Toán căn bậc 2

Ôn phép bình phương 1... đẳng thức đã cho.. Số âm không có căn bậc hai... Giải và biện luận phương trình x2 =a.

* CĂN BẬC HAI SỐ HỌC *

1 Ôn phép bình phương

1 a2 =a a

2 a2 ≥ ∀0, a và a2 = ⇔ =0 a 0

a b

a b

=



0

0

b a< < ⇒a <b

5 ( )2 2 2

ab =a b

6

2

b

 

0

0

a ab

b

=



8

0 0 0

0 0

a b ab

a b

 >



 >



> ⇔  <

 <





và

0 0 0

0 0

a b ab

a b

 >



 <



< ⇔  <

 >





9

2

 a>0 ⇒

,

4

b ac a

−

− là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

ax +bx c a+ ≠ bằng

4

b ac a

−

2

b x a

2

b x

a

 a<0 ⇒

,

4

b ac a

−

− là giá trị lớn nhất của biểu thức 2

ax +bx c a+ ≠ bằng

4

b ac a

−

2

b x a

2

b x

a

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = −5 3x x− 2, tính giá trị đó ?

Bài giải

nhất của T bằng * 29

4

2

x= −

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =3x2 −7x+2, tính giá trị đó ?

Bài giải

2 2 2

nhất của T bằng * 23

12

6

x=

Ví dụ 3 : Tìm ,x y thỏa mãn đẳng thức 2 2

1

x +y + =xy x y+ +

Bài giải

x + y + = xy x y+ + ⇔ 2(x2+ y2+ =1) 2(xy x y+ + )

x y− + −x + y− =

⇔

0

1 0

1 0

x y

x

y

− =



 − =



 − =



⇔ =x y=11

Ví dụ 4 : Với giá trị nào của x, y thì biểu thức T =x2+xy y+ 2−3x−3y+2012 đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó ?

Bài giải

T =x +xy y+ − x− y+ = x − x+ + y − y+ +xy x y− − + +

T = x− + y− +x y− − y− + = x− + y− + −x y− +

T = x− + x− y− + y−  + y− − y−  +

2

2

y

T =x− + −  + y− + ≥ ∀x y

khi

1

2

1 0

y

x

y

−





 − =



1

x y

=



 =

Ví dụ 5 : Có hay không các số x, y, z thỏa mãn 2 2 2

x + y + −z x+ y− +z =

Bài giải

x + y + −z x+ y− +z = ⇔(x2−2.2x+ +4) (4y2+4y+ +1) (z2− +8z 16) + =1 0

x− + y+ + −z + =

đẳng thức đã cho

2 Căn bậc hai

1 Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a

2 Số âm không có căn bậc hai

3 Mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương ký hiệu là a ,

số âm ký hiệu là − a

4 Số 0 có đúng một căn bậc hai là số 0

Ví dụ 1 : Tìm căn bậc hai của mỗi số sau :

a) 25 b) 9

16 c) 0,49 d) 7,29.

Bài giải

a) 25 5= ; 25 = −5 b) 9 3

16 = −4 c) 0,49 0,7= ; 0, 49 = −0,7 d) 7, 29 2,7= ; 7, 29 2,7=

3 Căn bậc hai số học

Định nghĩa : Với số dương a , số a gọi là căn bậc 2 số học của a

Số 0 cũng được gọi là căn bậc 2 số học của số 0

Ghi nhớ :

0

x

≥



= ⇔  =



2) Phép bình phương và phép căn bậc hai số học là hai phép toán ngược nhau

Ví dụ 1 : Tìm căn bậc 2 số học của mỗi số sau :

a) 25 b) 9

16 c) 0,49 d) 7,29.

