Bai ging phng phap phn t hu hn

NORTH SAINT - AMITABHA  Còn chiều của các ẩn số được quy ước như sau: các chuyển vị đường có chiều dương theo chiều với hệ trục toạ độ chung, chuyển vị góc xoay có chiều quay ngược chi

Nhằm tạo điều kiện cho các bạn sinh viên có thêm tài liệu tóm tắt, đơn giản phục vụ môn học Phương pháp phần tử hữu hạn (Thực ra mục đích ban đầu của nó không phải như vậy ) nên mình viết cuốn này Nội dung chủ yếu trình bày những vấn đề cơ bản, điều quan tâm để phục vụ học tập và thi cử Tập trung nội dung là bài toán thanh, gồm hầu hết các dạng toán cơ bản được trình bày Vì mục đích ban đầu của nó phục vụ cho vài cá nhân nhỏ lẻ, nên phạm vi tài liệu chỉ là một phần của môn học Do đó, mình hy vọng các bạn hãy tham khảo chính là tài liệu của giảng viên tại nơi mình theo học Mặt khác việc trình bày hướng giải quyết các bài toán cũng theo quan điểm cá nhân, nên đôi khi có những điểm hay vấn đề tương quan sẽ không phù hợp với quan điểm của giảng viên giảng dạy bạn, vì vậy hãy tham khảo có tính chọn lọc

Bài giảng có tham khảo nguồn tài liệu của nhiều trường Đại học, trong đó chủ yếu là tài liệu của trường Đại học Giao thông Vận Tải Hà Nội và Đại học Xây dựng Hà Nội

Trong quá trình viết, mình đã cố gắng tìm hiểu để đưa ra sự chuẩn nhất về mặt nội dung, nhưng do trình độ còn hạn chế nên việc sai sót là không thể tránh khỏi Hy vọng bạn đọc đóng góp ý kiến để tài liệu được hoàn thiện hơn Với mục đích đó hy vọng các bạn hãy tham khảo tài liệu chính trên trang https://utc-vn.academia.edu/NORTHSAINT, để cập nhật được tài liệu một cách chính xác nhất

Hy vọng các bạn học tập tốt và đạt điểm cao trong kỳ thi Hãy nêu cao phong trào “Vì một ngày mai không có học lại”, chủ động, tích cực, chăm chỉ

