Sử dụng nghiệm của đa thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử

Là một giáo viên dạy toán, tôi luôn tự học tập và nâng cao năng lực chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của những người thầy có tuổi nghề đáng kính, học bằng nhiều kênh khác nhau, kể cả qua

I – ĐẶT VẤN ĐỀ:

1) Lý do chọn đề tài:

Phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng, toán học nói chung là một môn khoa học cơ bản trong chương trình trung học phổ thông Việc học toán và giải toán là một việc làm thường ngày đối với cả người học và người dạy Đặc biệt quan trọng đối với học sinh lớp 8, bao gồm cả học sinh trung bình, học sinh khá, học sinh giỏi toán và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Là một giáo viên dạy toán, tôi luôn tự học tập và nâng cao năng lực chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của những người thầy có tuổi nghề đáng kính, học bằng nhiều kênh khác nhau, kể cả qua những thế hệ học sinh giỏi toán, qua nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi tự nhận thấy rằng: Vấn đề nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán, bồi dưỡng học sinh có khả năng tư duy sáng tạo, vận dụng tốt các kiến thức lí thuyết đã học, phát huy tốt năng lực bản thân trong giải toán và học toán là một vấn đề không hề đơn giản

Giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, công việc quan trọng nhất

là định hướng để tìm ra cách giải, có nhiều bài toán khó đòi hỏi người giải phải tìm ra nhiều phương án, nhiều thao tác, huy động nhiều kiến thức trung gian Với học sinh lớp 8 vừa mới làm quen với chủ đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử ” thì đây là vấn đề khó khăn thực sự, mà trong thực tế phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán khá phổ biến, phạm vi ứng dụng khá rộng ( Thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi khảo sát chất lượng cuối kỳ lớp 8, thi vào THPH và THPT chuyên) và tỉ lệ học sinh làm được trong các nhà trường nhìn chung và trường bản thân tôi đang dạy nói riêng là còn chậm chạp và chưa tốt Vậy làm thế nào để có thể định hướng được tốt cho các em học sinh tìm ra được lời giải cho từng bài toán, dạng toán cụ thể về phân tích một đa thức thành nhân tử, là điều tôi băn khoăn trăn trở trong suốt một năm qua khi tham gia dạy toán học sinh lớp 8 và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8

Nay tôi đưa ra một cách mà tôi đã làm, gọi đó là: Sử dụng nghiệm của đa

thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử, đã góp phần giúp các em định

hướng tốt hơn khi phân tích tìm lời giải cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Tôi đã tiến hành chọn đối tượng học sinh khá giỏi toán trong khối học sinh lớp 8 của nhà trường với số lượng 10 em, tiến hành khảo sát chất lượng trước khi tiến hành đề tài

3) Mục tiêu của đề tài:

Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm ra lời giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, phát hiện ra những sai lầm trong quá trình sử dụng phương pháp đó;

kỹ năng trình bày lời giải một bài toán; kỹ năng tìm nghiệm của đa thức; lớn hơn là phát triển tư duy toán học; tư duy nghiên cứu khoa học

4) Giả thiết khoa học của đề tài:

Thực hiện tốt đề tài này trước hết là tạo ra hứng thú học và làm toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và nâng cao chất lượng học bộ môn toán trong nhà trường đặc biệt là học sinh giỏi toán, tạo ra một thế hệ học sinh giỏi toán trong tương lai cho học sinh THPT

5) Phương pháp nghiên cứu:

- Điều tra khảo sát chất lượng học sinh giỏi toán

- Phân tích các nguyên nhân dẫn tới chất lượng học sinh làm bài còn thấp

- Tổng hợp các nguyên nhân, đánh giá cụ thể và tiến hành đề tài

- Khảo sát điều tra cụ thể sau khi tiến hành đề tài

- Đánh giá lại hiệu quả của đề tài , khái quát và nhân rộng đề tài

6) Đóng góp về mặt khoa học của đề tài.

Thực hiện tốt đề tài này sẻ góp phần nâng cao chất lượng học toán cho học sinh trường THCS, góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán , phát

triển tư duy toán học; tư duy trừu tượng cho học sinh.Tạo ra một thế hệ học sinh giỏi toán cho hiện tại và tương lai

II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: :

1) Cơ sở lý luận:

Đảng và nhà nước ta luôn coi trọng việc phát triển giáo dục và đào tạo và coi đó là quấc sách hàng đầu, phát triển giáo dục và đào tạo làm nền tảng cho

sự phát kiển kinh tế xã hội Nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường trở nên cấp thiết hơn bao giờ hết, đó là cốt lỏi của vấn đề

