Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ.. Viết phương trình mpP qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ.. Viết phương trình mpP qua các điểm là hình chiếu của đi
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNGGIAN
***
A HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1 Trong KG cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt
và vuông góc từng đôi một Trên Ox có véc tơ
đơn vị ir, trên Oy có véc tơ đơn vị jr và trên
Oz có véc tơ đơn vị kr Hệ Oxyz hay (O, ir, jr,
kr) như trên là hệ tọa độ không gian.
2 Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy,
trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy, Oyz,Ozx
3 Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không
gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz
4 Chú ý:
2 2 2 2 2
1
0
i j k
a a
i j ik jk
= = =
=
= = =
r r r
r r
rr rr rr
5 Tọa độ véc tơ:
ur= x y z ⇔u x y zr ⇔ =ur xir+y jr+zkr
6 Tọa độ điểm:
( ; ; )
M x y z ⇔OMuuuur=xir+y jr+zkr
7 Các công thức tọa độ cần nhớ:
Cho ur= ( ; ; ),a b c vr= ( ;a b c′ ′ ′ ; )
a)
a a
u v b b
c c
′
=
′
= ⇔ =
= ′
r r
b) urmvr= (a±a b′ ; ±b c′ ; ±c′ )
c) kur=( ; ; )ka kb kc
d) u vrur =u vr r .cos( , )u vurr =aa′ +bb′ +cc′
e) cos( , ) .
u v
′ + ′ + ′
rur urr
ur= ur = a +b +c
g) ur⊥ ⇔vr u vr r = 0
h) uuuABr= (x B−x A;y B−y A;z B−z A)
i)
( B A) ( B A) ( B A)
AB=uuuABr= x −x + y −y +z −z
8 Chú ý: góc của 2 véc tơ ( )u vr r, là góc hình
học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị
( ) 2( )
sin u vr r, = 1 cos − u vr r, ≥ 0
9 Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số k
nghĩa là MA kMBuuur= uuur, công thức tọa độ của M
là :
1 1 1
M
M
M
x kx x
k
y ky y
k
z kz z
k
−
=
−
=
−
=
10 M là trung điểm AB:
0
MA MB+ = uuur uuur r
2 2 2
M
M
M
x x x
y y y
z z z
+
=
+
=
+
=
11 G là trọng tâm tam giác ABC:
0
GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r
3 3 3
G
G
G
x
y
z z z z
+ +
=
+ +
=
+ +
=
12 G là trọng tâm tứ diện ABCD:
0
GA GB GC GD+ + + = uuur uuur uuur uuur r
4 4 4
G
G
G
x
y
z
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
13 Các ví dụ:
VD1: Tọa độ của các véc tơ , ,r r ri j k ?
VD2: Điểm M(a;b;c) thuộc (Oxy)? thuộc (Oyz)? thuộc (Ozx)?
VD3: Điểm M(a;b;c) thuộc Ox? thuộc Oy? thuộc Oz? VD4: Cho ur=(x y z; ; ) Tính , , .u i u j u krr r r r r
Trang 2VD5: Trong không gian (O, ir, jr, kr) cho I, J, K là các
điểm sao cho r uur uur uuur r uuuri OI j OJ k OK= , = , = M là trung
điểm JK và G là trọng tâm tam giác IJK Tính tọa độ
của G và MGuuuur
VD5:
Trong không gian Oxyz cho A(5;3;−1) B(2;3;−4)
C(1;2;0) D(2;1;−2)
a) Chứng minh 4 điểm ABCD không đồng
phẳng
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cạnh đối
vuông góc nhau
c) Chứng minh D.ABC là hình chóp đều
d) Tìm toạ độ chân đường cao H của hình chóp
D.ABC
HD:
a) DA uuur và DB uuur không cùng phương
(A,B,C,D đồng phẳng)
⇔ ∃ m n DC m DA n DB , : uuur = uuur + uuur
Ta giải hệ pt trên tìm ra m,n
b) Tính độ dài 6 cạnh để suy ra kết quả
c) H chính là trọng tâm tam giác ABC
14 Định nghĩa tích có hướng 2 véc tơ: Cho 2 véc
tơ u r = ( ; ; ) a b c và v r = ( ; ; ) a b c ′ ′ ′ ta định
nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một
véc tơ, kí hiệu u v r r , hay u v r r ∧ có toạ độ:
u v
b c c a a b
r r
tức là:
u v bc b c ca ac ab ba
= ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′
r r
VD6: Tính tích có hướng của 2 véc tơ u r = (1;0; 1) −
và v r = (2;1;1)