là cách mà bạn làm cho nó trở nên tuyệt hơn

Bài giảng đã được cập nhật lại so với

phiên bản ban đầu

Tác giả

NS

MụC lục

CHƯƠNG 1 : kiến thức cơ sở 7

1.1 khái niệm cơ bản 7

1.2 Rời rạc kết cấu 7

1.3 Các dạng phần tử 8

1.4 Hàm xấp xỉ 8

1.5 Phương trình cơ bản 9

1.5.1 Chuyển vị 9

1.5.2 Biến dạng 9

1.5.3 ứng suất 9

1.6 Các thông số phổ biến và công thức chuyển trục 9

1.6.1 Các thông số cơ bản 9

1.6.2 Chuyển trục toạ độ 10

1.7 Các quy định cơ bản 10

1.8 Xử lý điều kiện biên 11

1.8.1 Các liên kết với đất 11

1.8.2 Các liên kết giữa nội bộ kết cấu với nhau 13

1.9 Trình tự phân tích một bài toán theo phương pháp PTHH 16

CHƯƠNG 2 : Bài toán hệ thanh 17

2.1 Kiến thức cơ bản 17

2.2 Phần tử thanh chịu lực dọc trục 18

2.3 Hệ giàn phẳng 25

2.3.1 Sơ đồ phân tích 25

2.3.2 Các thông số cơ bản và hướng trình bày 26

NORTH SAINT - AMITABHA 

2.4 Thanh chịu xoắn thuần tuý 35

2.5 Bài toán dầm chịu uốn phẳng (uốn ngang phẳng) 39

2.6 Bài toán khung phẳng 46

CHƯƠNG 3 : Bài toán phẳng 58

3.1 Tổng quan 58

3.2 Bài toán ứng suất phẳng 58

3.2.1 Các giả thiết 58

3.2.2 Rời rạc hoá kết cấu 59

3.2.3 Ma trận độ cứng 60

3.3 Bài toán biến dạng phẳng 68

3.4 Tấm mỏng chịu uốn 73

3.4.1 Rời rạc hoá kết cấu 73

3.4.2 Véc tơ chuyển vị nút của phần tử 73

3.4.3 Ma trận độ cứng của phần tử 73

3.4.4 Xử lý điều kiện biên 76

Danh mục bảng biểu

Bảng 2.2 Lập bảng mã thể hiện thông số 29

Bảng 2.3 Lập bảng mã thể hiện thông số 52

Bảng 3.1 Thông số của phần tử 1 64

Bảng 3.2 Thông số của phần tử 2 65

Bảng 3.3 Thông số của phần tử 1 70

Danh mục hình ảnh

Hình 1.2 Phần tử thanh 8

Hình 1.3 Phần tử tấm 8

Hình 1.4 Phần tử khối 8

Hình 1.5 Biểu diễn chuyển vị nút trong hệ toạ độ kết cấu 10

Hình 1.6 Chi tiết chuyển vị tại 1 nút 10

Hình 1.7 Liên kết ngàm cứng 11

Hình 1.8 Liên kết ngàm trượt (1) 11

Hình 1.9 Liên kết ngàm trượt (2) 12

Hình 1.10 Liên kết gối cố định 12

Hình 1.11 Liên kết gối di động 12

Hình 1.12 Liên kết khớp 13

Hình 1.13 Xử lý điều kiện biên cho khớp 14

Hình 1.14 Liên kết ngàm trượt 14

Hình 1.15 Xử lý điều kiện biên cho liên kết ngàm trượt 14

Hình 1.16 Liên kết cứng 15

Hình 1.17 Xử lý điều kiện biên liên kết cứng 15

Hình 1.18 Xử lý điều kiện biên cho một số trường hợp khác 15

Hình 2.1 Vị trí đầu, cuối của phần tử 17

Hình 2.2 Sơ đồ ví dụ 18

Hình 2.3 Sơ đồ phần tử chịu lực dọc 18

Hình 2.4 Tải trọng quy về nút do lực rải đều 19

Hình 2.5 Sơ đồ giải thích 19

Hình 2.6 Tải trọng quy về nút do lực tập trung 20

Hình 2.7 Sơ đồ giải thích 20

Hình 2.8 Sơ đồ xác định tải trọng quy về nút 22

NORTH SAINT - AMITABHA 

Hình 2.9 Xác định lực dọc phần tử I 25

Hình 2.10 Xác định lực dọc phần tử II 25

Hình 2.11 Biểu đồ lực dọc của kết cấu 25

Hình 2.12 Sơ đồ phân tích hệ giàn phẳng 26

Hình 2.13 Sơ đồ phân tích tải trọng tại nút 30

Hình 2.14 Sơ đồ phần tử chịu xoắn thuần tuý 36

Hình 2.15 Sơ đồ phân tích cách vẽ mômen xoắn 39

Hình 2.16 Biểu đồ mômen xoắn 39

Hình 2.17 Sơ đồ dầm uốn phẳng 40

Hình 2.18 Sơ đồ tải trọng rải đều 41

Hình 2.19 Sơ đồ đặt tải tập trung 41

Hình 2.20 Sơ đồ đặt mômen tập trung 41

Hình 2.21 Quy ước dấu lực cắt và mômen 45

Hình 2.22 Mặt cắt cần xét 45

Hình 2.23 Xác định nội lực đoạn AB 45

Hình 2.24 Sơ đồ xác định nội lực đoạn BC 46

Hình 2.25 Sơ ồ phn tích bài toán khung phẳng 46

Hình 2.26 Sơ đồ tải trọng rải đều 48

Hình 2.27 Sơ đồ đặt tải tập trung 48

Hình 2.28 Sơ đồ đặt mômen tập trung 49

Hình 2.29 Sơ đồ đặt lực dọc trục rải ều p0 49

Hình 2.30 Sơ đồ đặt lực dọc trục tập trung Q 50

Hình 2.31 Biểu ồ nội lực 57

Hình 3.1 Sơ đồ bài toán ứng suất phẳng 59

Hình 3.2 Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tứ giác trong Midas/Civil 59