Bài giải

a) 25 5= vì 5 0;5≥ 2 =25 b) 9 3

16 = 4 vì

2

0;

 

0,7 0; 0,7≥ =0, 49 d) 7,29 2,7= vì ( )2

2,7 0; 2,7≥ =7, 29

Định lý : a> ≥ ⇔b 0 a > b

Ví dụ 2 : So sánh các cặp số sau, (không dùng bảng số hay máy tính)

a) 3 và 10 b) 4 và 15 c) 6 và 33 d) 7 và 50

Bài giải

a) 3= 9< 10 vậy 3< 10 b) 4= 16 > 15, vậy 4> 15 c) 6= 36> 33 vậy 6> 33 d) 7= 49< 50, vậy 7< 50

Ví dụ 3 : Tìm số x không âm biết :

a) x =5 b) x = 2 c) x = −3 d) x =0

Bài giải

a) x = ⇔5 ( )2

2

5

x = ⇔x=25 b) x = 2⇔( ) ( )2 2

2

x = ⇔x=2 c) x = −3 : vô nghiệm vì x≥ ⇒0 x ≥ > −0 3

d) x = ⇔0 ( )2

0

x = ⇔x=0

Ví dụ 4 : Tìm số x không âm biết :

a) x >3 b) x< 16 c) x <7 d) x < 5 e) 3 x <15

Bài giải

a) x > =3 9⇒ x > 9⇒ >x 9 b) x< 16 4= ⇒ ≤ <0 x 4

c) x < =7 49⇒ ≤ <0 x 49 d) x < 5⇒ ≤ <0 x 5

e) 3 x<15⇒ x< =5 25⇒ ≤ <0 x 25

Ví dụ 5 : Tính :

a) A= 0,04+ 0,25 b) B=5, 4 7 0,36+

c) 0,5 100 4

25

Bài giải

a) A= 0,04+ 0, 25 0, 2 0,5 0,7= + =

b) B=5, 4 7 0,36 5, 4 7.0,6 5, 4 4, 2 9,6+ = + = + =

Ví dụ 6 : So sánh : 26− 7 và 5− 8

Bài giải

Vì 26 > 25 5= và 7 < 8 suy ra : 26− 7 5< − 8

* LUYỆN TẬP *

Bài tập 1 : Tìm ,x y thỏa mãn đẳng thức 2 2

1

Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = −6 5x x− 2, tính giá trị đó ?

Bài tập 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3

T

=

− + , tính giá trị đó ?

Bài tập 4 : a) Với giá trị nào của a, b thì biểu thức 2 2

giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó ?

b) Với giá trị nào của m, n thì biểu thức T = −m2−5n2−2m+4mn+10n−7 đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị đó ?

Bài tập 5 : Có hay không các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau

4x +y + −z 4x+2y−6z+ =13 0 b) x2+5y2+2z2+2xy−4yz− +8z 16 0=

Bài tập 6 : Tìm căn bậc 2 số học của mỗi số sau : a) 49 b) 36

68 c) 51,84 d) 0,81.

Bài tập 7 : So sánh các cặp số sau :

a) 5 và 26 b) 3 và 3 1+ c) 10 và 2 31 d) 3 và 8

Bài tập 8 : Tìm số x không âm biết :

a) x >5 b) x< 36 c) x <4 d) x < 11 e) 5x<10

Bài tập 9 : Tính :

a) A= 0,36+ 0,04 b) B=2,7 5 0, 25−

c) 0,7 81 9

16

Bài tập 10 : So sánh : 51− 19 và 7− 20

1 Điều kiện để A xác định ( hay có nghĩa ) là A≥0

Ví dụ 1 : Với các giá trị nào của a thì căn thức sau xác định ?

a) 3a b) −5a c)

3

a

d) 4 a− e) 1

1

a− f) a2+1 g) (a+2 3) ( −a)

Bài giải

a) 3a xác định khi 3 a≥ ⇔ ≥0 a 0

b) −5a xác định khi 5− ≥ ⇔ ≤a 0 a 0

c)

3

a

3

a

a

d) 4 a− xác định khi 4− ≥ ⇔ ≤a 0 a 4

1

a− xác định khi

1

1

a + xác định khi a2+ ≥1 0, đúng với mọi a

g) (a+2 3) ( −a) xác định khi (a+2 3) ( −a) ≥0 ⇔ 2 0

a a

+ ≥



 − ≥

2 0

a a

+ ≤



 − ≤

a

a

+ ≥



 − ≥

2 3

a a

≥ −



 ≤

a

a

+ ≤



 − ≤

2 3

a a

≤ −



 ≥

Vậy : (a+2 3) ( −a) xác định khi 2− ≤ ≤a 3

Ví dụ 2 : Với các giá trị nào của x thì căn thức sau xác định ?