Bộ môn toán trong nhà trường THCS là bộ môn khoa học cơ bản đóng một vai trò quan trọng, phân tích đa thức thành nhân tử chiếm một tỉ lệ khá lớn và

nó lại là phần quyết định khảnh định sự thành công của học toán Việc học tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân sẻ tạo ra tiền đề cho học sinh giỏi toán trong tương lai gần, rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng nghiệm của đa thức là việc nên làm vì nó tạo ra cho các

em một thoi quen, một sự phản xạ đúng hướng, phát hiện nhanh vấn đề, sử dụng nghiệm như là chọn điểm rơi, trong cuộc sống đây là cách làm thường ngày cho những học sinh có tính kỹ luật, có tư duy phát tiển tốt và có hoài bảo lớn Vừa tạo ra sự tự tin trong học toán vừa rèn luyện kỹ năng phân tích , đánh giá, chọn lựa những phương án, những kết quả phù hợp với bài toán từ đó lật ngược lại vấn đề để giải một bài toán, đây cũng là một cách trau dồi tư duy, phát triển tư duy toán học, tư duy khoa học trong tương lai

2) Cơ sở thực tiển:

Thực tế trong nhà trường THCS việc các em học sinh lớp 8 còn thiếu rất nhiều kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử là đúng vì nhiều lý do, tuy nhiên trong đó phải khẳng định rằng đây là bài toán khá khó và quan trọng

và phạm vi ứng dụng lại rộng lớn Thực tế cho thấy việc giải được những bài toán khó lại khẳng định sự vượt trội về khả năng tư duy của mỗi học sinh so với các em học sinh khác

Từ thực tế cho thấy giáo viên giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi còn gặp rất nhiều khó khăn về chương trình và tài liệu, tài liệu về toán rất đa dạng và phong phú tuy nhiên còn thiếu tính vừa sức, tính chuẩn

Theo quy định thì hiện tại không phổ biến các lớp chuyên toán cho học sinh lớp 8 cấp THCS nhưng vấn đề nâng cao chất lượng đội ngủ học sinh giỏi toán không thể không tiến hành Chính vì vậy là một giáo viên dạy toán cấp THCS tôi đã tiến hành khảo sát, tổng hợp, báo cáo lên ban giám hiệu tiến hành xin phép thực hiện đề tài này nhằm nâng cao chất lượng đội ngủ học sinh giỏi toán

3) Kết quả trước và sau thực hiện đề tài:

Tôi dã tiến hành khảo sát chọn 10 em học sinh giỏi toán vào một đội tuyển và tiến hành thực hiên đề tài

Thực hiện đề tài / xếp loại Giỏi Khá Trung bình Trước khi thực hiện đề tài 1 (em) 3 (em) 6 (em)

4) Các biện pháp đã thực hiện:

* x0 là một nghiệm của đa thức f x( )khi và chỉ khi ( ) 0 0

* Nếu f x( ) có một nghiệm x0 thì f x( ) x x 0G(x)

(với G( )x là đa thức biến x)

Bài toán1:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2

2

b) ( )f x x  3x 2

2

c) ( ) 6f x  x  5x 1

2

d) ( ) 12f x  x  x 1

Lời giải:

Lời giải:

2

a f x x  x

x2  x 2x 2

x2  x  2x 2

x x  1  2x 1

x 1 x 2

- Nhận xét 1: Ta thấy f x( ) x2  3x 2 có một nghiệm x 1 vì

2

(1) 1 3.1 2 0

f     nên f x( ) có một thừa số là x  1 Từ đó ta nghỉ ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử x 1 hay f x( ) xuất hiện các hạng tử x x  1 x2  x

2

b) ( )f x x  3x 2

x2  x 2x 2

x2 x2x 2

x x  1 2x 1

x 1 x 2

- Nhận xét 2: Ta thấy f x( ) x2  3x 2 có một nghiệm x 1 vì

f       nên f x( ) có một thừa số là x 1 Từ đó ta nghỉ ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử x 1 hay f x( )

xuất hiện các hạng tử x x  1 x2 x

2

c) ( ) 6f x  x  5x 1

 6x2  3x 2x 1

 (6x2  3 ) (2x  x 1)

 3 2x x  1  2x 1

2x 1 3  x 1

- Nhận xét 3: Ta thấy f x( ) 6  x2  5x 1 có một nghiệm 1

2

2

    nên f x( ) có một thừa số là 1

2

x  Từ đó ta nghỉ ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử

1 1

2 1

2 2

x  x hay f x( ) xuất hiện các hạng tử x x2  1  2x2  x hay là làm xuất hiện các hạng tử 3 2x x  1  6x2  3x

2

d) ( ) 12f x  x  x 1

 12x2  3x 4x 1

 (12x2  3 ) (4x  x 1)

 3 (4x x 1) (4  x 1)

 (4x 1)(3x 1)