Hình 3.3 Mô hình phần tử tam giác 59

Hình 3.4 Mô hình phần tử tứ giác 60

Hình 3.5 Phần tử tam giác (1) 61

Hình 3.6 Phần tử tam giác (2) 62

Hình 3.7 Sơ đồ phần tử I 64

Hình 3.8 Sơ đồ phần tử 2 65

Hình 3.9 Phần tử hình chữ nhật cho bài toán ứng suất phẳng 66

Hình 3.10 Sơ đồ phần tử I 70

Hình 3.11 Phần tử hình chữ nhật cho bài toán biến dạng phẳng 71

Hình 3.12 Sơ đồ tấm phẳng chịu uốn 73

NORTH SAINT - AMITABHA 

CHƯƠNG 1 : kiến thức cơ sở

Phương pháp phần tử hữu hạn là tìm dạng gần đúng của hàm ẩn (ứng suất, biến dạng…) trong miền V

Miền V thì được chia thành hữu hạn các miền con hay phần tử ký hiệu Ve Các phần tử được kết nối với nhau tại nút

Các đại lượng cần tìm trong phần tử Ve được xấp xỉ bởi các hàm đơn giản hay còn gọi là hàm xấp xỉ

Các giá trị tại nút được gọi là bậc tự do của phần tử và cũng là ẩn số cần tìm

1.2 Rời rạc kết cấu

Một vật thể tổng hợp được liên kết với nhau tại hữu hạn nút

Việc lựa chọn phần tử thích hợp để giải quyết bài toán là rất quan trọng, cụ thể gồm:

 Hệ thanh: Ta lấy các đoạn dầm hay các thanh

 Hệ tấm: Sử dụng các phần tử tam giác, chữ nhật

 Vật thể khối: Dùng các loại phần tử lập phương hay tứ diện

Hình 1.1 Sơ đồ rời rạc hoá kết cấu 1.3 Các dạng phần tử

Phần này không cần xem xét, vì mục đích là làm tốt bài thi, nên việc xây dựng

và mục đích của hàm xấp xỉ tham khảo bài giảng của thầy cô giảng dạy Nhưng các bạn nên đọc tham khảo nó_Lời khuyên nhỏ!

NORTH SAINT - AMITABHA 

1.6.2 Chuyển trục toạ độ

e Te e Với T là ma trận biến đổi hệ toạ độe

       

       Các thông số khác được xác định như sau

Hình 1.5 Biểu diễn chuyển vị nút trong hệ toạ độ kết cấu

Xét phần tử I, các chuyển vị được quy ước và đánh dấu theo thứ tự để tránh nhầm lẫn theo thứ tự: Phương trục X (Chuyển vị đường - ẩn số 1) - Phương trục

y (Chuyển vị đường - ẩn số 2) - Chuyển vị góc xoay - ẩn số 3 Nếu xét về nội lực thì phương X hay ẩn 1 là lực dọc, 2 - Lực cắt, 3 - Mômen

Hình 1.6 Chi tiết chuyển vị tại 1 nút

NORTH SAINT - AMITABHA 

Còn chiều của các ẩn số được quy ước như sau: các chuyển vị đường có chiều dương theo chiều với hệ trục toạ độ chung, chuyển vị góc xoay có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ

1.8 Xử lý điều kiện biên

Việc xử lý điều kiện biên đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn, ngoài ra việc xử lý tốt điều kiện kiên còn giúp ta hạn chế được số ẩn tính toán Sau đây là những điều kiện biên phổ biến ta hay gặp

1.8.1 Các liên kết với đất

Ta chỉ cần nhớ phản lực theo phương nào thì khống chế chuyển vị theo phương đó

Hình 1.7 Liên kết ngàm cứng

Liên kết ngàm có 3 phản lực gối (Lực dọc, lực cắt, mômen) Giả sử ta thể hiện các chuyển vị 1, 2, 3 trong hệ toạ độ kết cấu như hình (a), thì ta có được ngay điều kiện biên đối với liên kết ngàm là:

1

2 3

Chuyển vị theo phương ngang 0

2 3

Chuyển vị theo phương ngang ?

Chuyển vị theo phương ngang 0

1

2 3

Chuyển vị theo phương ngang 0

NORTH SAINT - AMITABHA 

Liên kết này có một phản lực gối, ta cần chú ý phương đặt gối để xác định

điều kiện biên hợp lý, ở Hình 1.11 ta xét gối cố định đặt theo 2 phương khác nhau, khi này việc xử lý điều kiện biên cũng có chút ít khác biệt

1

2 3

1

2 3

Chuyển vị theo phương ngang ?

