Thực hiện phép biến đổi Laplace ta có0 kT T.
Trang 1Bài 1:
a) Ta cho nguồn dòng J khép vòng qua nhánh 2
* HPT dòng vòng:
Ta chọn chiều dòng vòng và dòng nhánh như hình vẽ:
Vòng 1: I Z&v1 ( 1 +Z2) +J Z& 2 −I Z&v2 2 =E&1
Vòng 2: (I&v2 −I&v1 −J Z&) 2 +I Z&v2 3 +Z I4 (&v2 −I&v3 ) −Z M(I&v3 −I&v4 ) 0 =
Vòng 3: Z I4 (&v3 −I&v2 ) +Z M(I&v3 −I&v4 ) +I Z&v3 5 +Z I6 (&v3 −I&v4 ) −Z M(I&v2 −I&v3 ) 0 =
Vòng 4: Z I6 (&v4 −I&v3 ) +Z M(I&v2 −I&v3 ) +Z I7&v4 = −E&7
Các dòng nhánh được tính theo dòng vòng theo HPT:
Trang 2
1 1
3 2
5 3
v
v
v
v
=
= + −
=
= −
=
= −
= −
& &
& & & &
& &
& & &
& &
& & &
& &
*HPT dòng nhánh:
3 4 5
5 7 6
1 1 2 2 2 1
2 2 2 3 3 4 4 6
0 0 0
0 0
M
M
+ − − =
− − =
+ − =
+ + =
& & & &
& & &
& & &
& & & &
& & & & &
& & & &
& & & &
*HPT thế nút khi M=0
Không mất tính tổng quát chọn ϕ = &c 0
Nút A: Y1 ( − + ϕ &a E&1 ) + −J Y& 2 ϕ &a−Y3 ( ϕ ϕ & &a − b) 0 =
Nút B: Y3 ( ϕ ϕ & &a − b) −Y4 ϕ &b−Y5 ( ϕ ϕ & &b− d) 0 =
Nút D:Y5 ( ϕ ϕ & &b− d) +Y7 ( − + ϕ &d E )&7 −Y6 ϕ &d = 0
Ta có HPT tính các dòng nhánh theo thế nút:
1 1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7 7
a
a
b
d
d
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= −
=
= −
=
= −
=
& & &
& &
& & &
& &
& & &
& &
& & &
b)Ta có các ma trận
Dòng nhánh: ( 1 2 3 4 5 6 7)
T nh
I& = I& & & & & & &I I I I I I
Trang 3Dòng vòng ( 1 2 3 4)
T
I&= I& I& I& I&
Điện áp nhánh: ( 1 2 3 4 5 6 7)
T nh
U& = U& &U U& U& U& U& U&
Nguồn áp nhánh: E&nh =(E&1 0 0 0 0 0 E&7)T
Nguồn dòng nút: J&n =(J& 0 0)T
Nguồn dòng nhánh: J&nh =(0 J& 0 0 0 0 0)T
Thế nút: ( )T
ϕ & = ϕ ϕ ϕ & & &
Ma trận tổng trở nhánh:
1 2 3 4 5 6 7
M
Z Z Z
Z
Z
Ma trận tổng dẫn nhánh:Y nh =Z−1nh
Ma trận nhánh nút:
A
Ma trận vòng nhánh:
C
Trang 4*HPT dòng nhánh:
0
T
A I J
C Z I C E
=
& &
*HPT dòng vòng:
Áp dụng định luật Kiechop 2 và định luật Ôm ta có hệ phương trình:
0
T nh
C U
= +
=
& & &
&
& & &
Thay I&nhtrong phương trình thứ nhất và U&nhtrong phương trình thứ 3 vào phương trình thứ 2 ta suy ra HPT dòng vòng:
C Z CI T nh &v=C E T &nh−C Z J T nh nh&
*HPT thế nút:
0
nh T nh
C U
ϕ
= −
= +
& &
&
& & &
Suy ra: T ϕ & = T & + &
Bài 2:
Vì ta đang xét bài toán ở chế độ xác lập điều hòa với các tần sốω =314(rad s/ )nên
ta có thể bỏ qua các thành phần có tần số khácω trong biểu thức các nguồn nhánh và
nguồn dòng
a)Sử dụng chương trình Matlab ta có thể tính được dòng các nhánh theo chương
trình sau
B=[1 1 0 0 0 0 0;0 -1 1 1 0 0 0;0 0 0 -1 1 1 0;0 0 0 0 0 -1 -1]
E1=300; J2=2*exp(j*pi/12)
Enh=[E1;0;0;0;0;0;0]
Jnh=[0;J2;0;0;0;0;0]
Z1=200+j*314*0.2;Z2=500;Z3=-j/(314*10^(-5));Z4=500+j*314*0.3;