VD7: Tính r r ,i j , r r j k , ; k i r r ,
VD8: So sánh u v r r , và v u r r ,
(→ tích có hướng của 2 véc tơ không có tính chất
“giao hoán”- khí thay đổi thứ tự 2 véc tơ thành phần
thì kết quả cho 2 véc tơ đối nhau
15 Tính chất tích có hướng 2 véc tơ:
a u v r r , vuông góc với u r và v r
b u vr r, = u vr r .sin( , )u vr r
c u v r r , = 0 r ⇔ u v r r , cùng phương
16 Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ:
a Diện tích hình bình hành ABCD:
,
S= AB AD
uuur uuur
b Diện tích tam giác ABC:
1 , 2
S= uuur uuurAB AC
c Ba véc tơ u v w r r ur , , đồng phẳng:
, 0
u v w
=
r r ur
d Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’:
V = AB AD AA ′
uuur uuur uuur
e Thể tích khối tứ diện S.ABC:
1
6
V = uuur uuur uurAB AC SA
VD9: Cho 4 điểm A(0;1;1), B(−1;0;2), C(−1;1;0) và D(2;1;−2)
a) Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng suy
ra sự tồn tại tứ diện ABCD b) Chứng minh tồn tại tam giác ABC c) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC d) *Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
e) *Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
f) *Tính góc CBD g) *Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD h) Tính thể tích khối chóp ABCD
17 Phương trình mặt cầu a) Phương trình theo tâm và bán kính: Mặt cầu tâm I(x0;y0;z0) và bán kính R có phương trình:
b) Phương trình dạng khai triển:
x +y +z + ax+ by+ cz+ =d
Trong đó : tâm I(−a;−b;−c) và R2 = a2 + b2+ − c2 d với điều kiện a2 + b2+ − > c2 d 0
VD10: Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) và D(0;0;1)
Trang 3BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1 Cho các véc tơ u i r r = − 2 r j, v r = + 3 r i 5( r r j k − ),
w = − + i k j
ur r r r
a Tìm toạ độ các véc tơ trên
b Tìm cosin của các góc ( ) v i r r , , ( ) v j r r ,
c Tính tích vô hướng u i rr và v w r ur
cos u i r r , + cos u j r r , + cos u k r r , = 1
3 Tính góc giữa hai véc tơ u r và v r trong các trường
hợp:
a u r = (1;1;1) và v r = (2;1; 1) −
b u r = + 3 r i 2 r j và v r = − + 2 r j 3 k r
4 Biết u r = 2 và v r = 5 góc giữa 2 véc tơ đó là
2
3
π
Tìm k để ur p k u = r + 17 v r vuông góc
3.
q r = u v r r −
5 Cho M(a;b;c)
a Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M
lên các mp toạ độ Tính khoảng cách từ M
đến các mp toạ độ
b Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M
lên các trục toạ độ Tính khoảng cách từ
M đến các trục toạ độ
c Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua
các mp toạ độ
d Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua
các trục toạ độ
6 Cho A(x1;y1;z1) và B(x2;y2;z2) Tìm toạ độ
M(x;y;z) chia AB theo tỉ số k≠1
7 Cho các điểm A(−3;−2;0), B(3;−3;1), C(5;0;2)
a Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
b Viết phương trình mp(ABC)
c Tìm đỉnh D của hình bình hành ABCD
d Tính diện tích hình bình nành ABCD
e Tính khoảng cách các đường thẳng AB và
CD
f Tính khoảng cách B và đường thẳng AD
g Tính góc giữa 2 véc tơ uuur AC và uuur BD
8 Cho A(1;2;3) và B(−3;−3;2) Tìm phương trình
tập hợp điểm M cách đều A và B Tìm toạ độ
điểm M thuộc Oz và cách đều A,B
9 Cho A(2;0;4), B(4; 3,5) và C(sin5t;cos3t;sin3t) Định t để AB vuông góc OC
10 Cho A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1)
a Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
b Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ
từ A
d Tính các góc của tam giác ABC
11 Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(−2;1;−2)