Chuyển vị theo phương thẳng đứng 0 Hình (a)

tử và xử lý điều kiện biên như hình vẽ sau:

0 Tương tự phần tử IV tại vị trí ngàm thì chỉ theo 3 phương đều bằng 0

Trên thực tế nếu chưa xử lý điều kiện biên thì số ẩn tương ứng của bài này là

17, nhưng sau khi khử điều kiện biên số ẩn chỉ còn 12 ẩn

1.8.2 Các liên kết giữa nội bộ kết cấu với nhau

Giữa nội bộ các kết cấu với nhau ta xét một số loại liên kết chính sau đây:

Hình 1.12 Liên kết khớp

Ta có nếu tách khớp thì loại bỏ 2 bậc tự do hay tương ứng ta có 2 thành phần lực là ngang và thẳng đứng

Do chuyển vị đường tương đối tại khớp = 0, nên nếu xử lý điều kiện biên thì 2 chuyển vị đường là như nhau, nhưng chuyển vị góc xoay là khác nhau vì góc xoay tương đối tại khớp khác 0

Hình 1.13 Xử lý điều kiện biên cho khớp

Ta giả sử 2 phần tử thanh bất kỳ (i) và (j) liên kết nhau tại khớp, thì điều kiện biên được xử lý như Hình 1.13

Ta giả sử có các phần tử bất kỳ (i) và (j) liên kết với nhau bằng ngàm trượt

Hình 1.14 Liên kết ngàm trượt

Với liên kết này thì điều kiện biên được xử lý như sau: Chuyển vị đường tương

đối theo phương ngang bằng 0 nên tại 2 mặt cắt trái, phải của liên kết này 2

ẩn chuyển vị đường là như nhau Tương tự góc xoay tương đối tại đây bằng 0, nên 2 ẩn chuyển vị góc xoay cũng như nhau Chuyển vị tương đối theo phương thẳng đứng khác 0 nên 2 ẩn chuyển vị đường theo phương này cũng khác nhau Thể hiện cụ thể như hình vẽ sau:

Hình 1.15 Xử lý điều kiện biên cho liên kết ngàm trượt

NORTH SAINT - AMITABHA 

Hình 1.17 Xử lý điều kiện biên liên kết cứng

Thực tế loại này này còn nhiều trường hợp khác như:

Hình 1.18 Xử lý điều kiện biên cho một số trường hợp khác

 Một số dạng hay gặp

Sau đây là các sơ đồ hay gặp trong đề thi, đối với những sơ đồ mà kết cấu

đối xứng và chịu tải trọng đối xứng thì dùng tính chất đối xứng để giảm ẩn số , trên hình thể hiện luôn điều kiện biên để ta tham khảo

Nhiều người sẽ thắc mắc là sơ đồ (b) có sai hay không? Ta thấy tại A là gối cố

định tức có hai phản lực hay nói cách khác xử lý điều kiện biên A(0,0,1) là Ok, nhưng D là gối di động có 1 phản lực, thì điều kiện biên phải là D(4,0,1) nhưng

chú ý rằng tại A phản lực ngang của chúng ta bằng 0, nên xử lý điều kiện biên như hình là hợp lý

1.9 Trình tự phân tích một bài toán theo phương pháp PTHH

Bước 1 - Rời rạc hoá miền khảo sát

Bước 2 - Chọn hàm chuyển vị (Hàm đa thức) Biểu diễn hàm chuyển vị theo

tập hợp giá trị của nó tại nút phần tử    e

Bước 6 - Xác định chuyển vị, nội lực, ứng suất, biến dạng của phần tử

Thực tế phần sử dụng điều kiện biên để áp vào ẩn số nên thực hiện ngay bước 1 để ẩn số này được giảm ngay từ đầu

NORTH SAINT - AMITABHA 

CHƯƠNG 2 : Bài toán hệ thanh

Cần phân biệt rõ “ Hệ toạ độ kết cấu hay gọi là hệ toạ độ tổng thể (hay hệ toạ độ chung” đều là cùng một kiểu nhưng hệ toạ độ này được chọn chung cho tất cả các phần tử hay nói cách khác đó là quy cùng về 1 gốc để tính

