CHUYÊN đề đếm BẰNG đa THỨC và số PHỨC t03

Mục đích nghiên cứu Hệ thống được kiến thức cơ bản và giúp học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết để giải quyết các bài toán tổ hợp bằng công cụ đa thức và số phức, nhằm phát

Để trả lời cho những câu hỏi này, đề tài của tôi xin trình bày phương pháp đếm bằng

đa thức và số phức, sử dụng đa thức và số phức để đếm Ý tưởng của phương pháp là

đưa việc đếm số tập X có tính chất T nào đó về tính tổng S của các hệ số k

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống được kiến thức cơ bản và giúp học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết để giải quyết các bài toán tổ hợp bằng công cụ đa thức và số phức, nhằm phát triển tư duy sáng tạo trong Toán tổ hợp tốt hơn

B NỘI DUNG Chương I Kiến thức cơ sở.

z a bi a b= + ∈R

được biểu diễn bởi điểm M a b( ; )

Ngược lại mỗi điểm( ; )

3. Dạng lượng giác của số phức:

a. Số phức dưới dạng lượng giác:

Định nghĩa: Cho z ≠0

Gọi M

là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z

Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

b. Dạng lượng giác của số phức: Dạng z r= (cosϕ +isin ),ϕ

trong đó r >0,

được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠0.

c. Công thức Moivre:

[ (cosr ϕ +isin )]ϕ =n r n(cosnϕ +isinnϕ)

4. Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị:

b. Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị:

Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn hình học các căn bậc n n, ≥3

biểu diễn hình học lần lượt là A, B, C là ba đỉnh của tam giác đều nội

tiếp đường tròn lượng giác

biểu diễn hình học lần lượt là 4 đỉnh A, B, C, D của hình vuông nội tiếp

đường tròn lượng giác

Chương II Phương pháp sử dụng đa thức và số phức:

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

1. Bổ đề: Cho đa thức 0

i i

2. Các dạng bài toán đếm được bằng đa thức và số phức:

2.1. Số tự nhiên có k chữ số mà tổng các chữ số của nó là bội của p.

Bài toán 2.1.1: Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số mà tổng các chữ số của

nó là một số chẵn?

Lời giải quen thuộc của bài toán này là như sau:

Gọi số nguyên dương có 5 chữ số là 1 2 3 4 5

a a a a a

là số chẵn

k k

trong khai triển đa thức

( )

f x

Vậy áp dụng bổ đề ta được

4 22

2 2

là cáccănbậc haicủa 1

Bài toán 2.1.2: Có bao nhiêu số nguyên dương có 4 chữ số mà tổng các chữ số của

nó là bội của 4?

Gọi S là số các số nguyên dương có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó là bội của 4.

k k

4 1

k k

Bài toán 2.1.3:(Chọn đội tuyển PTNK TPHCM 2009) Cho n là số nguyên dương

1 , ; ; 3;6

1

1( (1) ( ) ( ))3

số tự nhiên có n chữ số và chia hết cho 3.

Đề thi Toán Rumania 2003 có bài toán tương tự như sau:

Bài toán 2.1.4(Rumania - 2003): Cho n là số nguyên dương Hỏi từ tập

1

1( (1) ( ) ( ))3

1( (1) ( ) ( )),3

Để ý rằng:

2 3

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ

số mà tổng các chữ số của nó là bội của 6

Gọi S là số các số tự nhiên có 8chữ số và tổng các chữ số là bội của 6

Xét đa thức:

48

3

k k

6 1

k k

1( (1) ( ) ( ))3

k k

Lời giải 2: Gọi S là số các số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 3,S1 là số các số

tự nhiên có không quá 3 chữ số và chia hết cho 3, 2

tổng các hệ số của các số hạng ứng với lũy thừa dạng

So sánh hai lời giải ta nhận thấy lời giải 1 ngắn gọn hơn lời giải 2 Sự khác nhau của

hai lời giải này là việc chọn đa thức

( )

f x

Tuy nhiên câu hỏi đặt ra nếu bài toán yêu cầu đếm số các số tự nhiên có không quá 3 chữ số và chia hết cho 3 thì việc chọn( )

Chú ý là a a a1 2 k chia hết cho 3 khi và chỉ khi a1+ + +a2 a k

chia hết cho 3, ta đưa

bài toán về việc đếm số các bộ 1 2

a a a k

Bài toán 2.2.2: Có bao nhiêu số nguyên có không quá 4 chữ số mà tổng các chữ số

của nó là bội của 4?

Gọi S là số các số tự nhiên có không quá 4 chữ số và tổng các chữ số của nó là bội

Do đó số các số nguyên dương có không quá 4 chữ số mà tổng các chữ số

của nó là bội của 4 là tổng các hệ số của các số hạng ứng với lũy thừa dạng

2.3. Tìm số tập con A của tập X sao cho tổng các phần tử của A chia hết cho

k k

Ta có

2021(1) 2

k k

k k

3.1. Có bao nhiêu số nguyên dương có 8 chữ số và chia hết cho 3?

3.2. Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số mà tổng các chữ số của nó là

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

mà tổng các chữ số của nó là bội của 4

3.5. Từ tập

{1,3,5,7,9}

X =

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

mà tổng các chữ số của nó là bội của 4

3.6. Từ tập

{0,2,4,6,8}

X =

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

mà tổng các chữ số của nó là bội của 6

3.7. Từ tập

{1,3,5,7,9}

X =

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

mà tổng các chữ số của nó là bội của 6

3.8. (IMO 2014 Training Camp) Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, không

chứa chữ số 0 và chia hết cho 11?

3.9. Có bao nhiêu tập con của tập

{1;2;3; 2020}

X =

có tổng các phần tử chia hết cho 3

3.10. Cho tập hợp

{0,1, ,25}

X =

Tìm số tập con 7 phần tử của X có tổng các phần tử chia hết cho 19

C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Để thuận lợi việc tiếp cận chuyên đề này, học sinh phải có kiến thức về đa thức, số phức và giải tích tổ hợp Do đó ở chương 1, đề tài đã trình bày sơ lược các kiến thức liên quan Tiếp đến ở chương 2, sau khi đưa ra và chứng minh bổ đề cơ sở cho phương pháp đếm số bằng đa thức và số phức, đề tài đã phân loại các bài toán

theo ba dạng đếm bằng công cụ này là: đếm số tự nhiên có k chữ số mà tổng các chữ

số của nó là bội của p, đếm số tự nhiên có không quá k chữ số mà tổng các chữ số của

nó là bội của p, đếm số tập con A của tập X sao cho tổng các phần tử của A chia hết cho p Phần cuối của đề tài dành để giới thiệu một số bài tập tương tự.

Đề tài chắc hẳn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phạm Minh Phương(2010), Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinhgiỏi Trung học phổ thông, Nhà xuất bản Giáo dục – Bộ Giáo dục và Đào Tạo

2. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng(2008), Giải tích 12 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục – BộGiáo dục và Đào Tạo

3. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ các năm

4. Các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia, Olympic Toán các năm

5. Lời giải và bình luận VMO các năm