Bài toán2:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3

a f x x  x b) ( )f x x3  7x 6

c) ( )f x x  5x  8x 4 d) ( )f x x3  9x2  6x 16

Lời giải:

x3  x2  x2  x3x 3

x x2  1x x  1 3x 1

x 1 x2  x 3

- Nhận xét 4: Ta thấy f x( ) x3  2x 3 có một nghiệm x 1 vì

3

(1) 1 2.1 3 0

f     nên f x( ) có một thừa số là x 1 Từ đó ta nghỉ ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử x 1 hay f x( ) xuất hiện các hạng tử x x2  1 x3  x2 nên ta có thể tách

x3  x2 x2  x 6x 6

x3  x2  x2  x 6x 1

x x2  1 x x  1 6x 1

x 1 x2  x 6

x 1 x 2 x 3 ( Vì đa thức có nghiệm x 1)

c) ( )f x x  5x  8x 4

x3 x2  4x2  4x4x 4

x x2  1 4x x  1  4x 1

x 1 x2  4x 4 x 1 x 22 ( Vì đa thức có nghiệm x 1)

d) ( )f x x  9x  6x 16

x3 x2   10x2  10x16x 16

x x2  1 10x x  1 16x 1

x 1 x2  10x 16 x 1 x 2 x 8

( Vì đa thức có nghiệm x 1)

Bài toán3:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

) A

)

Lời giải:

) A

b c a   2 bc ab ac  

b c a2  ab ac bc 

a b b c a c       

- Nhận xét 5: Ta thấy A a b c 2   b c a2  c a b2   xem như đa thức với biến b còn a, c là những số cho trước ( tham số) Với b c thì

nghỉ ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử b c

Và nghỉ đến việc dữ lại hạng tử a b c2  

Nên có thể tách như trên A a b c 2  bc b c   a b 2  c2

a b 3 c3  3c a b a b c       a3  b3  c3

a3 b3  3ab a b  c3  3c a b a b c       a3  b3  c3

 3ab a b   3c a b a b c      

3 a b ab ac bc c       2

3 a b a b c     c b c  

3 a b b c c a        

( Vì nếu xem đa thức B a b c  3  a3  b3  c3 với biến a còn b,c là tham số thì đa thức trên có nghiệm là a b Từ đó giúp ta nghĩ đến việc là xuất hiện nhân tử a b )

c) C a a 2b  b a b2  a a b  b  b a  a b  a a b  3 b33b a b a b b        b a b  3a3 3a a b a b a      

a b  3 a b  ab3  ba3 3ab a b a b       a b a b      a b 2 ab 3ab

( Do đa thức C a a  2b3  b a b2  3 với biến a còn b,c là tham số có

nghiệm là a b Làm xuất hiện nhân tử a b )

d D a b c)     b c  b c a   c a c a b   a b 

a b c   2 b c  b c a   2 b c   a b  c a b   2 a b 

a b c   2 b c  b c a   2 b c  c a b   2 a b  b c a   2 a b 

b c a b c    2  b c a  2 a b c a b    2  b c a  2

b c ab   2 ac2  bc2  ba2a b ca   2 cb2  bc2  ba2

b c ab a b  c a b2   a b a b c2  bc b c  

b c a b c      2 bc ab a  2

a b b c c a a b c           

( Vì đa thức D a b c    2 b c  b c a   2 c a c a b   2 a b  coi như biến chỉ là a còn b c, là tham số thì nó có nghiệm là a b a c ;  )

* Việc thử nghiệm của đa thức rất dễ dàng tuy nhiên để đảm bảo thứ tự hợp lý

ta nên tiến hành thứ tự như sau:

Nếu P a b c( ; ; ) P a c b( ; ; ) P(b;a;c) P(b;c;a) P(c;a; b) P(c;b;a)    thì P gọi là đa thức đối xứng Nếu coi đa thức đối xứng P a b c( ; ; ) có biến a còn b c, tham số Nếu a b là nghiệm thì P có nhân tử a b

Nếu ab là nghiệm thì P có nhân tử a b

Nếu a b c  là nghiệm thì P có nhân tử a b c 

Nếu ab c là nghiệm thì P có nhân tử a b c  …

Bằng cách này ta tìm được một nhân tử của đa thức, từ đó tìm cách tách các hạng tử của đa thức và đồng thời lưu ý dữ nguyên nhân tử tìm được

Bài toán4:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Phân tích: Nếu thay a b c  vào đa thức A thì A 0, nên A có một nhân tử là

a b c 

Lời giải:

A a b 2 c2 b c 2 a2 c a 2 b2 2abc a 3  b3  c3

a b c  2  2abc b a c   2  2abc c a b   2  2abc a 3  b3  c3

a b c  2  a2  b c a  2  b2  c a b  2  c2 

a b c a b c a       b a c b a b c       c a b c a b c       

a b c a a b c       b a b c a b c       c a b c a b c       

a b c  a b c a   b a b c   c a b c   

a b c   ab ac a  2 ab b 2 bc ac bc c   2

a b c b   2  c a 2 a c b b a c c b a          

* Việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt sẻ tạo điều kiện thuận lợi cho giải quyết dạng toán, bài toán khác Ví dụ bài toán sau đây!

