Hàm số mũ - logarit mới soạn(hay)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Các phương pháp thường dùng được trình bày trong các vấn đề dưới đây: Bài 3: Giải phương trình: 2x 2 - 2x .3x = 1,5 Thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặ

PHẦN I

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG TRÌNH 12

A LÝ THUYẾT CẦN NẮM

I ĐỊNH NGHĨA LUỸ THỪA VÀ CĂN

• b được gọi là căn bậc n của a nếu bn = a

+ Với n nguyên dương lẻ và a là số thực bất kỳ, chỉ cĩ duy nhất một căn bậc n của a kí hiệu là n a

+ Với n nguyên dương chẵn và a là số thực dương, cĩ đúng hai căn bậc n của

a là số đối nhau: Căn dương kí hiệu là n a , căn âm kí hiệu -n a

II TÍNH CHẤT CỦA LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

• Với a > 1, ap > aq  p > q

Với 0 < a < 1, ap > aq  p < q

* Một số hệ quả:

• 0 < a < b và m là số nguyên thì

+ am < bm  m > 0+ am > bm  m < 0

• a, b > 0: an = b n  a = b

• Các tính chất về căn bậc n: a, b ≥ 0, n, k  N* ta có:

1) n ab n a b.n 2)

n n

IV TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT

Với giả thiết các biểu thức được xét đều có nghĩa:

• loga1 = 0; logaa = 1; alogab = b

• loga(b.c) = logab + logac ; loga(b c ) = logab - logac

• logab =  logab

Đặc biệt: loga 1

b = - logab ; loga n b = 1n logab

• logb logloga

a

c c

b

 hay log loga b b c loga c

Đặc biệt: loga log1

• Khi a > 1 thì logab > logac  b > c > 0

• Khi 0 < a < 1 thì logab > logac  0 < b < c

a ( 

7  Khi a > 1 thì hàm y = ax đồng biến trên R và

0 a lim ; a

lim

x

x x

x

x x

VII HÀM LUỸ THỪA y = x ( R)

• Hàm số y = x có TXĐ D = (0; +), Trừ các trường hợp sau:

+ Nếu  nguyên dương thì TXĐ D = R

+ Nếu  nguyên âm hoặc  = 0 thì hàm số có TXĐ là D = R\{0}

• Hàm số y = x (Với a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (0; +) nếu  > 0; nghịch biến trên (0; +) nếu  < 0

• Đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm (1; 1)

VIII GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

•

( ) ( ) 0

1 α α.x ' ) α (x  

2 '

x

1 )

x

1 (  

x 2

1 ' ) x

|) u

| a (log 

(ln|x|)’ = x1

x.lna

1 '

|) x

| a

a ) x ( f

1 a 0

0 ) x ( g hay 0 ) x ( f

1 a 0

4  Nếu a > 1 thì ta có: af(x)  ag(x)  f(x)  g(x)

a a

1

2 )4

a) (x1/6)6 = x b) (x1/4)4 = -x c) (x1/8)8 = 1

| |x d)

3 0,7 7

(x ) = -x1.7 Biến đổi thành dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (a, b, x > 0)

a) 3 34 5 2

a a a a a b) 18 7 25ax c) 3 3 a a54 d) 8 b3 4 b e) 13 4 273 a

1.8 Viết dưới dạng chỉ còn một dấu căn của 2 3

1.9 Khử căn ở mẫu của các biểu thức

a) 1 3

2  3 51.10 Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính: 3 847 3 847

12 0

393

0,71.13 Hãy tính

2.2 Biết rằng log52 = a và log53 = b Tính các lôgarit sau theo a và b

a) log572 b) log515 c) log512 d) log5302.3 Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau đây (với a, b>0), rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit

a) (5 a b3 )23 b)

10 0,2 5 6

2.5 Hãy so sánh

a) log210 và log530 b) log0,32 và log53

c) log35 và log74 d) log310 và log857



b) log4( 73  3 3) + log4( 493  3 21 3 9)c) log10tan4 + log10cot4 d) log(5 2 6 ) + log(5 2 6 )