x

x

−

− b) (5x−2 3) ( −x) c) 1 2

4 x− d) 2x2−5x−3

e) 2x− −4 x2 f) x 2 5x

x

Bài giải

x

x

−

− xác định khi

4 3

0

x x

4 3

0

x

x

x x



 − >

x x



 − <

1

)

x

a

x



 − >

4 3 3 2

x

x

 ≤





 >



: không xác định được x

2

)

x

a

x



 − <

4 3 3 2

x

x

 ≥





 <



3 ≤ <x 2

x x

−

− xác định khi

3 ≤ <x 2 b) (5x−2 3) ( −x) xác định khi (5x−2 3) ( − ≥x) 0.

(5x−2 3) ( − ≥ ⇔x) 0  − ≥53x− ≥x2 00 hoặc 5 2 0

x x

− ≤



 − ≥

1

)

x

b

x

− ≥



 − ≥

2 5 3

x x

 ≥





 ≤



5≤ ≤x

2

)

x

b

x

− ≤



 − ≤

2 5 3

x x

 ≤





 ≥



: không xác định được x

Vậy : (5x−2 3) ( −x) xác định khi 2 3

5 ≤ ≤x

4 x− xác định khi 4−x2 > ⇔0 (2−x) (2+x) >0

(2−x) (2+x) > ⇔0  + >22− >x x 00 hoặc 2 0

x x

− <



 + <

1

)

x

c

x

− >



 + >

2 2

x x

<



 > −

2

)

x

c

x

− <



 + <

2 2

x x

>



 < −

 : không xác định được x.

4 x− xác định khi 2− < <x 2.

d) 2x2−5x−3 xác định khi 2x2−5x− ≥3 0

Ta có : 2x2−5x− =3 2x2−2x−3x− =3 2x x( + −1) (3 x+ =1) ( x+1 2) ( x−3)

2x −5x− ≥ ⇔3 0 (x+1 2) ( x− ≥ ⇔3) 0  − ≥2x x+ ≥1 03 0 hoặc 1 0

x x

+ ≤



 − ≤

1

1 0

)

x

d

x

+ ≥



 − ≥

1 3 2

x x

≥ −





 ≥

2 5

x≥

2

1 0

)

x

d

x

+ ≤



 − ≤

1 3 2

x x

≤ −





 ≤

Vậy : 2x2−5x−3 xác định khi 3

2

x≥ hoặc x≤ −1 e) 2x− −4 x2 xác định khi 2

2x− −4 x ≥0

2x− −4 x = − x −2x+ − = − −1 3 x 1 − < ∀3 0, x

2x− −4 x ≥0 không có x nào thỏa mãn.

2x− −4 x không xác định với mọi x ( khi đó ta bảo biểu thức đó không có nghĩa)

x

2 0

x x x

 + ≥





− ≥



Mà

2

0

x

x

x

 + ≥





− ≥



⇔

2

2 0 0

x x x

 + ≥





 ≤



⇔  ≤x x>00 không xác định x

x

g) 4x− −1 5x− +2 2+ +x x2 xác định khi

2

x x

x x

 − ≥

 − ≥



 + + ≥



Mà

2

x

x

x x

 − ≥

 − ≥



 + + ≥



⇔

2

1 4 2 5

0

x

x

x



≥







≥







2

x≥

Vậy : 4x− −1 5x− +2 2+ +x x2 xác định khi 5

2

x≥

2 Hằng đẳng thức : Với mọi số a ta có a2 = a

Ví dụ 1 : Tính :

a) 2

5 b) ( )2

2,7

3

x+ x−

Bài giải

5 = =5 5 b) ( )2



Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :

a) 2

9

a − b) x−25,x≥0 c) 2

5

x − d) 3−x x, >0 e) 2

5 4m− f) 5 2 ,+ t t<0 g) 2

x + x+ h) 2

x − x+

Bài giải

a) a2− =9 a2− =32 (a−3) (a+3)