a Chứng minh tồn tại tứ diện ABCD
b Tính góc giữa các cạnh đối của ABCD
c Tính thể tích ABCD và chiều cao tứ diện
đó kẻ từ A
12 Cho hình chóp SABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC=b, BC=a Gọi M
là trung điểm AC và N là điểm sao cho
1 3
uuur uur
a Tính độ dài MN
b Tìm sự liên hệ a,b,h để MN vuông góc SB
13 Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:
a x2+y2+z2−8x+2y+1=0
b 3x2+3y2+3z2+6x−3y+15z−2=0
c 9x2+9y2+9z2−6x+18y+1=0
14 Viết phương trình mặt cầu qua A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm thuộc mp(Oyz)
15 Viết phương trình mặt cầu có bán kính R=2, tiếp xúc mp(Oyz) và có tâm thuộc tia Ox
16 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mp(Oyz)
Trang 4B-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 n r khác 0 r và có giá vuông góc mp(P) được gọi là
véc tơ pháp tuyến của (P)
2 Nếu n r là véc tơ pháp tuyến của (P) thì
( 0)
kn r k ≠ cũng là véc tơ pháp tuyến của
(P)
3 Phương trình tổng quát của mp(P): qua
0 0 0
( ; ; )
M x y z và có véc tơ pháp tuyến
( ; ; )
nr= A B C là:
A x−x +B y−y +C z−z =
4 Khai triển của phương trình tổng quát:
0
Ax+By+Cz+D=
(A,B,C không đồng thời bằng 0)
VD1: Viết phương trình mp có véc tơ pháp tuyến nr
=(2;1;−3) và đi qua điểm M(3;−1;2)
VD2: Viết phương trình mp qua 3 điểm A(1;2;0),
B(0;1;2) và C(1;0;2)
VD3: Viết phương trình mp qua A(1;2;4) và vuông
góc đường thẳng BC (với B(1;6;0) và C(6;0;1))
VD4: Viết phương trình mp(P) qua M(1;1;−2) và
song song mp(Q):x+y+z−1=0
5 Những trường hợp riêng của phương trình tổng
quát:
(P) qua gốc tọa độ ⇔ D=0
(P) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔
A=B=0
(P) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B=C=0
(P) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A=C=0
(P) song song hoặc chứa Ox ⇔ A=0
(P) song song hoặc chứa Oy ⇔ B=0
(P) song song hoặc chứa Oz ⇔ C=0
(P) cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0)
và cắt Oz tại C(0;0;c) ⇔ (P) có phương trình
1
x y z
a b+ + =c
VD5: Cho M(30;15;6) Viết phương trình mp(P) qua
các hình chiếu của M trên các trục tọa độ Tìm tọa độ
H, hình chiếu gốc tọa độ trên mp(P)
(quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”)
6 Bộ số tỉ lệ:
Xét những bộ số dạng ( )x i =(x x1, , ,2 x n)
trong đó các xi không đồng thời bằng 0
Hai bộ số (xi) và (yi) gọi là tỉ lệ với nhau nếu có hằng số t sao cho yi=t.xi (với mọi giá trị i
từ 1 tới n)
Khi đó ta viết:
1 2
1 2
: : : : : :
n n
=
= = =
Với quy ước đó:
1:0:4=2:0:8
6 = =0 2
7 Vị trí tương đối của 2 mp:
P Ax By Cz D
Q A x B y C z D
(P) ≡ (Q) ⇔
A = B =C = D
(P) // (Q) ⇔
A = B =C ≠ D
(P) cắt (Q) ⇔ : :A B C≠ A B C' : ' : '
(P) ⊥ (Q) ⇔ AA BB CC'+ '+ ' 0=
Hãy tìm giá trị của m để:
a) Hai mp trùng nhau b) Hai mp song song c) Hai mp cắt nhau Suy ra phương trình đường thẳng giao tuyến
d) Hai mp vuông góc nhau
8 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Cho M(x0;y0;z0) và (P):Ax+By+Cz+D=0
0 0 0
2 2 2
d M P
=
VD7: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một vuông góc nhau Tính độ dài đường cao OH của tứ diện
VD8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh AA’,BC,C’D’ lần lượt lấy M,N,P sao cho AM=CN=D’P=t với 0<t<a Chứng minh mp(MNP) song song mp(ACD’) và tính khoảng cách
2 mp đó
Trang 5BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Lập phương trình mặt phẳng
1 Lập phương trình mặt phẳng (P) biết:
a) (P) đi qua điểm M(1;3;-2) và nhận
(2;3;1)