Z5=-j/(314*16*10^(-6));Z6=10^6+j*314*0.4;Z7=400;
Zm=-j*314*0.1
Znh=[Z1 0 0 0 0 0 0;0 Z2 0 0 0 0 0;0 0 Z3 0 0 0 0;0 0 0 Z4 0 Zm 0;0 0 0 0 Z5 0 0;0 0 0 Zm 0 Z6 0;0 0 0 0 0 0 Z7]
Zv=B*Znh*B'
Ev=B*(Enh-Znh*Jnh)
Iv=Zv\Ev;
Inh=B'*Iv
Chạy chương trình ta thu được
Inh = -0.5224 + 0.2299i
-1.0940 - 0.5440i
0.5716 + 0.7739i
Trang 50.3945 + 0.2634i
0.1771 + 0.5105i
0.0001 + 0.0002i
-0.1771 - 0.5103i
Chuyển dòng các nhánh về dạng điều hòa ta có
1 2 3 4 5
4 6
7
o
o
o
o
o
o
−
Sau khi xác định được các dòng qua các nhánh, ta có thể xác định công suất tác dụng của các nguồn nhờ công thức sau:
Công suất nguồn 1: 1 Re( 1) Re(E1 1 ˆ)
Công suất nguồn : Re( ) Re( 2 ˆ)
Sử dụng Matlab với các lệnh sau
Unh=Znh*(Inh+Jnh)-Enh
Pe1=real(E1*conj(Inh(1)))
Pj=real(conj(J2)*Unh(2))
Ta thu được giá trị công suất của các nguồn
( ) ( )
802.4645
e
j
W W
P P
=
=
−
BC U
U K E
= &&
ta triệt tiêu nguồn J
Sử dụng Matlab theo chương trình sau
B=[1 1 0 0 0 0 0;0 -1 1 1 0 0 0;0 0 0 -1 1 1 0;0 0 0 0 0 -1 -1]
E1=300
Enh=[E1;0;0;0;0;0;0]
Z1=200+j*314*0.2;Z2=500;Z3=-j/(314*10^(-5));Z4=500+j*314*0.3;Z5=-j/(314*16*10^(-6));Z6=10^6+j*314*0.4;Z7=400;
Zm=-j*314*0.1
Znh=[Z1 0 0 0 0 0 0;0 Z2 0 0 0 0 0;0 0 Z3 0 0 0 0;0 0 0 Z4 0 Zm 0;0 0 0 0 Z5 0 0;0 0 0 Zm 0 Z6 0;0 0 0 0 0 0 Z7]
Zv=B*Znh*B'
Ev=B*Enh
Iv=Zv\Ev;
Trang 6Unh=Znh*Inh-Enh
Ku=Unh(4)/E1
Ta thu được giá trị của KU= 0.3153 + 0.1498i
c) Để tính vẽ đặc tính tần của KU, ta cần tìm hàm của KU theo p=jω
Ta sẽ sử dụng phương pháp thế nút để tìm U& BC
Không mất tính tổng quát giả sử ϕ = &C 0
Theo định luật Kirchoff 2 ta có
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
= +
=
= −
= −
= −
= −
= −
& & &
& &
& & &
& &
&
& & &
& &
&
& & &
4 4 6
6 6 4
a
a
d
Từ đây ta thu được HPT dòng các nhánh theo thế nút
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
=
=
& & &
& &
& & &
& &
&
& & &
& &
&
& & &
4
4 6
6
4 6
a
a
M M
M M
d
I Y Y
Y Y Y
I Y Y
Y Y Y
Áp dụng định luật Kirchoff 2 cho các nút A,B,D ta có
1 2 3
3 4 5
5 7 6
0 0 0
− − =
− − =
+ − =
& & &
& & &
& & &
Thay các biểu thức tính dòng các nhánh theo thế các nút vào HPT trên rồi rút gọn ta được
Trang 7
2
4 6 4
2
M M
Y Y Y
Y Y
&
& &
& & &
& &
Ta giải hệ này bằng phương pháp Gauss
HPT được viết lại như sau
ϕ ϕ ϕ
&
& &
&
&
2 2
4
2
0
0
a M
M
b
c
Y Y
Nhân dòng 1 với
3
Y
Y Y+ +Y rồi cộng vào dòng thứ 2 ta được
2 2
4
2
0
0
a M
M
b
c
Y Y
ϕ ϕ ϕ
&
& &
&
&
Suy ra
2 2
4
2
Y
M M
d
Y Y
Y Y Y
Y Y Y
ϕ ϕ
&
&
&
Từ đây dễ dàng giải được
2
2
2
4
Y
M M b
M
Y
Y Y
Y Y Y
ϕ
+ +
=
&
&
Trang 8Suy ra 1 1
U
U K
ϕ
= && = &&
+ +
=
2
2
2
4
1 2 3
Y
M M
M
Y
Y Y
Y Y Y
Trong đó
1
5
2
4
6
7 7
200 0,2 1
500 0,3 16.10
1 0,0025
M
Y
R Y
Y
Y R Y
pM p
−
−
−
−
Thay số ta có
1
5
2
4
6
7 7
200 0,2 1
500 0,3 16.10
1 0,0025
M
Y
R Y
Y
Y R Y
pM p
−
−
−
−
Thay số vào rồi rút gọn(sử dụng phần mềm Matlab) ta có
Trang 9Sử dụng Matlab ta vẽ được đặc tính tần KU bằng sơ đồ Nyquist như sau
Bài 3:
3
1 2.200sin(10 )( )
a) Lập HPT cho biến tự nhiên và biến trạng thái
U
Trang 10Ta chọn 2 biến trạng thái là u t i t c( ), ( )L1
Khi khóa K đóng, theo các định luật Kirchoff ta có
1 1 1 1 2 2
2 2
1 2
' 0 ' 0
c c
− =
− − =
Từ đây suy ra
1 1 1 1
1 2 1
2
' '
c
L i u R i e
u
Cu i i i
R
Rút gọn ta được mô hình trạng thái của mạch
1
1 2
'
'
c
c
c
i u u
C CR
= −
Hay viết lại dưới dạng ma trận
1
1
2
1 '
0
R
e
L
= ÷ ÷+
− ÷ ÷
b)
Khi chưa đóng khóa K mạch có sơ đồ như sau
Trang 11• Ta có:Z1 = +R1 j Lω 1=1000 100 ( ),+ j Ω Z2 =R2 =2000( ),EΩ &1=200( )V
•
3 1
1 2
1 2
200
0,067 2,22.10 (A)
3000 100
E
−
&
& &
i1= 2.0,067sin(103t −1,9 )(A)o
i1( 0)− = −3,14.10 (A)−3
• Theo định luật đóng mở 1 : ( 0)u c − =u c( 0) 0+ =
• Theo định luật đóng mở 2 : L i1 1( 0)− = L i1 1( 0)+ => + = −i1( 0) 3,14.10−3 (A)
• Sau khi đóng khóa K sử dụng 2 định luật Kirchhoff
2 2
c
c
từ đó ta có:
2
( 0) 0
i
+ =
3
1 1000( 3,14.10 ) 0,1 '( 0) 0− − + i + = i1'( 0) 31,4( ) + = A
Mà i1( 0)+ − + =i2( 0) Cu c'( 0)+ = + = −i1( 0) 3,14.10−3 Suy ra
'( 0) 196,25
c
u + = −
Trang 12 Tính đáp ứng cưỡng bức
Sau khi đóng khóa K thì ta sẽ có mạch
Khi mạch ở trạng thái xác lập
Chọn ϕ =&B 0
Dễ dàng suy ra
1 1
1 2 3
A
Y E
ϕ =
+ +
&
&
Thay số
1
1000 100
+
ϕ =&A -0,078-12,46j=U&C
3 2.12,46sin(10 90,36 )( )
xl
o c
Tổng trở vào nhìn từ nhánh 3 là
2 1 1
v
Z
+
= +
+ + Cho Z v =0 ta thu được phương trình đặc trưng:
2
2 1 ( 1 2 1) 1 2 0
CR L p + CR R +L p R+ +R = Thay số ta có 3,2.10−3p2 +32,1p+3000 0=
Trang 13Giải phương trình ta được p1 = − 94,34;p2 = − 9936,9
Suy ra
td
c
Mặt khác
2.12,46sin(10 90,36 )
xl td
c
Mà ( 0) 0, '( 0)u c + = u c + = −196,25
1 2
17,62 94,34 9936,9 306,97
+ =
1 2
17,8 0,14
A A
=
= −
Suy ra 2.12,46sin(103 90,36 ) 17,8o 94,34t 0,14 9936,9t
c
(V) Với t ≥0
Ta có sơ đồ toán tử của mạch
Trong đó như đã tính ở trên
3
1( 0) 3,14.10 (A)
i − = − −
Có
3
10 ( ) 200 2
10
E p
p
=
+
Áp dụng 2 định luật Kirchhoff ta có :
Trang 141 2
2 2
c
c
1
2
1
c
c
R
2
1
R
3
4
2 6
1 1 1
6
2
10
( )
1,6.10 ( 94,34)( 9936,9) 1
c
U p
R
−
−
−
3
1 2
6 2 6
( )
1,6.10 ( 10 )( 94,34)( 9936,9) ( 94,34)( 9936,9)
c
−
(đặt U1,U2 lần lượt là 2 số hạng của biểu thức trên)
11
( )
M p
U p
Cho N p( ) 0= 3 3
Với p1 =103 j =>
11
8,81 0,055 8,81 179,64
o
p p
M p
Với p3 = −94,34 => 3
11
17,82 '( )p p 9,93.10
M p A
11
'( )p p 9,8.10
M p
1
{ } 2.8,81.cos(10 179,64 ) 17,82.o t 0,18 t 1( )
Trang 15
2
( )
M p
U p
Cho N s( ) 0= p1 = −94,34;p2 = −9936,9
Với p1 = −94,34 => 1
1
0,02 '( )p p 9842,56
M p A
Với p2 = −9936,9 => 2
2
0,02 '( )p p 9842,56
M p A
−
2
L U− = e− − e− t
Suy ra
c
u t =L U− −L U−
17,62cos(10 t 179,64 ) 17,8.o e− t 0,16.e− t 1( )(V)t
Kết luận: 2 phương pháp cho ra cùng 1 kết quả như nhau
Bài 4: Cho mạch điện và các thông số:
3
0 10 ( )
Trước thời điểm đóng khóa K thì trong mạch chưa có dòng điện nên ta dễ dàng thấy i L( 0) 0, ( 0) 0− = u c − =
Từ đó ta có sơ đồ toán tử của mạch quá độ
Trang 16
Áp dụng 2 định luật Kirchhoff ta có
1 1 1 1
2 2
C
c c
Từ đó ta có
2
2
1
2
2
( ) ( )
1
1
+ + ÷+ =
c
c
c
U p
I p
R
R
R
Suy ra
0
T
0 7
( )
3,2.10 ( 4195,13)(p 1117,36)
∞
=
−
=
k c
U p
p
Từ đồ thị đề bài cho ta có
U
T
Trong đó
0
0
k
U
T
Suy ra
k
u t t kT t kT t kT T t kT T U t kT
Trang 17Thực hiện phép biến đổi Laplace ta có
0
(kT T )
( )
.
p
k
p
− +
Suy ra
0 (kT T )
2
( )
1
1
∞
− +
=
=
+ + ÷+
∑ kTp p kTp k
c
U p
R
Thay số ta có
0 7
(p)
3,2.10 (p 4195,13).(p 1117,37)
=
−
=
n
k c
U
Ta xét số hạng đầu tiên
(p)
3,2.10 (p 4195,13).(p 1117,37)
−
−
=
o
pT
c
e
U
(1)
* Xét
5
7 2
3,2.10 p (p 1117,37).(p 4195,13)− (p)
−
M a
N
N(p) có các nghiệm p1=0;p2 = −1117,37;p3 = −4195,13
-Với p1 =0 (nghiệm bội)
•
5
10
3,2.10 p (p 1117,37).(p 4195,13)−
→
p
•
5 2
10
3,2.10 (p 1117,37).(p 4195,13)
p
d
→
-Với p2 = −1117,37
11
81,32 '( )p p 3,843.10
M p A
−
-Với p3 = −4195,13
Trang 18• 3
11
5,77 '( )p p 5,417.10
M p A
−
− Suy ra
1{ } 75,57 6,67.104 81,32 1117,37t 5,77 4195,13t 1( )
M b
N
N(p) có các nghiệm p1=0;p2 = −1117,37;p3 = −4195,13
• Với p1 =0 thì 1
8
(p) 3,125.10
66,49 '(p) = 4,7.10
p p
M A N
• Với p2 = −1117,37 thì 2
8
90,87 '(p) = 3,439.10
−
p p
M A N
• Với p3 = −4195,13 thì
8
(p) 3,125.10
24,20 '(p) 1,29.10
A N
Suy ra L b−1{ }=(66,56 90,87− e−1117,37t +24,20e−4195,37t).1( )t
* Xét
5 2 7
10 3,2.10 (p 1117,37)(p 4195,13)
−
−
=
o
pT
e p c
Ta thấy = − . −pT o
Suy ra
1117,37( ) 4195,13( )
0
o
Từ (1) ta có U c0( ) a b cp = + +
0(t)= − + − + −
c
Suy ra
0 ( )=75,57 6,67.10− 4 −81,32. −1117,37t+5,77. −4195,13t.1( )
c
+(66,56 90,87 − e− 1117,37t+ 24,20e− 4195,37t).1( )t
Trang 190 0
1117,37( ) 4195,13( ) 4
0
o
Rút gọn ta được
= − 4 − 1117,37 + 4195,13
c
1117,37( ) 4195,13( ) 4
0
o
Mặt khác ta có (p)= 0(p) −pkT
= − 4 − − 1117,37( ) + 4195,13( ) −
ck
1117,37( ) 4195,13( ) 4
0
o
Từ đó ta có được biểu thức điện áp giữa 2 đầu tụ điện là
0
( ) ( )
k
=
=∑
Trong đó u t ck( )xác định như trên