Chuyên đề: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I.. và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN... ỨNG
Trang 1Chuyên đề:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA
I Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
xα
1
1
xα C α
+
+ +
( ax b + )α
a
1
ax bα C
α
+
+ 1
1
x
a
ln
x
a +
x
a + +
a
2
1
1 cos ( ax b + ) 1 ( tg ax b C )
2
1
1 sin ( ax b + ) 1 cot ( g ax b C )
a
'( )
( )
u x
1
a x a − + +
x + a
ln x + x + a + C
cotgx ln sin x C +
Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm
cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ( ) cos3 1
1
+ − 2 2
2x 5 f(x)
x 4x 3
−
=
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.∫ cos sin5x xdx 2
cos tgx dx x
x
+
∫
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Trang 2b ( ) [ ( ) ]b a ( ) ( )
a
f x dx = F x = F b F a −
∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2 Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : b ( ) 0
a
f x dx =
∫
• Tính chất 2 : b ( ) a ( )
f x dx = − f x dx
• Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] a b ; thì: b ( )
a
cdx c b a = −
∫
• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] a b ; và f x ( ) 0 ≥ thì b ( ) 0
a
f x dx ≥
∫
• Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] a b ; và f x ( ) ≥ g x ( ) x a;b ∀ ∈ [ ] thì
b ( ) b ( )
f x dx ≥ g x dx
• Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] a b ; và m f x ≤ ( ) ≤ M ( m,M là hai hằng số) thì
( ) b ( ) ( )
a
m b a − ≤ ∫ f x dx M b a ≤ −
• Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] a b ; thì
b[ ( ) ( ) ] b ( ) b ( )
f x ± g x dx = f x dx ± g x dx
• Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] a b ; và k là một hằng số thì
b ( ) ( )b
k f x dx k f x dx =
• Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] a b ; và c là một hằng số thì
b ( ) c ( ) b ( )
f x dx = f x dx + f x dx
• Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên [ ] a b ; cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : b ( ) b ( ) b ( )
f x dx = f t dt = f u du =
Bài 1: Tính các tích phân sau:
Trang 31)
1
3
0
x dx
(2x 1) +
∫ 2)
1 0
x dx 2x 1 +
∫ 3)
1 0
x 1 xdx −
∫ 4)
1 2 0
4x 11 dx
x 5x 6
+
5)
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
−
∫ 6)
2 0
x + 2x 1 +
∫ 7)6 6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
0
4sin x dx
1 cosx
π
+
9)4
2
0
1 sin 2xdx
cos x
π
+
∫ 10) 2 4
0
cos 2xdx
π
∫ 11)
2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
π
π
+
1 x 0
1 dx
e 1 +
13) 4(cos x sin x ) dx
0
4 4
π
14)
∫ +
4
01 2 sin 2
2 cos
π
dx x
x 15)
2
02 cos 3 1
3 sin
π
dx x
x 16)
∫ −
2
05 2 sin
cos
π
dx
x
x 17) ∫ + −
−
0
4
dx x x
18) ∫ + +
−
1
dx
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
4 2 1
x 3x 2dx
−
∫ 3)
5 3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
2 2 2 1
2
1
x
∫ 5)
3
x
0
2 − 4dx
∫ 6)
0
1 cos2xdx
π
+
2 0
1 sin xdx
π
+
∫ 8) ∫2 x − x dx
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B = π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện
f (1) 2' = và
2 0
f(x)dx 4 =
∫
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
0
[a + − (4 4a)x 4x ]dx 12 + =
∫
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
' a
f[u(x)].u (x)dx
∫ bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1: ∫ [ ] = (∫)
) (
) ( )
( ' )
a u
b
a
dt t f dx
x u x u f
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t=u(x)⇒dt=u'(x)dx
Bước 2: Đổi cận :
) (
) (
a u t
b u t a x
b
x
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
= ∫ [ ] = (∫)
) (
) ( )
( ' )
a u
b
a
dt t f dx x u x u f
I (tiếp tục tính tích phân mới)
Trang 4Tính các tích phân sau:
1) 2 3 2
0
cos xsin xdx
π
∫ 2) 2 5
0
cos xdx
π
∫ 3)4
2 0
sin 4x dx
1 cos x
π
+
∫ 4)
1
0
x 1 x dx −
∫
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
4 0
1 dx cos x
π
∫ 7)
e 1
1 ln xdx x
+
∫ 8) 4
0
1 dx cosx
π
∫
9)
1
1 ln xdx
x
+
∫ 10)
1
5 3 6 0
x (1 x ) dx −
∫ 11) 6
2 0
6 5sin x sin x
π
3 4 0
tg x dx cos2x
∫
13) 4
0
cos sin
3 sin2
x x dx
x
π
+
+
∫ 14) ∫
+
2
0 cos2 4 sin2
2 sin
π
dx x x
x 15) ∫ + − −
5 ln 3
ln ex 2 e x 3
dx
16)
∫ +
2
0( 2 sin )2
2
sin
π
dx x
x 17) ∫3
4
2 sin
) ln(
π
x
tgx
18) ∫ −4
0
8 ) 1
(
π
dx x
tg 19)
∫
+
−
2
4 1 sin 2
cos
sin
π
x
x
x
20) ∫
+
+
2
0 1 3 cos
sin 2 sin
π
dx x