nr= làm VTPT
b) (P) đi qua M(1;3;-2) và song song
(Q):x+y+z+1=0
c) (P) đi qua M(1;2;3) và song song với
giá của các vectơ (2; 1; 2), (3; 2;1)
ar − br −
d) (P) đi qua 2 điểm A(4;-1;1), B(3;1;-1)
và song song Ox
e) (P) đi qua 3 điểm A(1;1;0), B(1;0;0),
C(0;1;1)
2 Lập phương trình mp(P) biết :
a) (P) đi qua 3 điểm A(-1;2;3)
,B(2;-4;3),C(4;5;6)
b) (P) đi qua M0(1;3; 2)− và vuông góc Oy
c) (P) đi qua M0(1;3; 2)− và vuông góc
BC, với B(0;2;-3),C(1;-4;1)
d) (P) đi qua M0(1;3; 2)− và song song với
mp(Q):2x-y+3z+4=0
e) (P) đi qua A(3;1;-1),B(2;-1;4) và vuông
góc mp 2x-y+3z+4=0
f) (P) đi qua M0(2; 1; 2)− ,song song Oy
và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0
g) (P) đi qua M0( 2;3;1)− và vuông góc với
2 mặt phẳng
2x+y+2z+5=0,3x+2y+z-3=0
3 Cho A(1;2;3), B(3;4;-1) trong không gian
Oxyz
a) Viết phương trình mp(P) là mặt phẳng
trung trực của AB
b) Viết phương trình mp(Q) qua A, vuông
góc (P) và vuông góc (Oyz)
c) Viết phương trình mp(R) qua A và song
song (P)
4 Lập phương trình mp(P) qua M(1;1;1) và
song song các trục
a) Ox,Oy
b) Ox,Oz
c) Oy,Oz
5 Lập phương trình mp đi qua 2 điểm
A(1;-1;1), B(2;1;1) và song song với a) Ox
b) Oy c) Oz
6 Lập phương trình mp(P)
a) Chứa Ox và đi qua A(1;-2;3) b) Chứa Oy và đi qua B(-1;3;-2) c) Chứa Oz và đi qua C(1;0;-2)
7 Lập phương trình mp(P) qua M(a;b;c) (với
abc≠0) và song song với một mp tọa độ
8 Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2),
C(5;0;4), D(4;0;6) a) Viết phương trình các mp (ABC), (ACD), (ABD), (BCD)
b) Viết phương trình mp (P) đi qua cạnh
AB và song song với cạnh CD
9 Viết phương trình mp(P) qua các điểm là
hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ
10 Lập phương trình mp(P) qua G(1;2;3) và
cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC
11 Lập phương trình mp(P) qua H(2;1;1) và
cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm tam giác ABC
12 Cho A(-1;6;0), B(3;0;-8), C(2;-3;0)
a) Viết phương trình mp(P) qua 3 điểm A,B,C
b) Mp(P) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại K,M,N Tính thể tích tứ diện OKMN
Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
10 Cho 2 mặt phẳng: (P):2x-my+3z-6+m=0,
(Q):(m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0.Với giá trị nào của m thì (P)và (Q)
a) Song song với nhau b) Trùng nhau
c) Cắt nhau
11 Tìm αđể 2 mặt phẳng
3
1
4
vuông góc với nhau
12 Viết phương trình mặt phẳng trong các
trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M0(2;1; 1)− và qua giao tuyến của 2 mặt phẳng: x-y+z-4=0, 3x-y+z-1=0
Trang 6b) Qua giao tuyến của 2 mặt phẳng
y+2z-4=0, x+y-z+3=0 đồng thời song song
với mặt phẳng x+y+z-2=0
c) Qua giao tuyến của 2 mặt phẳng
3x-y+z-2=0, x+4y-5=0 đồng thời vuông
góc với mặt phẳng 2x-z+7=0
13 Xác định các giá trị k và m để 3 mp sau đây
cùng đi qua một đường thẳng
5x+ky+4z+m=0, 3x-7y+z-3=0,
x-9y-2z+5=0
Khoảng cách
14 Cho 4 điểm: A(-2;1;0), B(3;1;-2), C(2;3;1),
D(1;4;-1)
a) Viết phương trình mp (BCD) Suy ra 4
điểm A,B,C,D tạo thành một tứ diện
b) Tính diện tích tam giác BCD và khoảng
cách từ A đến mp(BCD), suy ra thể tích
của tứ diện ABCD
15 Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp (P):
2x-y+4z+5=0, (Q):3x+5y-z-1=0
16 Tính khoảng cách giữa 2 mp
(P):x+y+z-6=0, (Q): x+y+z+5=0
17 Trên trục Oz, tìm điểm cách đều điểm
A(2;3;4)và mp(P):2x+3y+z-17=0
18 Trên trục Oy, tìm điểm cách đều 2 mp
x+y-z+1=0, x-y+z-5=0
19 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2;1;3) và