2

x≥ x− = x − = x− x+

x − =x − = x− x+

x> − =x − x = − x + x

2

x + x+ = x + x+ = x+

x − x+ = x − x+ = −x

Ví dụ 3 : Tính :

a) A= 4 2 3− b) B= 6 2 5− + 6 2 5+

C= x y+ + x y− d) D= a2+6a+ +9 a2−6a+9

e) E= 8 2 3+ − 29 12 5−

Bài giải

2

( ) (2 )2

0

x y

x y

+ >



 − >

x y

x y

> −



 >

0

x y

x y

+ <



 − <

x y

x y

< −



 <

0

x y

x y

+ ≥



 − ≤

x y

x y

≥ −



 ≥

0

x y

x y

+ ≤



 − ≥

x y

x y

≥ −



 ≥

3 0

a

a

+ >



 − >

3 3

a a

> −



 >

3 0

a

a

+ <



 − <

3 3

a a

< −



 <

3 0

a

a

+ ≤



 − ≥

3 3

a a

≤ −



 ≥

 : không có a nào thỏa mãn.

3 0

a

a

+ ≥



 − ≤

3 3

a a

≥ −



 ≤

2

Ví dụ 4 : Giải phương trình :

a) x2− =5 0 b) x2−2 11x+ =11 0

c) x2−2x+ =1 5 d) x2+4x+ +4 x2−2x+ =1 3 e) x2+2x+ +1 x2−4x+ =4 x2+4x+4 f) x2 =a

Bài giải

a) 2

5 0

x − = ⇔ (x− 5)(x+ 5) = ⇔0 5 0

5 0

x x



5 5

x x

 =



= −

2

x− = ⇔ x1= x2 = 11

x− = ⇔ x− =1 5.

 x− > ⇔ >1 0 x 1; (c) ⇒ x− = ⇔ =1 5 x 6

 x− ≤ ⇔ ≤1 0 x 1; (c) ⇒ − − = ⇔ = −(x 1) 5 x 4.

1 0

x

x

+ >



 − >

2 1

x x

> −



 >

 ⇔ x>1 : (d) ⇒(x+ + − = ⇔2) (x 1) 3 2x= ⇔2 x=1, (loại)

1 0

x

x

+ <



 − <

2 1

x x

< −



 <

 ⇔x< −2: (d) ⇒− + − − = ⇔(x 2) (x 1) 3 − = ⇔2x 4 x= −2, (loại)

1 0

x

x

+ ≥



 − ≤

2 1

x x

≥ −



 ≤

 ⇔− ≤ ≤2 x 1: (d) ⇒(x+ − − = ⇔2) (x 1) 3 0.x=0, 2− ≤ ≤x 1

1 0

x

x

+ ≤



 − ≥

2 1

x x

≤ −



 ≥

 : không có x nào cả !

Vậy nghiệm của phương trình là : 2x − ≤ ≤x 1

e) x2+2x+ +1 x2−4x+ =4 x2+4x+ ⇔4 ( )2 ( )2 ( )2

x+ + x− = x+

 x< − ⇒2

2 0

1 0

2 0

x x x

+ <



 + <



 − <



, (e) ⇒− + − − = − + ⇔(x 1) ( x 2) (x 2) x=3, (loại)

 − ≤ < − ⇒2 x 1

2 0

1 0

2 0

x x x

+ ≥



 + <



 − <



, (e) ⇒− + − − =(x 1) (x 2) (x+ ⇔2) 1

3

x= − , (loại)

 − ≤ < ⇒1 x 2

2 0

1 0

2 0

x x x

+ ≥



 + ≥



 − <



, (e) ⇒(x+ − − =1) ( x 2) ( x+ ⇔2) x=1

 x≥ ⇒2

2 0

1 0

2 0

x x x

+ >



 + >



 − ≥



, (e) ⇒(x+ + − =1) (x 2) ( x+ ⇔2) x=3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1; x=3

Ghi nhớ :