2.7 Chứng minh rằng

2

1log 3 log

2

 < -2 b) 4log 7 5 7log 4 5

c) log37 + log73 > 2 d) alogb c clogb a (điều kiện xác đinh lôgarit)2.8 Biết logax = , logbx = , logcx =  Tính logabcx

2.9 a) Biết log712 = a, log1224 = b Tính log54168

b) Biết log615 = a, log1218 = b Tính log2524

2.10 Đơn giản rồi tính giá trị biểu thức A khi x = -2

§3 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA

3.1 Các hàm số sau đây đồng biến hay nghịch biến trên TXĐ của nó

a)

3

0

1lim

x

x x

sin 2

x

x x

1 1

x x

2

x

x x

tan

x

x x





3.4 Tính đạo hàm của các hàm số sau trên tập xác định

a) y = (x2 – 2x + 2)ex b) y = (sinx – cosx).e2x c) y =

ln x

y x

g) y = (1+ lnx)lnx h) y = x2.ln x 2 1 i) y = (3x + 1)e

a) Nằm phía trên đường thẳng y = a ?

b) Nằm phía dưới đường thẳng y = a ?

c) Câu hỏi như câu a, b nhưng với điều kiện a > 1

3.8 Có thể nói gì về cơ số a, biết rằng:

a) a > 12

2 3

5 4

a >

7 8

a

3.9 Với giá trị nào của x thì đồ thị của hàm số y = log2x

a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 2 ?

b) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 1 ?

3.10 Với giá trị nào của x thì đồ thị của hàm số y = (0,5)x

a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 4 ?

b) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 1

4?3.11 Vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y = x3 b) y = x4 c) y = x

§4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

4.1 Giải các phương trình sau đây

a) (3 - 2 3 )3x = 3 + 2 2

4.6 Dùng phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình sau

a) log (22 x  1)2 + log2(x - 1)3 = 7 b) log4x8 – log2x2 + log9243 = 0

c) 3 log x - 3 log 3x - 1 = 03 d) 4log9x + logx3 = 3

a) log9(log3x) + log3(log9x) = 3 + log34

b) log2xlog4xlog8xlog16x = 2

3c) log5x4 – log2x3 – 2 = – 6log2xlog5x

4.8 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

nghiệm đó là duy nhất

b) Câu hỏi tương tự với trường hợp 0 < a, b < 1

4.18 Giải các phương trình sau

a) x + lg(3x – 1) = xlg10

3 + lg6 b) x + log5(125 – 5

x) = 254.21 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau

(m – 3).9x + 2(m + 1).3x – m – 1 = 04.22 Giải phương trình

2log3cotx = log2cosx4.23 Giải và biện luận các phương trình sau

a) log3x – log3(x – 2) = log m3 b) 4sinx + 21+sinx = m

§5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Giải các hệ phương trình sau

5.1

11log log 1 log 15











c) y = 1

3

1log

1

x x

Giải các bất phương trình sau

6.3 a) 32x + 5 > 1 b) 27x < 1

3c) ( )1 2 5 4 4





c) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) d) 1 2





6.5 a) 9x < 3x+1 + 4 b) 3x – 3-x + 2 + 8 > 0

 < 1 1

1log log

1

x x





PHẦN II CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC TƯƠNG ỨNG

Chủ điểm 1

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HÀM MŨ - HÀM LƠGARIT

A LÝ THUYẾT CẦN NẮM: Mục V, VI PHẦN I (Phần lý thuyết)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Các phương pháp thường dùng được trình bày trong các vấn đề dưới đây:

Bài 3: Giải phương trình: 2x 2 - 2x 3x = 1,5

Thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để phương trình cĩ nghĩa

Bước 2: Sử dụng các cơng thức đổi cơ số để đưa các hàm mũ hay hàm logarit

trong phương trình về cùng một cơ số (nếu được)

Bước 3:  Biến đổi phương trình về dạng af(x) = ag(x)

hay loga [f(x)] = loga [g(x)]  Hoặc đặt ẩn phụ để chuyển phương trình về dạng đã biết cách giải