tiếp xúc mp(P):x+2y+2z-1=0
20 Cho mặt cầu
0
( ) :S x +y + −z 6x−2y+4z+ =5 0,M (4;3;0)
Viết phương trình mp tiếp xúc mặt cầu tại
0
M
21 Cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1),
D(-1;1;2) Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc (BCD)
22 Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm
A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm I
nằm trên mp x+y+z-3=0
23 Viết pt mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp
( ) : 2α x y+ − 5z=0một góc 600
24 Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp(P) và
(Q) trong các trường hợp sau:
a) (P):2x−y+4z+5=0,
(Q):3x+5y−z−1=0
b) (P):2x+y−2z−1=0,
(Q):6x−3y+2z−2=0
c) (P):x+2y+z−1=0,
(Q):x+2y+z+5=0
25 Cho 2 mặt phẳng song song
(P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):Ax+By+Cz+D’=0 Tính khoảng cách 2
mp đó
Trang 7Giải bài toán không gian bằng phương pháp
toạ độ
26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có
cạnh bằng 1
a) Chứng minh 2 mp (AB’D’), (BC’D)
song song
b) Tính khoảng cách giữa 2 mp đó
c) Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’,
A’B
d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các
cạnh A’B’, BC, DD’ Chứng minh AC’
vuông góc (MNP)
e) Tính thể tích tứ diện AMNP
27 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h Gọi I là
trung điểm của cạnh bên SC Tính khoảng
cách từ S đến mp(ABI)
28 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a, chiều cao h Gọi M,N lần lượt là
trung điểm SB,SC Tính tỉ sốa
h để
mp(AMN)vuông góc mp(SBC)
29 Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy 1 1 1 1
ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ˆA=60 ,0
B O⊥ ABCD BB =a
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
b) Tính khoảng cách từB B đến, 1 (ACD1)
30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh bằng a,
SA a= SA⊥ ABCD
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
b) Tính khoảng cách từ tâm O của hình
vuông ABCD đến mp(SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam
giác SAB đến mp(SAC)
C-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số của đường thẳng qua
điểm M(x0;y0;z0) và có véc tơ chỉ phương
( ; ; )
ur= a b c là
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
2 Phương trình chính tắc của đường thẳng qua
điểm M(x0;y0;z0) và có véc tơ chỉ phương
( ; ; )
ur= a b c là x x0 y y0 z z0
Ghi chú : chỉ dùng phương trình chính tắc khi abc≠0 (tức là a,b,c là 3 giá trị cùng không )
VD1: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua 2 điểm A(1;2;3) và B(2;5;8)
VD2: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M(2;1;0) và vuông góc với mp(P): 2x−y−z=0
VD3: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(Oyz) Biết A(3;0;0), B(0;4;0)
và C(0;2;9)
VD4: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua M(2;1;0) và song song đường thẳng
có phương trình
2 1
3 3
x
=
= −
= +
VD5: Cho 2 mp (P): 2x+2y+z−4=0 và (Q): 2x−y−z+5=0
1) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau 2) Tìm tọa độ hai điểm M,N phân biệt thuộc giao tuyến của (P) và (Q)
3) Tìm tọa độ một véc tơ chỉ phương của giao tuyến của (P) và (Q) Suy ra phương trình tham số của giao tuyến của (P) và (Q)
VD6: Cho đường thẳng d:
1 2 2 2
z t
= −
= +
=
1) Chỉ ra tọa độ chỉ phương của d
2) Xác định tọa độ các điểm của d ứng với t=1; t=0; t=−2
Trang 83) Trong các điểm A(3;1;−2), B(−3;4;2),
C(0;5/2;5), điểm nào thuộc d?