x
x 21)
2
cos 2 sin
π
dx x
x
x 22)
2
0
sin cos ) cos
(
π
xdx x
− +
2
x
24)∫e + dx
x
x x
1
ln ln 3
1 25)
∫ + −
4 0
2
2 sin 1
sin 2 1
π
dx x x
2) DẠNG 2: Tính I =
b a
f(x)dx
∫ bằng cách đặt x = ϕ (t)
Công thức đổi biến số dạng 2: = ∫ =β∫ [ ]
α f ϕ t ϕ t dt dx
x f
a
) ( ' ) ( )
(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x=ϕ(t)⇒dx=ϕ'(t)dt
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t a x
b x
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
= ∫ =β∫ [ ]
α f ϕ t ϕ t dt dx
x f
a
) ( ' ) ( )
( (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx −
1 2 0
1 dx
1 x +
1
2 0
1 dx
4 x −
∫ 4)
1 2 0
1 dx
x − + x 1
∫
Trang 51
4 2
0
x + + x 1
∫ 6) 2
0
1
1 cos x sin x dx
π
2 2 2
2 0
x dx
1 x −
2
1
x 4 x dx −
∫
9)
2
3
2
2
1 dx
x x 1 −
2 1
9 3x dx x
+
∫ 11)
1
5 0
1 (1 x dx )
x
− +
∫ 12)
2 2 2 3
1
1 dx
x x −
∫
13) 2
0
cos
7 cos2
x dx
x
π
+
1 4 6 0
1
1 x dx x
+ +
∫ 15) 2
0
cos
1 cos
x dx x
π
+
∫ 16) ∫ + +
−
0
dx
17) ∫
+
+
1
dx
18) ∫2 − −
1
dx x
x
x
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1 dx
x x +
∫ 2)
7 3
3 2
0 1
x dx x
+
∫ 3)
3
0
1
x + x dx
∫ 4)
ln2 x 0
1 dx
e + 2
5)
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x
+
+
∫ 6)
2
2 3 0
1
x x + dx
∫ 7) ∫
+
3 2
5 x x2 4
dx
III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
b∫ = [ ] − ∫
a
b
a
b
x v x u dx x v x
Hay: b∫ = [ ] − ∫
a
b
a
b
v u
Cách thực hiện:
ta co
dv v x dx v v x
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : b∫ = [ ] − ∫
a
b
a
b
v u
Bước 3 : Tính [ ]b
a
v
u. và ∫b
a
vdu
Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
ln xdx
x
∫ 2) 2 2
0
x cos xdx
π
∫ 3)
1 x 0
e sin xdx
∫
4)
2
sin xdx
π
∫ 5)
e 2
x ln xdx
∫ 6) 3 x sin xdx
π
+
∫
Trang 67) 2
0
xsin x cos xdx
π
∫ 8) 4 2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
2 2 1
ln(1 x)dx x
+
∫
10)
1
2 2x 0
(x 1) e dx +
∫ 11)
e
2 1
(x ln x) dx
∫ 12) 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
13) 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x +
∫ 14)
1 2 0
xtg xdx
∫ 15) ∫ −1
0
2
) 2 ( x e xdx
16) ∫1 +
0
2) 1 ln( x dx
x 17) ∫e dx
x
x
1
ln
18) ∫ +2
0
3 ) sin cos
(
π
xdx x
x
19) ∫2 + +
0
) 1 ln(
) 7 2
( x x dx 20) ∫3 −
2
ln( x x dx
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a a
f(x)dx 0
−
=
∫
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
f(sin x)dx f(cosx)dx
=
b)
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
0
cos x dx với n Z
cos x sin x
π
∈ +
0
cos x dx cos x sin x
π
+
∫ 3) 2 6
0
sin x dx sin x cos x
π
+
∫
4) 5
0
xsin xdx
π
∫ 5)
2
2 2
4 sin x cosx dx
x
π
π
−
+
−
∫ 6)
1 4 2 1
sin 1
x x dx x
−
+ +
∫
0
xsin x dx
4 cos x
π
−
∫ 8) 4 3
0
cos sin
π
∫
0
( ) ( ) với R và a > 0 1
x
f x dx f x dx a
α
α
−
+
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
1)
1 4
12 1x
x dx
−∫ + 2)
1
1
1 2 x dxx
−
− +
∫ 3)
2
sin
3 1x x dx
π π
−∫ +
Trang 7IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
Công thức:
= ∫b[ − ]
a
dx x g x f
S ( ) ( ) =b∫ [ − ]
a
dy y g y f
Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
4 x
y
4 2
=
2) (H2) :
2
y x 4x 3
y x 3
= +
3x 1 y
x 1
y 0
x 0
− −
=
=
=
4) (H4):
2 2
y x
=
= −
y x
y 2 x
=
= −
2
y x 5 0
x y 3 0
+ − =
+ − =
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
=
=
=
=
8) (H8) :
2 2
y x 2x
= −
= − +
2 3 3
y x
= + −
=
10) (H10):
2
y 2y x 0
x y 0
+ =
11)
−
=
=
) (
2 :) (
:) (
Ox
x y d
x y C
12)
=
∆
=
= 1 :) (
2 :) (
:) (
x
y d
e y
C x
V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
Công thức:
) ( :
) ( C y = f x a
y
b y
0
=
x ( C ) : x = f ( y )
b
y =
=
∆
=
∆
=
=
b x
a x
x g y C
x f y
C
H
:
:
) ( :
)
(
) ( :
)
(
:
)
(
2
1
2
1
=
∆
=
∆
=
=
b y
a y
y g x C
y f x C H
: :
) ( : ) (
) ( : ) ( : ) (
2 1 2 1
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x
x
y
)
(H
) ( :
) ( C1 y = f x
) ( : ) ( C2 y = g x
a
x = x = b
O
x
y
)
(H a
b
) ( : ) ( C1 x = f y
) ( : ) ( C2 x = g y
a
y =
b
y =
O
Trang 8
V b[ f x ] dx
a
2
) (
∫
= π V b[ f y ] dy
a
2
) (
∫
= π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y 2 x;y 0 = − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2) = − 2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = − 4 x y x2; = 2+ 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
21 ;
x
x
+ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