1 Giải và biện luận phương trình x2 =a

 Nếu a<0, vì 2

0,

x ≥ ∀x thì phương trình x2 =a vô nghiệm

 Nếu a=0 thì phương trình x2 = ⇔a x2 = ⇔0 x=0

 Nếu a>0 thì x2 = ⇔a x = a⇔ x a

 =



= −

2 Giải và biện luận bất phương trình : a) 2

x >a b) 2

x <a

a) x2 >a

 Nếu a<0, vì 2

0,

x ≥ ∀x nên bất phương trình x2 >a đúng với mọi x

 Nếu a=0, vì x2 ≥ ∀0, x nên bất phương trình 2

x >a đúng với mọi x≠0

 Nếu a>0 thì 2

 >



< −

b) x2 <a

 Nếu a<0 thì 2

0,

x ≥ ∀x nên bất phương trình x2 <a vô nghiệm x

 Nếu a=0 thì x2≥ ∀0, x nên bất phương trình 2

x <a vô nghiệm x

 Nếu a>0 thì 2

x < ⇔a x < a⇔− a< <x a

Ví dụ 5 : Giải bất phương trình

a) x2 >9 b) x2 <4 c) x2 −6x+ >9 4 e) x2+2x<2

Bài giải

3

x x

>



 < −

b) x2 < ⇔4 x < 4⇔ x < ⇔2 − < <2 x 2

c) 2

x− > ⇔ − < −x x− >3 23 2⇔ 15

x x

>



 <

d) x2+2x< ⇔2 x2+2x+ < ⇔1 1 ( )2

x+ < ⇔− < + < ⇔1 x 1 1 − < <2 x 0

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng nếu 2 2

1

x +y = thì − 2≤ + ≤x y 2

Bài giải

x y R x y

Suy ra x2+2xy y+ 2 ≤ + = ⇔1 1 2 ( )2

2

Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= 4x2−4x+ +1 4x2−12x+9

Bài giải

⇒P= 2x− + −1 3 2x =(2x− + −1) (3 2x) =2.

Vậy P nhỏ nhất bằng 2 khi 2 1 0

x x

− ≥



 − ≥

1 2 3 2

x

x

 ≥





 ≤



2≤ ≤x 2

LUYỆN TẬP

Bài tập 1 : Với các giá trị nào của a thì căn thức sau xác định ?

a) −3(a+2) b) 2

5

a

−

1

a a

+

− d) a2+2a+1 e) (2−a a) ( +5)

Bài tập 2 : Với các giá trị nào của x thì căn thức sau xác định ?

x

x

+

− b) (5x+1 2 3) ( − x) c) 2

3x +5x+2 d) 2

4x− −5 x

e) x2−2x+4 f) x x( 1−1) g) x+ +1x 2−x h) 4x− −1 3x− +2 x2+ −x 2

Bài tập 3 : Tính :

a) 49 b) ( )2

7, 2

1− 3 d) 256 e) 52+122 f) ( )2

x− + x+

Bài tập 4 : Phân tích thành nhân tử :

a) m2−25 b) a−16,a≥0 c) t2−7 d) 5−a a, >0

e) 7 5b− 2 f) 5 3 ,+ y y<0 g) x2 +2 5x+5 h) 4x2−4 3x+3

Bài tập 5 : Tính :

a) A= 14 6 5− b) B= 7 4 3−

c) C= 7 4 3+ + 7 4 3− d) D= 4x2+12x+ +9 4x2−12x+9

e) E= 6 2 5+ − 13 4 3+

Bài tập 6 : Giải phương trình :

a) 2

3 0

x − = b) x x= c) 2

x − x− = d) x2 −6x+ =9 7 e) x2+2 3x+ =5 0 f) 2

x − x+ = +x g) x− +5 5− =x 1 h) x2−2x+ +1 x2−4x+ =4 3 k) x2−2x+ +1 x2+6x+ =9 x2−4x+4

Bài tập 7 : Giải bất phương trình

a) 2

25

x > d) 2

7

x < c) 2

x − x> − e) 2

9x −6x<24

Bài tập 8 : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : 0, 0

2

a b

a≥ b≥ ⇒ + ≥ ab

Để chứng minh : Nếu x, y, z là ba số thực dương thì 1x 1 1y z 1 1 1

xy yz zx

P= x + x+ + − x+ x