Hệ toạ độ phần tử hay còn gọi là hệ toạ độ riêng tức sau khi có cái tổng thể

để xác định được từng bộ phận trong đó ta cần gắn thêm hệ trục này hay ý

là chuyển trục

Hình 2.1 thì 0’x’y’ là hệ toạ độ kết cấu, còn 0xy là hệ toạ độ phần tử

Khi xét một phần tử thanh theo phương pháp phần tử hữu hạn ta cần quan tâm tới vị trí đầu ( hay ký hiệu là i) và vị trí cuối (ký hiệu là j), nó sẽ ảnh hưởng

đến việc tính toán sau này

Hình 2.1 Vị trí đầu, cuối của phần tử

Như Hình 2.1 ta thấy một giá trị đó là góc  là góc xoay từ trục tương ứng của

hệ toạ độ kết cấu tới hệ toạ độ phần tử, giá trị  mang 2 dấu như sau:

  mang dấu dương khi góc xoay ngược chiều kim đồng hồ

  mang dấu âm khi góc quay ngược chiều kim đồng hồ

Trong hệ toạ độ phần tử, để thống nhất quan điểm tính toán ta chọn trục x trùng với trục thanh và có chiều dương từ điểm đầu phần tử (i) hướng tới cuối phần tử (j), trục y được chọn vuông góc với trục x

Để hiểu rõ thông số này ta xét một kết cấu như sau: Cho sơ đồ khung và chọn

hệ toạ độ kết cấu như hình vẽ

Hình 2.2 Sơ đồ ví dụ

Quan sát ta thấy rằng ta đang thực hiện một phép quay hệ toạ độ kết cấu thui và điều đó nói lên điều gì khi ta thực hiện quay theo hai trường hợp khác nhau?

Trên Hình 2.2 ta chia kết cấu thành 2 phần tử I và II Nếu phần tử I ta chọn

điểm A là điểm đầu, điểm B là điểm cuối như hình (a) thì khi này giá trị góc =

900, nếu chọn điểm B là điểm đầu, điểm A là điểm cuối như hình (b) thì giá trị góc = -900

 Việc lựa chọn nút đầu hay nút cuối thế nào phụ thuộc vào bạn, nhưng

NORTH SAINT - AMITABHA 

 Trường hợp tải trọng phân bố đều p(x) = p0 = Const

Hình 2.4 Tải trọng quy về nút do lực rải đều

Thực ra ta chỉ cần hiểu đơn giản như sau, thì tất cả các trường hợp khác đều

như vậy Xét phần tử thanh chịu lực dọc rải đều, ta cứ xem như 2 nút được

gắn liên kết theo phương chuyển vị nó có, sau đó xác định phản lực gối, truyền ngược lại ta sẽ có giá trị véc tơ tải trọng nút

p L2

Hình 2.6 Tải trọng quy về nút do lực tập trung

Hình 2.7 Sơ đồ giải thích

Tương ứng với sơ đồ này ta có véc tơ tải trọng nút e

PL2F

PL2

Để hiểu rõ cách trình bày và lý thuyết ta đi xét bài ví dụ cụ thể sau đây:

E.X 2.1 Tính và vẽ biểu đồ nội lực của kết cấu sau bằng PP PTHH Giả thiết EA = Const Trích đề thi PP PTHH ĐH GTVT Hà Nội - Mã đề 07

 Chọn hệ trục kết cấu 0’X’Y’ và rời rạc hoá kết cấu

Ta chia kết cấu thành 2 phần tử, đánh số như hình vẽ

 Lập bảng mã

Bảng 2.1 Chi tiết bảng mã các thông số

Ta xử lý luôn điều kiện biên

NORTH SAINT - AMITABHA 

 Ma trận độ cứng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu

Phần tử I - Do hệ toạ độ kết cấu trùng với hệ toạ độ phần tử nên ta có ma trận độ cứng của phần tử I trong hệ toạ độ kết cấu là

Vậy ta có ma trận độ cứng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu là: Thực chất

đây là bước ta đi ghép nối phần tử

Ta quan sát xem ở ma trận độ cứng trong hệ toạ độ kết cấu của các phần tử

có chỉ số nào giống nhau thì cộng lại là được

ở đây có 2 vấn đề ta cần quan tâm đó là véc tơ tải trọng quy về nút - đại lượng này thông thường trên hệ có tải trọng tác dụng nhưng không phải tại nút và véc tơ tải trọng tại nút - tức là xét các tải trọng đặt tại nút của phần tử

