TOAN 9 DE VA DAP AN THI THU DOT 2 THPT THANG LONG 2019

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người thợ làm chung một công việc với năng suất dự định và dự kiến sẽ xong trong 12 ngày.. Họ làm chung với nhau được 8

TRƯỜNG THPT THĂNG LONG

KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

ĐỢT II NĂM 2019 Môn thi: TOÁN

Ngày thi:21 tháng 04 năm 2019

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thức A = 2 3 1 1

1

x

với x > 0 1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9

2) Đặt P = A.B, rút gọn biểu thức P và so sánh P với 1

3) Tìm x∈ R để P có giá trị là số nguyên

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai người thợ làm chung một công việc với năng suất dự định và dự kiến sẽ xong trong 12 ngày Họ làm chung với nhau được 8 ngày thì người thứ nhất được

điều động đi làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm đến khi hoàn thành công

viêc Từ khi bắt đầu làm công việc một mình, do cải tiến kĩ thuật nên năng suất tăng gấp đôi vì vậy người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành công việc với năng suất đã định ban đầu

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: 2 2 | 1| 11

2 2 | 1| 10







2) Cho parabol (P): y = 1 2

2x và đường thẳng (d): y = mx + 2

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A

và B

b) Gọi x1, x2lần lượt là hoành độ của điểm A và B Tìm các giá trị của tham

số m để |x2| = 4|x1|

Bài IV (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) Vẽ các tiếp tuyến AB,

AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OA và BC,

điểm M thuộc dây cung BC, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm

giữa A và M), điểm N là trung điểm của dây cung DE

1) Chứng minh năm điểm A, B, C, O và N cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh BOC2.ANC và∆AMH đồng dạng với ∆AON

3) Chứng minh AB2= AD.AE và tứ giác DHOE là tứ giác nội tiếp

4) Khi M di chuyển trên dây cung BC, xác định vị trí của điểm M để tổng

AD  AE lớn nhất.

Bài V (0,5 điểm) Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn x, y ≤ 1.

……….Hết………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ………

Họ tên, chữ ký cán bộ coi thi số 1: Họ tên, chữ ký cán bộ coi thi số 2:

TRƯỜNG THPT THĂNG LONG

KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN

I

1 B = x x 1

x

Khi x = 9 thì B = 9 9 1 7

3 9

2 Rút gọn được P =

5 1

x x



 Xét P – 1 =

x

ra: P > 1

1,0

3

P = 1 4

1

x



 vì x > 0 nên

4

1

x

 Vậy 1 < P < 5 Để P∈ Z

thì P ∈ {2;3;4}

0,5

1

x





+) Tương tự, giải P = 3  x = 1 và P = 4 x = 1

9 Vậy x∈ 9;1;1

9

 

 

 

II Gọi thời gian để người thợ thứ nhất và thứ hai làm một mình

xong công việc lần lượt là x, y; (ngày) (x > 0; y > 0) Trong một

ngày, người thứ nhất và thứ hai làm được khối lượng công việc

tương ứng là: 1 1;

x y Hai người dự định làm chung công việc

trong 12 ngày thì xong ta có pt: 1 1 1

12

x y  (1)

Phần công việc hai người làm chung trong 8 ngày tương ứng

8 2

12  3 khối lượng công việc

Phần còn lại người thứ hai phải làm là:1 2 1

3 3

  Do cải tiến năng

suất tăng gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong 1

3 công việc trong 3,5 ngày nên ta có pt: 3, 5.2 1 7 1

y   y (2)

2,0

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được 28

21

x y





 

 Vậy thời gian người thứ nhất và thứ hai làm một mình xong

công việc lần lượt là 28 ngày và 21 ngày

III

1

Hpt

| 1| 3

2 2 | 1| 10 2 2 | 1| 10

y

 



14 14

4

1 3

2

x x

y y

y







        



 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là (14;4) và (14;-2)

1,0

2a

PT hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là:

1

2x mx x  mx  (*)

Xét:∆ = b2– 4ac = 4m2+ 4 > 0∀m nên pt (1) có 2 nghiệm phân

biệt

1,0

2b

Với x1; x2là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lý Vi – ét

ta có: x1x2= c

a = - 4 < 0 (1)

Suy ra x1và x2là trái dấu nên ta có: |x2| = 4.|x1|  x2= - 4x1(2)

Giải hệ (1) và (2):

2

 

1 2

1 4

x

x

 



 



+) Với 1

2

1 4

x x





  

 theo định lý Vi-et ta có: x1+ x2= 1 + (- 4) = 2m

=> m = 3

2



+) Với 1

2

1 4

x x

 



 

 theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = - 1 + 4 = 2m

=> m = 3

2

Vậy m = 3

2

 thì đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm có

hoành độ thỏa mãn |x2| = 4.|x1|

1

Vì AB, AC là tiếp tuyến

của đường tròn nên

90

ABO ACO  (1)

N là trung điểm của dây

cung DE nên ON vuông

góc với DC hay

90

ANO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm

điểm A, B, C, O và N

cùng thuộc đường tròn

đường kính OA

1,0

2

Năm điểm A, B, C, O và N cùng thuộc một đường tròn nên

  (cùng chắn cung  )

Mặt khác xét đường tròn (O;R) ta có:  1 

2

ABC BOC ( là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Do đó: BOC2.ANC

1,0

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: OA là trung trực của

BC nên OA ⊥ BC

Xét ∆AMH và ∆AON:   0

90

ANO AHM  và  NAO HAM Vậy

∆AMH ~ ∆AON

3

Xét ∆ADB và ∆ABE có chung góc  BAD EAB và  ABD BEA

(cùng bằng 1

2sđBD)

Do đó: ∆ADB ~ ∆ABE Suy ra 2

.

1,0

Xét tam giác vuông ABO đường cao BH ta có: AB2 = AH.AO

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD.AE = AH.AO (3)

Xét hai tam giác: ∆ADH và ∆AOE có chung góc A và cặp cạnh

tương ứng tỉ lệ: AD AH

AO AE nên hai tam giác ∆ADH ~ ∆AOE Suy

ra: DHA DEO  Vậy tứ giác DHOE nội tiếp được một đường

tròn

H O

E

M N D

C B

A

Xét tổng: 1 1

.

AB

không đổi nên tổng 1 1

AD  AE lớn nhất khi

2

AD AE  AO Khi đó 1 1 2 AO

AB

AD  AE 

Dấu “=” xảy ra khi N trùng với O hay điểm M trùng với H

0,5

V Nhận xét: 0 ≤ x; y ≤ 1 nên y  3 1 3   2; x  3 1 3   2

Do đó: ;



Mặt khác:

2

Với 0 ≤ x; y ≤ 1 luôn có: y + 3 ≥ y2+ 3 ≥ 2(x2+ y2);

x + 3 ≥ x2+ 3 ≥ 2(x2+ y2)

Do đó:

0,5

Lưu ý: Học sinh giải cách khác từng ý vẫn được đủ số điểm.