vị dinh dưỡng D1 và 140 đơn vị dinh dưỡng D2 Vấn đề là tìm sô lượng kg T ,T ,T cần mua để chi phí mua thức ăn cho 1 bữa của gia súc là ít nhất 1 2 3

Bài 6

Một nhà máy cán thép có thể sản xuất 2 loại sản phẩm thép tấm và thép cuộn Nếu chỉ sản xuất một loại sản phẩm thì nhà máy chỉ có thể sản xuất 200 tấn thép tấm hoặc 140 tấn thép cuộn trong một giờ Lợi nhuận thu được khi bán một tấn thép tấm là 25USD, một tấn thép cuộn là 30USD Nhà máy làm việc 40 giờ trong một tuần và thị trường tiêu thụ tối đa là 6000 tấn thép tấm và 4000 tấn thép cuộn Vấn đề đặt ra là nhà máy cần sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu trong một tuần để đạt lợi nhuận cao nhất Hãy trình bày bài toán tối ưu cho vấn đề trên

Bài 7

Một xưởng làm cửa sắt có những thanh thép dài 12 mét, cần cắt thành 8 đoạn dài 4 mét, 5 đoạn dài 5 mét và 3 đoạn dài 7 mét Có 5 mẫu cắt như sau:

 Mẫu 1: 3 đoạn 4 mét, không thừa

 Mẫu 2: 1 đoạn 4 mét và 1 đoạn 5 mét, thừa 3 mét

 Mẫu 3: 1 đoạn 4 mét và 1 đoạn 7 mét, thừa 1 mét

 Mẫu 4: 2 đoạn 5 mét, thừa 2 mét

 Mẫu 5: 1 đoạn 5 mét và 1 đoạn 7 mét, không thừa

Lập bài toán tối ưu tuyến tính để tìm các mẫu cắt tiết kiệm nhất

b) Đưa bài toán tối ưu tuyến tính thu được về dạng chính tắc, chuẩn tắc

Bài 8

Có 3 người cùng phải đi một quảng đường dài 10km mà chỉ có một chiếc xe đạp một chổ ngồi Tốc độ đi bộ của người thứ nhất là 4km/h, người thứ hai là 2km/h, người thứ ba là 2km/h Tốc độ đi

xe đạp của người thứ nhất là 16km/h, người thứ hai là 12km/h, người thứ ba là 12km/h Vấn đề đặt

ra là làm sao để thời gian người cuối cùng đến đích là ngắn nhất Hãy trình bày bài toán tối ưu cho vấn đề trên

Bài 9

Trang 3

3

Một nhà máy sản xuất ba loại thịt : bò, lợn và cừu với lượng sản xuất mỗi ngày là 480 tấn thịt bò,

400 tấn thịt lợn, 230 tấn thịt cừu Mỗi loại đều có thể bán được ở dạng tươi hoặc nấu chín Tổng lượng các loại thịt có thể nấu chín để bán là 420 tấn trong giờ và 250 tấn ngoài giờ Lợi nhuận thu được từ việc bán một tấn mỗi loại thịt được cho trong bảng sau đây:

Hãy trình bày bài toán tối ưu để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất

c) Giải bài toán tối ưu trên dùng thuật toán đơn hình

Bài 10

Một xưởng mộc làm bàn và ghế Một công nhân làm xong một cái bàn phải mất 2 giờ, một cái ghế phải mất 30 phút Khách hàng thường mua nhiều nhất là 4 ghế kèm theo 1 bàn do đó tỷ lệ sản xuất giữa ghế và bàn nhiều nhất là 4:1 Giá bán một cái bàn là 135USD, một cái ghế là 50USD Hãy trình bày bài toán tối ưu để xưởng mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết rằng xưởng có 4 công nhân đều làm việc 8 giờ mỗi ngày

Bài 11

Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm ra một cái mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp 2 lần thời gian làm ra một cái kiểu thứ hai Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì nhà máy làm được 500 cái mỗi ngày Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều nhất là 150 cái mũ kiểu thứ nhất và 200 cái kiểu thứ hai Tiền lãi khi bán một cái mũ kiểu thứ nhất là 8USD, một cái mũ thứ hai là 5USD Hãy trình bày bài toán tối ưu để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất

Bài 12

Trong hai tuần một con gà mái đẻ được 12 trứng hoặc ấp được 4 trứng nở ra gà con Sau 8 tuần thì bán tất cả gà con và trứng với giá 0,6USD một gà và 0,1USD một trứng Hãy trình bày bài toán tối ưu bố trí 100 gà mái đẻ trứng hoặc ấp trứng sao cho doanh thu là nhiều nhất

Bài 13

Một công ty kinh doanh địa ốc định xây dựng 40 căn nhà trên khu dân cư mới Công ty định xây dựng 4 loại nhà: nhà trệt, nhà 2 tầng, nhà 3 tầng, biệt thự Theo tính toán của công ty thì mỗi loại nhà phải xây ít nhất là 4 cái thì mới lợi cho quy trình thi công và trang bị kĩ thuật Ngoài ra thời gian phải hoàn thành là 3 năm nếu không sẽ có nhiều biến động và lãi suất ngân hàng sẽ quá cao Suất tiêu hao thời gian cho mỗi căn nhà mỗi loại (ngày) cùng với lãi (USD) 1 căn nhà mỗi loại cho trong bảng:

Loại nhà Công việc Trệt 2 tầng 3 tầng Biệt thự

Công ty cần xác định kế hoạch xây nhà mỗi loại để tổng lãi là lớn nhất Lập mô hình bài toán

Trang 4

4

Bài 14

Công ty Bao Bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy đựng: thuốc B1, cao sao vàng, bông Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau Mỗi tấm bìa có 5 cách cắt khác nhau.Theo kế hoạch số hộp B1 phải có là 1500, số hộp bông là 2000, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 Cần phương án cắt sao cho tổng số bìa phải dùng là ít nhất

Lập mô hình bài toán, biết các cách cắt được cho bởi bảng bên

Cách Hộp B1 Hộp cao Hộp bông

Bài 15

Một nhà máy lọc dầu hiện có các loại dầu thô A, B, C với trữ lượng lần lượt là 30000, 25000,

42000 đơn vị Nhà máy có thể chế biến dầu thô thành các loại sản phẩm theo các phương thức như trong bảng:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán tìm kế hoạch sản xuất tối ưu sao cho tổng doanh số bán sản phẩm chế biến lớn nhất

Bài 16

Xí nghiệp cơ khí Hải Phòng cần cắt 1200 đoạn thép dài 0,45 m, 1000 đoạn dài 0,8 m, 1150 đoạn dài 0,55 m Để có các đoạn thép này, xí nghiệp dùng 2 loại thanh thép: loại I dài 1,4 m, loại II dài 1,6

m Cần tìm phương án cắt sao cho tổng số mẫu thép thừa là ít nhất Lập mô hình bài toán trên

Phần 2 Tập phương án của bài toán tối ưu

Bài 17: Đưa các bài toán sau về dạng chính tắc

a

j

x 0 ( j 1, 4 )







b

j

x 0 ( j 1, 4)



    





c.

Trang 5

5

j







Bài 18: Giải bài toán tối ưu bằng phương pháp hình học:

1 2

f x 3x 2x max

x x 4

x 2x 14 5x 2x 30

x ,x 0

  

  



  



  





Bài 19: Giải bài toán tối ưu bằng phương pháp hình học: 21x124x2 max

1 2

3x 33

13 D=

5 8 80 , 0

x

x x

 



  



  





Bài 20: Giải bài toán tối ưu bằng phương pháp hình học: f x  2x1x2 min

 

1 2





 





Bài 21: Giải các bài toán tối ưu bằng phương pháp hình học

1

( ) 3 4 max

2 1

3 5

3 3 1

1

x

x x

  

  



 



  



   



1, 2

5 0

x x





  





Trang 6

6

1

5

0

x



  



  



 



Phần 3 Phương pháp đơn hình dạng bảng

Bài 25: Giải bài toán tối ưu dạng chuẩn tắc bằng phương pháp hình học & phương pháp đơn hình

f x x 4x max

2

1 2

x ,x 0







21x 24x max

Trang 7

7

13 D=

x

x x







18x 6x m ax

1 2

- 4x 3 6

3 15 D=

4 4 , 0

 



  



  





x

x x

Bài 28: Giải bài toán tối ưu dạng chuẩn tắc bằng phương pháp đơn hình

max 4

2x1 x2 x3x4 

Thỏa mãn miền ràng buộc D=

j

x x







f x x 4x max

Thỏa mãn các ràng buộc:

2

1 2

x ,x 0







j





f(x) = x1  x2 2 min























0 ,

3 2 2

2 1

x x

f(x) = 10x1 + 40x2  max

Thỏa mãn các ràng buộc sau:







1 2 2 j

2x 3x 22

x 0, j 1 2

Trang 8

8

f(x) = 6x16x2 max

1

1 2

10 0

x

x ,x



  





f(x) = - 8x1 - 12x2 + 5x3  max









j

x 0, j 1 3

f(x) = 5x14x2 2x3 max

1 2 3

0

x ,x ,x



    





f(x) = 6x110x28x312x4 max









3x 2x x 2x 60

2x 4x 3x 4x 120

x 2x 2x 2x 30

x 0, j 1 3; x tuy ý

Phần 4 Phương pháp đánh thuế M

Bài 37: Giải bài toán tối ưu tuyến tính sau đây bằng thuật toán M







j

x 0 ( j 1, 4)

Trang 9

9







j

x 0 ( j 1, 5)



    





j

x 0 ( j 1, 4)







j

x 0 ( j 1, 5)





   





j

f (x) 2x x Max

x 0 ( j 1, 3)

j

x 0, j 1 4







j

x 0, j 1 4







f(x) = 2x1 + x2 + x3  min

Trang 10

10

j

x + x + x + x + x = 5

x + x + 2x + 2x + 2x = 8

x + x = 2

x + x + x = 3

x 0, j = 1, 2, , 5















f(x) = - 2x1 + x2 - x3  min

j

x - x + 2x 8 2x + 2x - x = 4

- x + x + x 1

x 0, j = 1 3









f(x) = 2x1x2 x3x4 max

   



    



    





j

x x 2x x 2 2x x 3x x 6

x x x x 7

x 0, j 1 4

f(x) = 20x140x320x5 min

    







j

x x x x x 50

x x x x 20

x x x 10

x 0, j 1 5

f(x) = 2x118x25x3 14x4 max







j

2x 7x x 8x 14 2x 10x 2x 10x 20

x 0, j 1 4

f(x) = 4x18x25x3 6x44x5 max

    







x x x 10x 2x 10

2x 2x 3x 10x 17

x 0, j 1 4,x tùy ý

f(x) =  x1 6x232x34x4 x510x6100x7 max

Trang 11

11







j

3x x 4x 2x x 2

x 0, j 1 7

Phần 5 Phương pháp đơn hình hai pha

Bài 51: Giải bài toán tối ưu tuyến tính sau đây bằng thuật toán đơn hình hai pha

f(x) = 2x1 - 10x2 + 4x3 - 6x4  max



     





j

3x x 2x 16

x 2x x 2x 4

x 3x x 0

x 0, j 1 4

f x x 3x min

  



  





1 2

x x 2

x 2x 10

x ,x 0

f(x) = 2x1 + x2 + x3  min,

j

x + x + x + x + x = 5

x + x + 2x + 2x + 2x = 8

x + x = 2

x + x + x = 3

x 0, j = 1, 2, , 5















f(x) = - 2x1 + x2 - x3  min

j

x - x + 2x 8 2x + 2x - x = 4

- x + x + x 1

x 0, j = 1 3









Bài 55: Giải bài toán tối ưu tuyến tính tổng quát sau:

f(x) = 2x16x218x3x4 min

   



     





j

x x 3x x 2 2x x x 2x 12 3x 4x 8x 2x 16

x 0, j 1 4,

Bài 56: Giải bài toán tối ưu tuyến tính tổng quát sau:

f(x) = 2x15x24x36x4 max

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,07 MB