→ Xác định véc tơ tải trọng quy về nút trong hệ toạ độ kết cấu

Phần tử I - Do hệ toạ độ phần tử trùng với hệ toạ độ kết cấu nên ta ma trận tải trọng quy về nút trong hệ toạ độ kết cấu là:

 

NORTH SAINT - AMITABHA 

Giải phương trình này thực chất ta đi giải phương trình A.X = B

Để tìm được X ta nhân bên trái 2 vế của phương trình với A-1 (Ma trận nghịch

đảo của ma trận A) ta có A-1.A.X = A-1.B → X = A-1.B

Vậy ta áp dụng vào phương trình này ta có

Để tổng quát cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông (2x2)

Các chỉ số (axb) chỉ số thứ nhất (a) là chỉ hàng, chỉ số thứ 2 (b) là cột

Nhìn chung trong đề thi với câu 7 điểm thì ẩn số tương ứng để tính thông thường là 2 or 3 ẩn Nên ta quan tâm 2 loại ma trận đó là ma trận vuông (2x2)

và (3x3)

Hướng dẫn cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông 3x3

Ta có véc tơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ toạ độ kết cấu

Véc tơ nội lực được xác định bằng biểu thức sau:

NORTH SAINT - AMITABHA 

Lấy tổng hình chiếu theo phương ngang ta có NBC = -6kN, NCB = -6kN

Hình 2.11 Biểu đồ lực dọc của kết cấu 2.3 Hệ giàn phẳng

Hình 2.12 Sơ đồ phân tích hệ giàn phẳng

Trong hệ toạ độ kết cấu (Hệ toạ độ chung) luôn quy định chuyển vị theo phương X là chuyển vị thứ nhất, chuyển vị theo phương trục Y là chuyển vị thứ hai

Khi tính toán với hệ giàn có quá nhiều ẩn thông thường hệ cho sẽ đối xứng để phù hợp với khoảng thời gian thi, do vậy nên vận dụng các tính chất đối xứng

để giảm công tác tính toán

2.3.2 Các thông số cơ bản và hướng trình bày

Cũng như dạng bài toán số 1, bài toán này ta cũng cần quan tâm đến các thông số sau và trình tự thực hiện

 Rời rạc hoá kết cấu

Ta giả sử hệ trục toạ độ kết cấu, gắn các thông số ẩn cho phần tử tương ứng, trong bước này ta nên xử lý luôn điều kiện biên Ví dụ trình bày như E.X 2.2

Trong bước này ta thường lập bảng mã tương ứng cho các phần tử

 Lập véc tơ chuyển vị của cả kết cấu trong hệ toạ độ kết cấu

Đây là ẩn số ta đang đi tìm, từ ẩn số này ta tìm ra được các thông số khác theo yêu cầu của bài toán

 

1 2

 Lập ma trận độ cứng độ cứng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu

Ta lập ma trận độ cứng của từng phần tử trong hệ toạ độ kết cấu

NORTH SAINT - AMITABHA 

Từ đó ta cộng lại để suy ra ma trận độ cứng tổng thể

 Lập véc tơ tải trọng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu

Đối với hệ giàn phẳng thì tải trọng chỉ đặt tải các nút, hay véc tơ tải trọng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu của ta chỉ có véc tơ tải trọng tại nút còn các véc tơ tải trọng quy về nút đều không có

Đối với bước này nếu đề thi cho phép sử dụng máy vi tính thì ta sử dụng Excel

để tính toán Còn nếu thực hiện bằng tay hãy thực hiện tính toán cẩn thận

để tránh sai sót theo quy tắc sau:

m n  n j  m j 

     

     Hướng dẫn cách tìm ma trận nghịch đảo A 1

Giả sử cho ma trận A, để A khả nghịch hay tồn tại A 1 thì det A 0 Lúc đó ta

có A 1 1 A*

det A

 

 Xác định nội lực

Sau khi giải phương trình cân bằng ta sẽ tìm được các chuyển vị, từ đó suy ra

được véc tơ chuyển vị nút của các phần tử Sau đó nội lực được xác định bằng biểu thức sau:

E.X 2.2 Tính nội lực trong thanh của hệ kết cấu sau bằng PP PTHH, giả thiết EA

= Const Trích đề thi PP PTHH ĐH GTVT Hà Nội - Mã đề 15

 Rời rạc hoá kết cấu

Đây là hệ toạ

độ kết cấu

NORTH SAINT - AMITABHA 

Bảng 2.2 Lập bảng mã thể hiện thông số

Mục loại phần tử thể hiện vậy nhằm mục đích

 Lập ma trận độ cứng độ cứng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu

Ta có ma trận độ cứng của từng phần tử trong hệ toạ độ kết cấu

Khi một nút giao nhiều phần tử thì ta cứ xem tải trọng đó nằm ở một nút của một phần tử bất kỳ Giả sử bài này ta coi như tải trọng đặt tại nút của phần tử

 Xác định nội lực

Ta có véc tơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ toạ độ kết cấu

001

NORTH SAINT - AMITABHA 

4 hµng, 4 cét

ra 4 hµng ,

1 cét

 Rêi r¹c ho¸ kÕt cÊu

NORTH SAINT - AMITABHA 

Ta có ma trận độ cứng của từng phần tử trong hệ toạ độ kết cấu

Khi tra bảng đại lượng này hãy tra những thông số tại những ô cần thiết như vậy sẽ tiết kiệm thời gian rất nhiều

'

IV III

 Véc tơ tải trọng nút của cả kết cấu trong hệ toạ độ kết cấu

Véc tơ tải trọng tại nút của cả kết cấu trong hệ toạ độ kết cấu

 

1 2 3 4 5 1

'

EA 43,135135,548

Lùc däc trong phÇn tö III

 

36,761144,8601

NORTH SAINT - AMITABHA 

'

EA 36,761144,860

2.4 Thanh chịu xoắn thuần tuý

Dạng toán này cũng tương tự như bài toán thanh chịu kéo, nén vì ẩn số chuyển vị tương ứng chỉ có 1 loại đó là góc xoắn Việc tính toán sẽ được trình bày chi tiết như sau

Hình 2.14 Sơ đồ phần tử chịu xoắn thuần tuý

Vì phần tử chịu xoắn thuần tuý, nên chỉ có chuyển vị tương ứng là góc xoắn

do mômen xoắn gây ra

Trường hợp tải trọng phân bố đều mx = m0 = Const

Vậy véc tơ tải trọng nút trong hệ toạ độ phần tử

0

e

0

m L2F

m L2

Để hiểu rõ cách trình bày và lý thuyết ta đi xét bài ví dụ cụ thể sau đây:

E.X 2.4 Cho trục tròn chịu xoắn như hình vẽ Hãy tính và vẽ biểu đồ mômen xoắn của kết cấu sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn Giả thiết a = 1m,

đường kính mặt cắt ngang d = 4cm, môđun đàn hồi G = 8.103daN/cm2, M = 600daNm Trích đề thi CH - Mã đề 103

NORTH SAINT - AMITABHA 

 Rời rạc hoá kết cấu

Ta chọn hệ toạ độ kết cấu, chia phần tử và đánh số như hình vẽ sau

 Ma trận độ cứng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu

Do hệ toạ độ phần tử trùng với hệ toạ độ kết cấu nên ta có ma trận độ cứng của từng phần tử trong hệ toạ độ kết cấu là

 Xác định véc tơ tải trọng tổng thể trong hệ toạ độ kết cấu

Trong bài toán ta đang xét chỉ có véc tơ tải trọng tại nút

NORTH SAINT - AMITABHA 

Thể hiện chi tiết cách vẽ:

Hình 2.15 Sơ đồ phân tích cách vẽ mômen xoắn

Note: Khi cắt một thanh bất kỳ thì chiều mômen xoắn dương khi nhìn từ phía ngoài pháp tuyến mômen xoay thuận chiều kim đồng hồ

Từ Hình 2.15 ta có MAB = 600daNm = MBA, MBC= 400daNm = MCB

Vậy ta vẽ được biểu đồ nội lực

Hình 2.16 Biểu đồ mômen xoắn 2.5 Bài toán dầm chịu uốn phẳng (uốn ngang phẳng)

Xét trên phương diện nội lực thì dầm chịu uốn phẳng chỉ có 2 thành phần nội lực tương ứng 2 thành phần chuyển vị tương ứng đó là chuyển vị đường theo phương vuông góc với trục thanh và chuyển vị góc xoay

Ta xét sơ đồ phân tích bài toán như sau: