Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình haminton

Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học, ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ t2%«=ELLl<œcs

BÙI THỊ PHƯƠNG

MOT SO BAI TAP CO LY THUYET

GIAI BANG HE PHUONG TRINH HAMINTON

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI - 2015

MOT SO BAI TAP CO LY THUYET

GIAI BANG HE PHUONG TRINH HAMINTON

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn

Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành

khóa luận này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên ngành tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè

những người đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành

khóa luận của mình

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào Nếu trong khóa luận có gì không trung thực thì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thị Phương

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

6 Bố cục của đề tầi can ng ng v9 E3 8E xxx re rererererererererrrrrees 2

7 Đóng góp của đề tầi - + cc+cxcncx HT TH T1 1 11 11x erxrrrrkee 2

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN -s5 ssssssseo 3

1.1 Khái niệm về liên kẾC :-2+2ccttrttsrrrtrrrrrrrrtrrrrrrrrrrrrrrrree 3 1.1.1 Số bậc tự do — Liên Kết . csccrtrrrrtrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrree 3

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 2- 2s s=s2cscssrsd 5

1.3 Liên kết lí tưỞngg - - - ssct SE Ecv 9gEchghtg ggg ggrcre 6

IS Pì 06c äA 7

IS acc 06 re 7 1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự đO - - < c9 993 9 11511 re 9 1.4.3 Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau . 10

1.5 Hàm HaminfOI SG G 2G 22s E359 809.958 59.9 9.5 9999 9 9 9 95 cv 11

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON s‹s5 s<s5s2 12 2.1 Phương trình tổng quát của động lực học «««s<ssssss2 12

“(001260 8sEiii0 018 13

“⁄NĐ.ì¡ìï2800,iis01ià ái 01077 13

2.2.2 Xây dựng hàm HaminfOH - 2< 5 + 5 131331933 5355353322 13 2.2.3 Phương trình Haminfon 55 - 555523332 ssssssss 15 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SÓ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 7.90041900023727 17

3.1 Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin để giải bài tập 17

3.2 Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập 17

910 00/007 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 2< s<s<2ss<esessesssses 46

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Dưới sự phát triển không ngừng của khoa học, vào thé ki XIX mot

chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khăng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật

lý học và toán học, đó chính là ngành “Vật lý lý thuyết” Nó đã diễn tả được các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tổng quát vả có ý nghĩa to lớn trong khoa học và đời sông cũng như trong kĩ thuật Bên cạnh đó, nhờ những suy luận lôgic nó còn tìm ra được những quy luật mới chưa thể tìm ra bằng thực nghiệm

Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng

của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt Việc vận dụng các kiến

thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với người học Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần phát triển khả năng tư duy Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học, ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó khăn cho người học Là một phần quan trọng trong bộ môn cơ lý thuyết hệ phương trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới để tiếp cận bài tập

Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lý thuyết giải

bằng hệ phương trình Haminton” để làm để tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu đề tài

Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết để tìm ra quy luật chuyên động của chat diém, cua cơ hệ

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

- Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết

- Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết

- Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Hammfon

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết

- Phương pháp vật lý toán học

6 Bồ cục của đề tài

Chương 1: Những khái niệm cơ bản

Chương 2: Phương trình Hammnton

Chương 3: Giải một số bài tập băng hệ phương trình Haminton

7 Đóng góp của đề tài

- Tìm hiểu tổng quan về xây dựng hệ phương trình Haminfon và áp

dụng nó để giải một số bài tập cơ lý thuyết

- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi học môn cơ lý thuyết

NỘI DUNG

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Khái niệm về liên kết

1.1.1 Số bậc tự do — Liên kết

1.1.1.1 Số bậc tự do

Xét ] cơ hệ gôm N chất điểm M¡, M¿, MN chuyên động đối với hệ

quy chiếu quán tính Vị trí của chất điểm M; trong không gian được xác định bởi bán kính vecto ? hay ba tọa độ Descartes Xị, yi, Zi Để xác định vị trí của

cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto 7, (i=1,2, ,.N) hay 3N tọa độ

Descartes X;, y¡, Z¡ (7 = 1,2, ,N )

Sô thông sô độc lập can thiệt đê xác định một cách đơn gia vị trí của cơ

hệ gọi là số bậc tự do của nó

1.1.1.2 Khái niệm về liên kết

Những điêu kiện hạn chê vi trí và vận tôc của các chât điêm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết

Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của

các tọa độ Xét 3 chất điểm A(x,,y,,z,),(%,, y,,z,),C(Œ%,, y,,z;) và khoảng

2 chất điểm B, C là 7, 2 chất điểm A, C là 23 cách giữa 2 chất điểm A, B là 7 3°

r,,, biéu thirc thé hién su rang budc: A(x, Vị, Z4)

Ff, his Von Z ype yy Vays Sy X19 Vy Lape & yo Vy Syst) =OVGi (@ =1,2,3, 4)

Hay rut gon: #,Œ,1,£)=0 (œ =1,2, k,¡ = 1,2, N)

Khi ƒ không phụ thuộc vào vận tốc thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên

kết hình học:

ƒ Œ,t)=0 (œ =1,2, k,¡ = 1,2, N) Khi ƒ phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học

f,(ñ,.t)=0 với (ø =1,2, k,¡ =1.2, N)

Ta có: 41,Œ,Ð =Š) Leah + Tear =0 với (œ =1,2, N) (1.1)

i=l OF,

Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là

liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được

1.1.1.3 Hệ hôlônôm

Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên

nó gọi là cơ hệ hôlônôm

Pf +g¢,(F,t)=0

a„#, +b„ÿ, +c„#, + g;(F,f) =0 B,“ +g,(E/)=0

P,dr + g,(7,t)dt =0 voi (B =1,2 ,Nji=1,2, N) (1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được

gọi là cơ hệ không hôlônôm

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo

1.1.2.2 Dich chuyén ảo

Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả đĩ vô cùng bé

OF = dr — dr,

1.2 Tọa độ suy rộng

Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm M; (¡ =1,2, „N ) với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học

Để xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s =3 —rmm—n tọa độ độc lập an, q›, q; thì q¡, qa, q; là những tọa độ suy rộng

Giả sử có chất điểm M; chuyển động dưới tác dụng của lực #,

(i=1,2, ,N) Néu chat diém chuyén động tự do, theo định luật II Niutown, ta

mw,=F +R (i=1,2, ,N) (1.5)

Dé phân biệt với phản lực Ñ ta gọi lực F là hoạt lực hay lực hoạt động

Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tông công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:

3"RØð; =Š`(R,ðc + R ở, + R,ð,)=0

1.4 Ham Lagrange

1.4.1 Ham Lagrange

Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s toa dO suy rong q,,q., q,

tì ham Lgrange U=L(g,Q, g,.đ ở; 4,.f)hay:L=L(q,.d,.tf) với

k =1,2., ,8

Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyên trạng thái

của cơ hệ là thực thì có thể xác định các q„ nhờ phương trình Lagrange:

— 0 VỚI k=1,2, S

Trong đó: LE=T-U

a) Ham Lagrange co tinh chat cộng tính

Hệ cơ học được cẫu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange 18 La, Lp Nếu

bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LẠ + Lạ b) Hàm Lagrange có tính bất định

Xét 2 hàm /(g,.¿,.£) và 1/(g,.-,.£) liên hệ với nhau bằng biểu thức:

đƒ (4,†) LÍ(q,.ä,.t)= L(4,.4,.f)+ Ht

N 2

Ke pean Hy, , ` AK phy ath ’ ^

Đôi với hệ: L=3 ——* trong đó n là sô chât điệm của cơ hệ

i=]

- Trong hé toa dé Descartes:

> (dl) (ai (¥) =| —] =| — dt dt

dị” = drˆ + rˆ4Ø” + rˆ sin” 0dợø”

=>L= _ +r?#Ø +rˆ”sin? 09” )

2 1.4.3 Ham Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau

Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

2.1 Phương trình tổng quát của động lực học

Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng

Phương trình chuyển động của chất điểm ¡ của cơ hệ có dạng:

Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng v, =0,w, =0 ta được nguyên lí quan trọng sau của tĩnh học:

2.2 Phương trình Haminton

2.2.1 Xung lượng suy rộng

Xét hàm Lagrange của cơ hệ:

Khi đó, ¿, được gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k

gđ, được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k

Thế năng U không phụ thuộc vào ¿, nên p¿ có dạng:

SN, oL

Và đH => ¿,dp, - p,dq, “aa (2.5)

k=l

Như vậy, khác với hàm Lagrange mô tả hệ cơ học băng tọa độ suy rộng

và vận tôc suy rộng, hàm Haminton mô tả cơ hệ băng tọa độ suy rộng và xung lượng suy rộng

Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là đừng thì 7 =0 và do đó lúc này hàm

Lagrange không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên = =0 ta thu được

2.2.3 Phuong trinh Haminton

Biéu thức vi phân toàn phần của H có thể viết:

dH =Š'| “—dp,+——|+~-đi “| OH OH | OH (2.6)

i1| OD, 04, Ot Mata co:

15

Néu H không phụ thuộc tường minh vào thời gian có nghĩa là a =0 thì f

H là một đại lượng bảo toàn

Như vậy, để mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ, ngoài việc sử dụng phương trình Lagrange loại II ta còn có thể sử dụng 2s phương trình Haminton (2.7)

Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trinh Lagrange thì trạng thái của cơ hệ được xác lập bởi những tọa độ suy

rộng g,(k=l,s , vận tốc suy rộng ở (k=1,s) Những biến số g,(k =1,8), q,(k = 1,s) và t gọi là biến số Lagrange

Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng q,(k =1,5) va xung lugng suy rdng p,(k =1,s)và gọi là biên số Haminton trong trường lực thế Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế

vì nó được xây dựng cho phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế

16

CHƯƠNG 3

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HAMINTON

Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải bài tập đối với cơ hệ là cơ

hệ Hôlônôm, cơ hệ chịu liên kết lí tưởng

3.1 Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin đề giải bài tap

B1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và chọn tọa

độ suy rộng thích hợp

B2: Xác định biểu thức tính động năng T, thế năng U

B3: Xác định hàm Lagrange L và xung lượng suy rộng P

Mot chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực thế

F= -kx, trong đó k là hằng số Tìm định luật chuyển động của chất điểm Giải:

Dong nang cua chat diém:

D,= ot mx "` Ø3 Hàm Haminton của chất điểm:

m Giải phương trình vi phân này ta thu được:

x = Acos(wt + Ø) Đây là phương trình dao động điều hòa với A va @ la bién dé va pha ban đầu

Bài tập 2:

Tìm phương trình chuyển động của con lắc toán học có độ dài /, khối

lượng m, góc lệch øz khỏi phương thắng đứng bé

Hay ở+w”œ =0 với wÏ =Ỹ

19

Và giải phương trình này ta thu được:

a= Acos(wt+ Ø) Trong đó A va Ø là các hằng số được xác định từ các điều kiện ban đầu

Thế năng của chất điểm:

U =mgz (trục 0z hướng từ dưới lên trên ) Ham Lagrange và của chất điểm có dạng:

1s a, L=T-U = sme +“ +¿”)—-mgz

Hàm Haminton của chất điểm:

Những phương trình chính tắc Haminton:

po GH Ps, - Fg

Op, m Ox _ OH DP, ôn

y=— =— ,p, =-— =9

OH p, , oH z= =, p, =-—— =—mg _Ôp, om’ Oz

Tu do ta suy ra:

đầu wạ,,Vạ „„ Vạ, „ Xạ, yạ.Z¿ ta được:

Một con lắc phăng M; có khôi lượng mạ, có điểm treo M¡ với khối

lượng mạ, chuyển động không ma sát trên một đường thắng nằm ngang Con lắc có chiêu dài là Tìm phương trình chuyên động của con lắc

21

: go!

Xà

Hình 3.2 Giải:

Cơ hệ gồm hai chất điểm là M¡ và M¿

Các phương trình liên kết:

y,=0

z =0 z„=0

Cơ hệ có số bậc tự do là s =3N —n=3.2—4=2

Tọa độ suy rộng:

q,—=xX,=x q;=@

Các tọa độ Descartes được biêu diễn qua các tọa độ suy rộng:

xX, =x

y, =0

x, =x+lsing

y, =lcosp Động năng của con lắc phăng:

1 1

T =m, +mŒ; + ¥>)

22