Tiet 28-PTTQ cua mp .

Định nghĩa: nr Vectơ khác vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  nếu ….. Vậy theo em một mặt phẳng có bao nhiêu vec tơ pháp tuyến?. Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyế

Tiết45, 46 phương trình tổng quát

của mặt phẳng

α

O

z

M0

n r

M

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa:

nr

Vectơ khác vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () nếu ….

0r

Em hãy đọc định nghĩa SGK và điền vào

chỗ trống …

nó nằm trên đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng ()

Ký hiệu: n r ^ ( ) a

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa:

α

n r

m ur

u r

Em hãy quan sát vào hình vẽ và

chọn phương án đúng

n r

B Chỉ có vectơ là vtpt của ()

A Vectơ là vtpt của ()u r

C Cả hai vectơ và là vtpt

của ().

n r

m ur

D Cả ba vectơ trên là vtpt

của ().

Vậy theo em một mặt phẳng có bao nhiêu vec tơ pháp tuyến?

Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian cho điểm M0 và một vectơ n r

Theo em có tồn tại một mặt phẳng đi qua M 0

và vuông góc với vectơ trên không? Nếu có thì

có bao nhiêu mặt phẳng như thế?

M0

n r

Mặt phẳng () hoàn toàn được xác

định nếu biết một điểm thuộc nó và một

vectơ pháp tuyến của nó.



1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a r

b r

Bằng trực quan em có nhận xét gì về quan hệ

giữa vectơ a, vectơ b và ()?

b) Chú ý:



Hai vectơ và nói trên

còn gọi là cặp vectơ chỉ phương

của mặt phẳng ().

a r

b r

Hai vectơ không cùng phương và cùng song hoặc nằm trên ()

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a r b r

α

a r

b r

α

a r

b r

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Em hãy cho biết hình nào mặt phẳng () có cặp vectơ chỉ phương?

Đáp số: Hình 2 và hình 3

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

α

a r

b r

§Æt n r = [ , ] a b r r

Em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ gi÷a vect¬ víi hai vect¬ vµ ? a r

Gîi ý: vµ [ , ] a b r r ^ a r [ , ] a b r r ^ b r

Tr¶ lêi: vµ n r ^ a r n r ^ b r

VËy em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ gi÷a

vµ mÆt ph¼ng ()?

n r

n r

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a r

b r

b) Chú ý:

 Hai vectơ và nói trên

còn gọi là cặp vectơ chỉ phương

của mặt phẳng ().

a r

b r

 n r = [ , ] a b r r

là một vectơ

pháp tuyến của ()

n r



Vậy nếu A, B, C là ba điểm

không thẳng hàng trong mặt phẳng

() thì

B

C

n r là một vectơ pháp = uur uuur AB AC

tuyến của ()

n r

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a Bài toán:

α

O

z Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ()

M0

n r

M0(x0;y0;z0)  () n r

là một vectơ

pháp tuyến của () Tìm điều kiện để điểm M  () M

Giải:

Giả sử M = (x; y; z) M  () 

0

M Muuuuur^ Ûnr M M nuuuuur r0 . =0

 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (*)

Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

* Định lí: SGK/ 78

b) Định nghĩa

Phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0

được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

c) Chú ý

Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt

thì phương trình của nó là:

( ; : )

nr = A B C

A(x … x 0 ) + B(y … y 0 ) + C(z … z 0 ) = 0

Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình:

Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.nr = ( ; : )A B C

3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

Em hãy đọc SGK trang 80 rồi lựa chọn phương trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:

1 Ax+ By + Cz = 0 a Song song với trục Ox hoặc chứa trục Ox

2 By + Cz + D = 0 b Song song với mp Oxy hoặc trùng với mp Oxy

3 Ax + Cz + D = 0 c Đi qua gốc toạ độ

4 Cz + D = 0 d Song song với trục Oz hoặc chứa trục Oz

e Song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy

Ví dụ: 1 - c

3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

Em hãy đọc SGK trang 80 rồi cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0),

B=(0; -2; 0) và C= (0; 0; 5):

1 2 5

1 2 5

1 2 5

Phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo

đoạn chắn của mặt phẳng.

4 Ví dụ Tóm tắt

Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt

thì phương trình của nó là:

( ; ; )

nr = A B C

A(x … x 0 ) + B(y … y 0 ) + C(z … z 0 ) = 0

 Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình:

Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.nr = ( ; ; )A B C

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P = (1; -2 ; 3) và song song với

mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0.

α P

Q 2x – 3y + z + 5 = 0

(2; 3;1)

nr =

-Giải

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0 nên nó có một vtpt là:

(2; 3;1)

nr = - Vậy phương trình của nó là:

2(x – 1) – 3(y + 2) + z – 3 = 0.

hay 2x – 3y + z – 11 = 0

4 Ví dụ

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm P = (1; 0; 0),

Q = (0; 2: 0) và R = (0; 0; 3)

Giải

( 1;2;0)

-uuur

( 1;0;3)

PR =

-uur

Mặt phẳng (PQR) có vectơ pháp tuyến là:

ữ

ữ

(6; 3; 2)

và đi qua điểm P nên có phương trình là:

6(x – 1) + 3(y - 0) + 2(z – 0) = 0



6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Cách 2: Mặt phẳng (PQR) có phương trình theo đoạn chắn là:

1

1 2 3

+ + = Û 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB,

biết A = (1;2;-2), B = (1; 2; 1)

Giải

4 Ví dụ

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

-Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và

vuông góc với đường thẳng AB nên có thể

chọn: uurAB = (0; 1;3)

-làm vtpt pháp tuyến của nó Vậy PT của nó là:

x- - y - + z + =

hay - y + 3z + 4 = 0.

Em đã chọn đúng !

Em đã chọn sai ! Hãy kiểm tra lại.

GV Trần Thị Nhung

Trường THPT Thảo Nguyên

Mộc Châu –Sơn La

Tháng 8 năm 2009