Chú ý: Để giải PT mũ, ta cũng thường sử dụng phương pháp lơgarit hố như sau:

Biến đổi phương trình thành dạng: af(x) = bg(x)

 Lấy lơgarit theo cơ số c (c tuỳ ý, thường chọn c = a hay c = b) của cả hai vế ta cĩ:

f(x) logc a = f(x) logcb Từ phương trình này ta được nghiệm

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) logx 216 + log2x 64 = 3

b) 5lgx = 50 – xlg5

c) x + lg(4 – 5x) = xlg2 + lg3

VẤN ĐỀ 2: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 6: Giải các phương trình dưới đây:

c) 2log3(cotgx) = log2(cosx)

Cần lưu ý các điểm dưới đây:

1 Nếu f(x) là hàm đơn điệu trên (a, b) và c là hằng số thì phương trình f(x) = c hoặc vô nghiệm hoặc có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng (a, b)

2 Nếu f(x) là hàm tăng và g(x) là hàm giảm trên (a, b) (hay ngược lại) thì phương trình f(x) = g(x) hoặc vô nghiệm, hoặc có duy nhất một nghiệm thuộc (a, b)

3 Nếu f(x) là hàm đơn điệu trên (a, b) thì: f(x) = f(y)  x = y (x, y  (a, b))

C GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH CHÍNH THỨC TỪ 2002 – 2007

Bài 8: Giải phương trình 2 x 2x  2 2xx 2 3 (ĐH KD 2003)

Bài 9: Giải phương trình: 3.8 x + 4.12 x – 18 x – 2.27 x = 0 (ĐH KA 2006)

Bài 10: Giải phương trình: log 2 (4 x + 15.2 x + 27) + 2log 2

0 3 4.2

1

x 



(ĐH KD 2007)

Bài 11: Giải phương trình: 2 x 2x  4.2 x 2x  2 2x 40 (ĐH KD 2006)

Bài 12: Giải phương trình: ( 2 -1) x + ( 2 +1) x - 2 2 = 0 (ĐH KB 2007)

Bài 13: Cho phương trình: log 2 3 x log 2 3 x1 2m 10

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3]

(ĐH KA 2002)

Chủ điểm 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Ta thường dùng các phương pháp sau:

 Phép thế: Giải một phương trình của hệ rồi thế kết qủa vào phương trình còn lại

 Đặt ẩn phụ: Đưa về hệ đã biết cách giải

 Biến đổi tương đương về hệ đơn giản và áp dụng một trong 2 cách trên

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó.

Bài 16: Giải các hệ phương trình sau:

y

log (3x 2y) 2 log (2x 3y) 2

C GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CHÍNH THỨC (2002 - 2007)

Bài 19: Giải hệ phương trình:

Bài 23: Giải hệ phương trình: 14 4

2 2

1 log (y x) log 1

Chủ điểm 3

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Để giải một bất phương trình mũ ta thường sử dụng các phương pháp sau:

1 Đưa hai vế của bất phương trình cho về cùng một cơ số rồi sử dụng tính tăng,giảm của hàm số mũ để giải

2 Đặt ẩn phụ rồi đưa bất phương trình cho về một bất phương trình

bậc 1, 2 … theo một biến để giải

- Để giải một bất phương trình lôgarit ta đưa hai vế của bất phương

trình cho về cùng một cơ số rồi sử dụng tính tăng, giảm của hàm số

- Ta có thể đặt ẩn phụ rồi đưa bất phương trình cho về một bất phương

trình bậc 1, 2 … theo một biến để giải

d.5(log x) 5 2  xlog x 5  10 (ĐH Mỏ - Địa chất)

Bài 34: Giải các bất phương trình:

a log 64 + log 16 32x x2  (ĐH Y Hà Nội)

1log x 5x 6 +log x 2 log (x 3)

2

Bài 35: Giải các bất phương trình:

a 3log x 2 3log x-1 2 5log x - 2 2 12  (ĐH TS Nha Trang)