VD7: Cho tứ diện ABCD với A(0;0;2),
B(3;0;5), C(1’1’0), D(4;1;2)
1) Viết phương trình đường cao tứ diện
ABCD vẽ từ D
2) Tìm tọa độ hình chiếu H của D lên
mp(ABC)
Chú ý: SGK quy ước “hình chiếu” là “hình
chiếu vuông góc”.
VD8: Cho 2 mp (P): x+2y+z+1=0 và (Q):
x+y+2z+3=0
1) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau
2) Viết phương trình tham số của giao tuyến
2 mp trên
VD9: Từ phương trình tham số hãy viết phương
trình chính tắc của các đường thẳng:
1)
1
2
y t
= +
=
= −
2)
3
2 5
= +
= +
3)
1
2
2
y
= +
=
= −
VD10: Từ phương trình chính tắc, hãy viết
phương trình tham số của các đường thẳng:
x+ = =y z−
−
2
x+ = y− = z+
x− = y+ = z+
−
VD11: Cho 2 đường thẳng d1: 1 4
6 6
x t
=
= − −
= +
và
x = y− = z+
− Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua M(1;−1;2) và vuông
góc với 2 đường thẳng trên
3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng d (qua A và có véc tơ chỉ
phương ur) và d’ (qua B và có véc tơ chỉ phương uur′ )
a Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau
, ,
u u ABr ur uuur′ đôi một cùng phương
u u u AB
′ = =
r ur r uuur r
b Hai đường thẳng d và d’ song song
,
u ur ur′ cùng phương và ,u ABr uuur khác phương
u u
u AB
′ =
r ur r
r uuur r
c Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau
,
u ur ur′ khác phương và , ,u u ABr ur uuur′ đồng phẳng
u u
u u AB
′ ≠
r ur r
r ur uuur
d Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau
, ,
u u ABr ur uuur′ không đồng phẳng
u u AB
r ur uuur
VD1: Cho 2 đường thẳng :
Tùy theo m xác định vị trí tương đồi của 2 đường thẳng
B1: xét ,u u ABr ur uuur′
nếu ,u u ABr ur uuur′ ≠0 : chéo nhau(./.)
nếu ,u u ABr ur uuur′ =0 sang B2
B2: xét ,u ur ur′
nếu ,u ur ur′ ≠ 0r : cắt nhau (./.)
nếu ,u ur ur′ = 0r : sang B3
Trang 9B3: Lấy A (bất kỳ) thuộc dm nếu A thuộc dm’ thì 2
đường thẳng trùng nhau, nếu không thì song song (./.)
Hoặc là xét ,u ABr uuur = 0r thì trùng nhau, nếu không thì
cắt nhau
Cũng có thể xét số giao điểm
nếu chỉ có 1 nghiệm: cắt nhau
nếu có hơn 1 nghiệm: trùng nhau
nếu vô nghiệm: xét ,u ur ur′ nếu ,u ur ur′ = 0r
thì song song, nếu không thì chéo nhau
Áp dụng cho VD2:
VD2: Cho d là giao tuyến của 2 mp ( ) :P x y+ =0 và
( ) : 2Q x y z− + − =15 0 và đường thẳng d’ có phương
trình
1
2 2
3
z
= +
= +
=
Xác định vị trí tương đối của 2
đường thẳng
4 Công thức tính khoảng cách từ điểm M tới
đường thẳng d (qua M 0 và có véc tơ chỉ
phương ur:
0 , ( , ) MM u
d M d
u
=
uuuuur r r
Ghi chú: nhắc lại
a) Diện tích hình bình hành ABCD là S = AB AC,
uuur uuur
b) Diện tích tam giác ABC là 1 ,
2
S= AB AC
uuur uuur
c) Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’ là
V = AB AC AA uuur uuur uuur
d) Thể tích tứ diện ABCD là:
1
6
V = AB AC AD
uuur uuur uuur
VD3: Tính khoảng cách từ M(4;−3;2) tới đường
−
5 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng cắt nhau hay trùng nhau bằng 0.