Bài toán5: Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn a b a ab bc ca       abc

Tính giá trị biểu thức sau: Pa b c  2017  a2017  b2017  c2017

Phân tích:

Thay ab thì a b c ab bc ca       abc   b b c   b2 bc cb b c2  0

Nên đa thức a b a ab bc ca       abccó nhân tử chung là a b

Lời giải:

Ta có a b a ab bc ca       abc a b c ab   bc ca   abc 0

0

0

a b

c a

 







  



Nếu a b   0 ab thì P  b b c  2017   ( )b 2017  b2017  c2017 c2017  c2017  0

Tương tự: Nếu b c  0 hoặc c a  0 thì P 0 Vậy P 0

Bài toán6: Cho a b c   0.

Chứng minh rằng:a b3 2 b c3 2 c a3 2 a b2 3 b c2 3 c a2 3

Phân tích:

Đa thức P a b 3 2 b c3 2 c a3 2  a b2 3  b c2 3  c a2 3 có biến a có nghiệm ab và

có nghiệm ac

Lời giải:

Ta có: a b3 2 b c3 2 c a3 2 a b2 3 b c2 3 c a2 3

 a b3 2 b c3 2 c a3 2  a b2 3  b c2 3  c a2 3  0

 a b3 2  a b2 3 b c3 2  c b2 3 c a3 2  c a2 3  0

 a b a b2 2   c b2 3  a3c a3 2  b2  0

 a b a b  2 2 c b2 2 ab a 2c a b3   0

 a b a b   2 2  b c2 2  abc2  a c2 2 c a c b3  3   0

 a b a b   2 2  c b2 2 c a a c3  2 2 c b abc3  2  0

 a b a c b c ab bc ca             0

( Là bất đẳng thức đúng vì a b c   0)

* Việc sữ dụng nghiệm của đa thức có thể tách và ghép các hạng tử của đa thức một cách hợp làm cho tiến độ làm bài nhanh hơn rất nhiều khi phân tích các đa thức thành nhân tử, đây chính là ưu việt của đề tài này

* Vận dụng phương pháp trên có thể giải quyết được các bài tập tương tự sau:

Bài toán7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

) a

b) a b a b b c b c c a c a

c) a b c b c a c a b

d) a b c   a b c   b c a   c a b 

e) abc  ab bc ca   a b c   1

5) Bài học kinh nghiệm:

Từ kết qua trên cho thấy sự thành công rỏ rệt, đồng thời tôi cũng rút ra được một số kinh nghiệm sau:

Việc tiến hành đề tài cần chọn những học sinh khá giỏi, đối tượng là học sinh giỏi toán trong tương lai

Giáo viên cần sắp xếp thời gian hợp lý để thực hiện đề tài, giống như dạy một chuyên đề thì hiệu quả sẻ cao hơn

Khi thực hiện đề tài này đã có những em phát triển kỹ năng trình bày, kỹ năng tư duy toán học, sử dụng máy tính, phán đoán để tìm nghiệm của đa thức Bằng cách này hàng năm đã có nhiều thế hệ học sinhgiỏi toán, các em phát triển tư duy tốt, nhiều em đậu học sinh giỏi toán các cấp, vào được lớp chuyên toán cấp THPT

III – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

1) Kết luận:

Trên đây là toàn bộ nội dung sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng nghiệm của

đa thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử, là suy nghỉ cũng như việc

làm của bản thân tôi khi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 cấp THCS Tôi thiết nghỉ đây là một việc làm cần thiết trong nghề dạy học, cần phải cố gắng nhiều hơn nữa mới có thể có những kinh nghiệm thực sự tốt Phải tự học nâng cao chất lượng chuyên môn, trau dồi phương pháp Riêng về phần học sinh giỏi toán cần tuyệt đối ngăn chặn những sai lầm thường mắc phải, bằng cách kiểm tra, uốn nắn thường xuyên, cách tốt nhất là tự học, biết chọn nghiệm của

đa thức như là chọn điểm rơi khi phân tích tìm tòi lời giải một bài toán

Mặc dù đã có những thành công trên đối tượng học sinh giỏi toán lớp 8 như

đã nêu Tuy nhiên đề tài này còn không tránh khỏi những hạn chế, rất mong các bạn đồng nghiệp, bạn đọc yêu toán góp ý chân thành Tôi xin chân thành cảm ơn !

2) Kiến nghị đề xuất: Các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt nên chăng

phổ biến rộng rải hơn TP Hà Tĩnh ngày 4 tháng 4 năm 2017