6 Khoảng cách của 2 đường thẳng song song d, d’ là khoảng cách từ M thuộc d tới d’
7 Khoảng cách của đường thẳng d tới mp(P) song song nó là khoảng cách từ M thuộc d tới mp(P).
VD5: Cho M(1;2;0) và mp(P): x+2y+2z=0 Viết phương trình đường thẳng qua M, song song (P) Tính khoảng cách giữa đường đó và (P)
8 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
1 2
1 2
1 2
, ( , )
,
u u AB
d d d
u u
=
ur uur uuur
ur uur
Thực chất của công thức trên là “chiều cao hình hộp bằng thể tích hình hộp chia diện tích đáy hình hộp”.
Cho AB, CD chéo nhau, khoảng cách AB,CD là:
, ( , )
,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
=
uuur uuur uuur uuur uuur
VD6: Cho 2 đường thẳng : 2 3 4
− ,
' :
− − Chứng minh đó là 2 đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách giữa chúng
9 Tìm tọa độ chân đường vuông góc chung của 2 đường chéo nhau:
Cách 1: d qua A và có véc tơ chỉ phương ur, d’ qua B
và có véc tơ chỉ phương uur′
B1: Tính wur= u ur ur, ′ (cùng phương đường vuông góc chung)
B2: Viết phương trình mp(P) qua d (nên qua A) và có
cặp véc tơ chỉ phương là ur và wur
B3: Viết phương trình mp(Q) qua d’ (nên qua B) và
có cặp véc tơ chỉ phương là uur′ và wur
Trang 10B4: Viết phương trình đường thẳng a là giao tuyến
của (P) và (Q)
B5: Lập giao điểm C của a và (P); giao điểm D của a
và (Q) C và D chính là chân đường vuông góc chung
của d và d’
Cách 2:
B1:Viết phương trình tham số t của d, và phương
trình tham số t’của d’
B2: Gọi C thuộc d và D thuộc d’ là chân đường
vuông góc chung Viết tọa độ C theo t và D theo t’
B3: Vì CD u CDuuur⊥r uuur, ⊥vr nên
CD uuuur r= CD vuuur r=
Thiết lập hệ phương trình theo t,t’ Giải ra t và t’
B4: Suy ra tọa độ C và D.
VD7: Cho 2 đường thẳng : 2 3 4
− ,
' :
− − Chứng minh đó là 2 đường
thẳng chéo nhau, tìm tọa độ chân đường vuông góc
của 2 đường thẳng
10 Góc của 2 đường thẳng:
Góc của 2 đường thẳng là góc nhọn α xác định bởi:
( )
cos α = cos u ur ur, ′
,
u ur ur′ lần lượt là véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng
VD8: Cho 2 đường thẳng : 2 3 4
− ,
' :
− − Tính góc giữa chúng.
11 Góc của 2 mặt phẳng:
Góc của 2 mặt phẳng là góc nhọn α xác định bởi:
( )
cos α = cos n nr ur, ′
,
n nr ur′ lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng
VD 9: Tính góc của mp(P):2x−y=0 và mp(Oxy)
12 Góc của đường thẳng và mặt phẳng:
Góc của đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn α
xác định bởi:
( )
sin α = cos u nr r,
ur là véc tơ chỉ phương của đường thẳng và nr là véc
tơ pháp tuyến của mặt phẳng
VD10: Tính góc tạo bởi : 2 3 4
− và các mp tọa độ
***
BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG
1 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d)
a) Đi qua A(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương ur= − +ir 3rj+5kr
b) Đi qua A(-2;1;2) và song song với trục Oz
c) Đi qua A(2;3;-1), B(1;2;4) d) Đi qua A(4;3;1) và song song với
đường thẳng
1 2
3 2
= +
∆ = −
= +
e) Đi qua A(1;2;-1) và song song với đường thẳng giao tuyến của 2 mp x+y-z+3=0, 2x-y+5z-4=0
f) Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mp x+2y-2z+1=0
g) Là giao tuyến của 2 mp x-3y+z=0, x+y-z+4=0
2 Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng
1 2
3
= +
= − +
= +
trên mỗi mp sau: mp(Oxy),
mp(Oyz), (Oxz), ( ) :α x y z+ + − =7 0
3 Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng
7 3 2
2
= +
= −
= −
trên mp x+2y-2z-2=0
